1、2021新亮劍高考總復習解析幾何第九章第3節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1磨劍課前自學目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄4最新考綱考向分析1. 能根據(jù)給定直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.2. 能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.3. 能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.4. 初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想考查直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的判斷;根據(jù)位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值、幾何量的大小等高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法1.幾何法:利用圓心到直線

2、的距離 d 和圓的半徑 r 的大小關(guān)系. dr相交; d=r相切; d 02.代數(shù)法:判別式 =b2-4ac = 0相切;.相離0),1圓 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=2(r20).26方法位置關(guān)系幾何法:圓心距 d 與 r1,r2 的關(guān)系代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離dr1+r2無解外切d=r1+r2 一組實數(shù)解相交 |r1-r2|dr1+r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切 d=|r1-r2|(r1r2) 一組實數(shù)解內(nèi)含0d0 是定值(3) 過圓 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 與直線 Ax+By+C=0 的交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0

3、(R).(4)過圓 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 與圓 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交點的圓系方程為 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),此圓系中不含圓C2.9高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打“”,錯的打“”)(1) 若直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.(2) 若兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓外切. (3)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(4)從兩圓的方程中消掉二次項后所得的方程為公共弦所在直線的方程.(

4、)( (5)過圓 O:x2+y2=r2 外一點 P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點為 A,B,則 O,P,A,B 四點共圓且直線AB 的方程是 x0x+y0y=r2.()答案解析10目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識解析與圓相交.(1)正確.直線與圓組成的方程組有一組解時,直線與圓相切,有兩組解時,直線(2) 錯誤.因為除外切外,還可能內(nèi)切.(3) 錯誤.因為除小于兩半徑和,還需大于兩半徑差的絕對值,否則可能內(nèi)切或內(nèi)含. (4)錯誤.只有當兩圓相交時,方程才是公共弦所在的直線方程.2+ - 0 2=2+2,(5)正確.由已知可得 O,P,A,B 四點共圓,該圓的方程為 - 0 002222即

5、 x2+y2-x0x-y0y=0,又圓 O 的方程為 x2+y2=r2, -得 x0x+y0y=r2,而兩圓相交于 A,B 兩點,故直線 AB 的方程是 x0x+y0y=r2.11目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【基礎自測】1.(山東省菏澤市 2020 屆模擬)圓(x-2)2+y2=1 與直線 3x+4y+2=0 的位置關(guān)系是C().A.相交C.相離B.相切D.以上三種情況都有可能解析圓(x-2)2+y2=1 的圓心坐標是(2,0),半徑 r=1,因為圓心(2,0)到直線3x+4y+2=0 的距離 d=|23+2|=8,滿足 dr,所以圓(x-2)2+y2=1 與直線553x+4y+2=0

6、的位置關(guān)系是相離.答案解析12目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識2.(重慶市 2020 屆高三質(zhì)量檢測)已知直線 y=kx-1 與圓 x2+y2+2y-3=0 相交于A,B 兩點,則|AB|=(B).D.與 k 的取值有關(guān)A.2B.4C.2 3解析由圓 x2+y2+2y-3=0,得圓心坐標為(0,-1),半徑 r=2,又直線 y=kx-1 恒過圓心(0,-1),則弦長|AB|=2r=4.答案解析13目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識3.(安徽省江淮十校 2020 屆高三月考)已知直線 l:xcos +ysin=1(R)與圓 C:x2+y2=r2(r0)相交,則 r 的取值范圍是().DA.0r

7、1C.r1B.0r1圓心到直線的距離 d= 1=1,故 r1.解析 co s2+sin2答案解析14目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識4.(江西省新八校 2020 屆高三聯(lián)考)已知集合 A=(x,y)|x2-6x+y2-4y+9=0,B=(x,y)|(x+1)2+(y-2)2=9,則 AB 中的元素的個數(shù)為(CD.3).A.0B.1C.2解析A=(x,y)|x2-6x+y2-4y+9=0=(x,y)|(x-3)2+(y-2)2=4,B=(x,y)|(x+1)2+(y-2)2=9,可知圓心距 d= 3-(-1)2 + (2-2)2=4,得1=|r1-r2|d1,即 a2+b21 2+2點 P(b

