1、2013年華約自主招生數(shù)學試題解析1設(shè)，且中元素滿足：任意一個元素各數(shù)位的數(shù)字互不相同；任意一個元素的任意兩個數(shù)字之和不等于9（1）求中的兩位數(shù)和三位數(shù)的個數(shù)；（2）是否存在五位數(shù)，六位數(shù)？（3）將中的元素從小到大排列，求第1081個元素解析（1）所有的兩位數(shù)共90個，其中數(shù)字相同的有9個，兩數(shù)字之和為9的有9個，所以中的兩位數(shù)有909972個； 所有的各數(shù)位的數(shù)字互不相同三位數(shù)共998648個，其中含有數(shù)字0和9的有4832個，含有數(shù)字1和8，2和7，3和6，4和5的各有482746個，所以中的三位數(shù)有64832464432個；另解（1）將10個數(shù)字分為5組：（0，9），（1，8），（2，7

2、），（3，6），（4，5），每組中的兩數(shù)不能同時出現(xiàn)在一個元素中對于兩位數(shù)，若最高位為9，則共有248個，若最高位不為9，則共有244264個，所以中的兩位數(shù)有72個；對于三位數(shù)，若最高位為9，則共有2248個，若最高位不為9，則共有222384個，所以中的三位數(shù)有48384432個；（2）對于五位數(shù)，若最高位為9，則共有2222384個，若最高位不為9，則共有222223072個，所以中的五位數(shù)有30723843456個； 顯然中不存在六位數(shù)（3）中的兩位數(shù)和三位數(shù)共有72432504個，在中的四位數(shù)中，千位上為1，2，3的各有192個，而50419231080個，所以第1081個元素應(yīng)為四

3、位數(shù)中，千位上為4的最小數(shù)，即4012 2已知，求，解析 由，得 由，得 兩式相加，得，所以 又由，得 由，得 兩式相除，得，所以 3點在上，點在上，其中，且，在軸同側(cè)（1）求中點的軌跡的方程；（2）曲線與拋物線相切，求證：切點分別在兩定直線上，并求切線方程解析 （1）設(shè)，由 ，得， 所以設(shè)點的坐標為，則，所以 ，即點的軌跡的方程為 （2）因為曲線與拋物線相切，得 ，由 ，得，此時，兩切點坐標為， ，即切點分別在兩定直線上切線方程分別為和47個紅球，8個黑球，任取4個（1）求恰有1個紅球的概率；（2）記取黑球個數(shù)為，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全為黑球的概率解析 （1）恰有1個紅球

4、的概率為；（2）黑球個數(shù)為，黑球數(shù)為0的概率為；黑球數(shù)為1的概率為；黑球數(shù)為2的概率為；黑球數(shù)為3的概率為；黑球數(shù)為4的概率為；其分布列為01234的數(shù)學期望為01234（3）由（2）知4球同色的概率為 ，所以，取出4球同色，全為黑球的概率為 5已知，（1）證明對任意的，存在正整數(shù)，使得對于，（2）設(shè)，記為前項和，證明有界，且時，存在正整數(shù)，時解析 （1）由，知，于是所以 對任意的，要使，只需，取，于是，（2），所以 ，0，由（1）知，所以 ，即，所以有界； 令，得 ，取，則時6設(shè)是兩兩不等且大于1的正整數(shù)，求所有使得整除的解析 因為1， 而能被整除，于是只需1能被整除即可 又是兩兩不等且大于1的正整數(shù)，不妨設(shè) 1，即，于是只需1能被整除，當然，即，于是， ，進而， ，4檢驗知2、3、5能使1能被整除， 7設(shè)（1）證明當時，；（2）令，證明遞減且解析 （1）因為，又當時，所以當時，；（2）由，得，又，可得由（1）知時，即，遞減下面用數(shù)