8、,a)在圓 C 內(nèi)部.故選 C.答案解析16目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識6.(湖南省株洲市 2020 屆高三二模)設直線 l:3x+4y+a=0 與圓 C:(x-2)2+(y-1)2=25 交于 A,B 兩點,且|AB|=6,則 a 的值是 10或-30.解析因為 C:(x-2)2+(y-1)2=25 ,圓心為(2,1),半徑 r=5,|AB|=6,由垂徑定2= 52-32=4,所以|6+4+|=4,解得理得圓心到直線 l 的距離 d= 2- a=10 或 a=-30. 32 +422答案解析1718目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄考點 1 直線與

9、圓的位置關(guān)系考向 1:直線與圓的關(guān)系的判斷例 1 直線 l:mx-y+1-m=0 與圓 C:x2+(y-1)2=5 的位置關(guān)系是(A).A.相交B.相切C.相離D.不確定分析根據(jù)代數(shù)法或幾何法進行判斷.| |解析(法一)由題意知,圓心(0,1)到直線 l 的距離 d=1 5,故直線 l 與圓相交. 2+1(法二)直線 l:mx-y+1-m=0 過定點(1,1),因為點(1,1)在圓 x2+(y-1)2=5 的內(nèi)部,所以直線 l 與圓相交.答案解析19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:切線問題例 2 (1)(遼寧省沈陽市 2020 屆模擬)“k= 3”是“直線 l:y=k(x+2)與圓 x

10、2+y2=1 相3切”的(A ).A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件D(2)圓 x2+y2-4x=0 在點 P(1, 3)處的切線方程為().A.x+ 3y-2=0C.x- 3y+4=0B.x+ 3y-4=0D.x- 3y+2=0答案解析20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析(1)由直線與圓相切求得 k 的值,再利用充分、必要條件的定義進行判斷;(2)用待定系數(shù)法設出切線方程,再由直線與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑可求得斜率 k 的值,從而得切線的方程.解析(1)因為直線 l:y=k(x+2)與圓 x2+y2=1 相切,所以 |2|=1,解得 2 +

11、1k= 3.所以“k= 3”是“直線 l:y=k(x+2)與圓 x2+y2=1 相切”的充分不必要條件.33(2)圓的方程為(x-2)2+y2=4,圓心坐標為(2,0),半徑為 2,點 P 在圓上,易知切線方程存在斜率,設切線方程為 y- 3=k(x-1),即 kx-y-k+ 3=0,所以|2-+ 3|=2,解得 2 +1k= 3.所以切線方程為 y- 3= 3(x-1),即 x- 3y+2=0.3321考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 3:弦長問題例 3 (1)(河南省中原名校聯(lián)盟 2020 屆高三聯(lián)考)直線 m:x+y-1=0 被圓 M:x2+y2-2x-4y=0 截得的弦長為( B).

12、C.1D.1A.4B.2 323(2)(東北三省三校 2020 屆高三模擬)過點 P(0,1)的直線 l 與圓(x-1)2+(y-1)2=1A ).相交于 A,B 兩點,若|AB|= 2,則該直線的斜率為(A.1B. 2C. 3D.2答案解析22考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析(1)根據(jù)垂徑定理,求出圓心到直線的距離,結(jié)合圓的半徑,弦長的一半,構(gòu)成直角三角形,由勾股定理求得結(jié)果;(2)先由題意,設直線的方程為 y=kx+1,根據(jù)弦長和半徑確定點到直線的距離,再由點到直線的距離公式即可求出結(jié)果.解析(1)x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,故圓 M 的圓心坐標為(1,

13、2),半徑為 5,又點(1,2)到直線 x+y-1=0 的距離 d=|11+12-1|= 2,故直線 m 被圓 M 截得的弦長等于 12 +122 ( 5)2-( 2)2=2 3.(2)由題意,設直線 l 的方程為 y=kx+1,因為圓(x-1)2+(y-1)2=1 的圓心為(1,1),半徑為2r=1,又弦長|AB|= 2,所以圓心到直線的距離為 d= 2 - |= 1- 1= 2,所以有222| 2=,解得 k=1.23 2 +12考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法:(1)若易求出圓心到直線的距離,則用幾何法,利用d 與 r 的關(guān)系判斷;(2)若方程

14、中含有參數(shù),或圓心到直線的距離的表達式較復雜,則用代數(shù)法,聯(lián)立方程后利用 判斷,能用幾何法求解的,盡量不用代數(shù)法.2. 求圓的切線方程應注意的問題:求過某點的圓的切線問題時,應首先確定點與圓的位置關(guān)系,再求切線方程.若點在圓上(即為切點),則過該點的切線只有一條;若點在圓外,則過該點的切線有兩條,此時應注意斜率不存在的切線.3. 處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法,即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 1】1.(2020 屆福建漳州八校聯(lián)考)已知點 P(a,b)(ab0)是圓 x2+y2=r2 內(nèi)的一點,直線 m 是以 P 為中點的弦所在的直線

15、,直線 l 的方程為 ax+by=r2,那么(C).A.ml,且 l 與圓相交C.ml,且 l 與圓相離B.ml,且 l 與圓相切D.ml,且 l 與圓相離解析點 P(a,b)(ab0)在圓內(nèi),a2+b2=r, 2 +2答案解析25考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.(2020 屆北京模擬)已知圓 C 與直線 y=x 及 x-y-4=0 都相切,且圓心 C 在直線 y=-x 上,則圓 C 的方程為(A.(x+1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2).DB.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=2由題意知直線 x-y=0 和 x-y-4=0 之間的距離為

16、 |4| =2 2,所以 r= 2.解析 2又因為直線 y=-x 與直線 x-y=0,x-y-4=0 均垂直,所以由 y=-x 和 x-y=0 聯(lián)立得交點坐標為(0,0),由 y=-x 和 x-y-4=0 聯(lián)立得交點坐標為(2,-2),所以圓心坐標為(1,-1),所以圓 C 的標準方程為(x-1)2+(y+1)2=2.答案解析26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3.(南寧市 2020 屆高三測試)已知直線 l:3x-4y-15=0 與圓 C:x2+y2-2x-4y+5-r2=0(r0)相交于 A,B 兩點,若|AB|=6,則圓 C 的標準方程為(A.(x-1)2+(y-2)2=25C.(x-1)

17、2+(y-2)2=16A).B.(x-1)2+(y-2)2=36D.(x-1)2+(y-2)2=49解析圓 C:x2+y2-2x-4y+5-r2=0 可化為(x-1)2+(y-2)2=r2,設圓心(1,2)到直線 l 的距離為 d,則 d=|3-8-15|=4,又|AB|=6,根據(jù) r2=32+42=25,可得圓 C 的標準方程為5(x-1)2+(y-2)2=25.答案解析27考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2圓與圓的位置關(guān)系例 4 已知圓 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 與圓 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 外切,則 ab 的最大值為( C).A. 6B.3C.9D.2 32分

18、析24由圓 C1 與圓 C2 外切可得 a,b 的關(guān)系,再探求 ab 的最大值問題.解析由圓 C1 與圓 C2 外切,可得 ( + )2 + (-2 + 2)2=2+1=3,即(a+b)2=9,根據(jù)基本+299不等式可知 ab= ,當且僅當 a=b 時等號成立,故 ab 的最大值為 .244答案解析28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄變式設問 1將本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”,試求 ab 的最大值.2=1,+解析由 C與 C 內(nèi)切得 ( + )2 + (-2 + 2)2=1,即(a+b)2=1,又 ab 1224當且僅當 a=b 時等號成立,故 ab 的最大值為1.4變式設問 2將本例中的條件“

19、外切”變?yōu)椤叭魞蓤A有四條公切線”,判斷直線 x+y-1=0 與圓(x-a)2+(y-b)2=1 的位置關(guān)系.解析由兩圓存在四條公切線,知兩圓外離, ( + )2 + (-2 + 2)23,所以(a+b)29,即 a+b3 或 a+b1, 2所以直線 x+y-1=0 與圓(x-a)2+(y-b)2=1 相離.解析29考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄變式設問 3將本例中的條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?求公共弦所在的直線方程.解析由題意把圓 C1,圓 C2 的方程都化為一般方程,得C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0,C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,由-得(2a+2b)x+3+b2-a2

20、=0,即為公共弦所在的直線方程.方法總結(jié)：1.判斷兩圓的位置關(guān)系時,常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關(guān)系,一般不用代數(shù)法.2.兩圓相交時,公共弦所在直線方程的求法:兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的 方程作差消去 x2,y2 項得到.3.兩圓公共弦長的求法:求兩圓公共弦長,常選其中一圓,由弦心距 d,半弦長 ,半徑 r 構(gòu)2解析成直角三角形,利用勾股定理求解.30考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 2】1.已知圓 C1x2+y2-2x+10y-24=0 和圓 C2x2+y2+2x+2y-8=0,則兩圓的公共弦長為 2.解析兩式相減整理得 x-2y+4=0,即為兩圓公

21、共弦所在直線的方程.由 x2+y2-2x+10y-24=0,得圓心坐標為(1,-5),半徑 r=5 2.圓心到直線 x-2y+4=0 的距離 d=|1-2(-5)+4|=3 5, 12 +(-2)2設兩圓的公共弦長為 l,由 r2=d2+ 2, 得 l=2 2 -2=2 (5 2)2-(3 5)2=2 5, 答案2即兩圓的公共弦長為 2 5.解析31考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.(2020 屆四川南充模擬)已知圓 O1 的方程為 x2+(y+1)2=6,圓 O2 的圓心坐標為(2,1).若兩圓相交于 A,B 兩點,且|AB|=4,則圓 O2 的方程為(A.(x-2)2+(y-1)2=6B.

22、(x-2)2+(y-1)2=22C.(x-2)2+(y-1)2=6 或(x-2)2+(y-1)2=22D.(x-2)2+(y-1)2=36 或(x-2)2+(y-1)2=322C).解析設圓 O2 的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2(r0).因為圓 O1 的方程為 x2+(y+1)2=6,所以直線 AB 的方程為 4x+4y+r2-10=0,圓心 O到直線 AB 的距離 d=|2 -14|,由答案14 22d2+22=6,得(2 -14) =2,所以 r2-14=8,r2=6 或 22.故圓 O的方程為(x-2)2+(y-1)2=6 或2解析32(x-2)2+(y-1)2=22.32考點

23、探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄數(shù)學建模利用數(shù)形結(jié)合法研究直線與圓的位置關(guān)系中的含參問題在已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時,可根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想,利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷條件建立不等式解決問題.33考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄例 1 若圓 x2+y2=r2(r0)上恒有 4 個點到直線 x-y-2=0 的距離為 1,則實數(shù) r 的取值范圍是(A.( 2+1,+)C.(0, 2-1).AB.( 2-1, 2+1)D.(0, 2+1)計算得圓心到直線的距離為 2 = 21.如圖所示,解析 2直線 l:x-y-2=0 與圓相交,l1,l2 與 l 平行,且與直線 l 的距離為 1,故可以看出

24、,圓的半徑應該大于圓心到直線 l2 的距離,故r 2+1.答案解析34考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄例 2 過點( 2,0)引直線 l 與曲線 y= 1-2相交于 A,B 兩點,O 為坐標原-點,當AOB 的面積取最大值時,直線 l 的斜率為 .解析曲線 y= 1-2的圖象如圖所示.若直線 l 與曲線相交于 A,B 兩點,則直線 l 的斜率 k0,設l:y=k(x- 2),則點 O 到 l 的距離 d= - 2k 1,所以-1k0.又 2 +1=1|AB|d=12 1-2 d= (1-2)21-2 + 2 =1,當且僅當SAOB2222 221-d2=d2,即 d2=1時,S=1,解得 k2=

25、1,故答案取得最大值,所以AOB 2 +1223k=- 3.解析335考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓練】1.過定點 P(-2,0)的直線 l 與曲線 C:(x-2)2+y2=4(0x3)交于不同的兩點,則直線 l , ,的斜率的取值范圍是.解析易知曲線 C:(x-2)2+y2=4(0x3)表示的是以 C(2,0)為圓心,以 2 為半徑的圓的2,其中兩個端點為 A(3, 3),B(3,- 3).當直線與曲線 C 相切時,設直線方程為3y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,得 |4|=2,解得 k= 3.又 kPA= 3,kPB=- 3,所以直線 l 的 1+ 2答案355斜率的取值范圍是 - 3 ,- 3 3 , 3 .3553解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.直線 y=- 3x+m 與圓 x2+y2=1 在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點,則 m 的取值3范圍是.,解析當直線經(jīng)過點(0,1)時,直線與圓在第一象限內(nèi)有一個交點,此時m=1;當直線與圓相切時,圓心到直線的距離 d= |=1,解得 m=2 332 3 1+ 3 或 m=-2 3(舍去),所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點,答案3 則 1m2 3.3解析37考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄1.(20