1、數(shù)學(xué)一（第七套）答案一、 填空題1、答案：考點：泰勒公式解析：2、答案：2考點：變上限積分求導(dǎo)解析：提示 .3、答案： 考點：二階線性微分方程 解析：特征方程 則齊次方程的通解為 用特定系數(shù)法，設(shè)原方程的一個特解為非齊次二階常系數(shù)方程求解問題，根據(jù)非齊次項的形式設(shè)定特解形式，用特定系數(shù)法求出特解 代入原方程得 ，b=2，即原方程的通解為 4、答案： 考點：矩陣乘積變換與逆矩陣運算、 解析： 5、答案：考點：基本概率及條件概率事件解析：6、答案：5考點：期望、方差解析：二、選擇題7、答案：b考點：向量基本關(guān)系，空間直線解析：的方向向量分別為2，1，1與2，1，3，不平行，但有公共點，故選b。8、

2、答案：a考點：連續(xù)，可導(dǎo)概念解析： 要使上式極限存在，由于存在且為所以應(yīng)使存在，又當時才存在，故應(yīng)選a。9、答案：d考點：二重積分的積分次序變換，直角坐標與極坐標的積分轉(zhuǎn)換解析：累次積分是函數(shù)，在積分域：上的二重積分的極坐標系下的累次積分表達形式，于是在直角坐標系下的累次積分為 若則圓心在x軸上；若則圓心在y軸上。10、答案：d考點：級數(shù)斂散性解析：例如收斂，亦收斂；收斂，發(fā)散。11、答案：b考點：多元函數(shù)的極值判定解析：所以在內(nèi)d部不可能有極值點，從而最值點必在d的邊界上。12、答案：c考點：初等矩陣乘積運算解析：右乘矩陣a相當于對第二列、第三列互換，左乘矩陣相當于對該矩陣第二，第三行互換，

3、經(jīng)驗證只有c符合題意。13、答案：c考點：矩陣乘積解析：a、表示三個平面互相平行，至多有兩重合。 b、表示條件必要，但不充分 c、中任兩個線性無關(guān)任兩個平面均相交，而不能由線性表出方程組無解（即排除三平面交于一條直線的情形），可見c入選。14、答案：b考點：數(shù)學(xué)期望，相關(guān)系數(shù)解析：設(shè)t 為0 ，1上均勻分布，的概率密度函數(shù)相關(guān)系數(shù)為1，故a錯 故b正確故c錯三、解答題15、考點：函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及積分變換中值定理解析：（1）若是偶函數(shù)，則 故f( x )與f ( x )有相同的奇偶數(shù)。（2）因為 由定積分中值定理 間）故 因為非增，于是當時，當時，所以對均有，即有f ( x )非減。16、考

4、點：二重積分解析：根據(jù)被積函數(shù)中有，這個因子的特點，以為分界線，將全面劃分成為兩個子區(qū)域，于是 注意：是積不出來的，所以在d1上要先對x積分，而在d2上要先對y積分，因此 作代換則17、考點：三角積分，級數(shù)斂散性解析：（1）因為 所以 （2）因為所以斂，從而收斂。18、考點：空間解析幾何直線方程解析：直線l1與l2的方向向量分別為取點（1，3，0），則l1與l2的對稱式方程分別為 l的方向向量為過l1且平行于是s的平面的法向量為的方程為將的參數(shù)方程：代入平面的方程，求得于是得直線與平面的方程，求得于是得直線與平面的交點為，最后得公垂線l的方程： 19、考點：積分不等式解析：由 故 20、考點：

5、矩陣特征值、特征向量解析：依題設(shè)，有即因此， 21、考點：求解方程組解析：（1） 故（i）的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為（1，1，2，1）t，（i）的通解為 （k為任意實數(shù)）。（2）將（i）的通解代入方程組（ii），得 若（i）的解均是（ii）的解，則上述方程應(yīng)對任意k成立，故得t =5，n =2，m =1，即當m =1，n =2，t =5時，（i）的解均是（ii）的解，當m =1，n =2，t =5時由方程（ii）知，故知i、ii是同解方程。22、考點：利用隨機變量x和y的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望解析：設(shè)z表示商店每周所得的利潤，則x與y的聯(lián)合概率密度為 故 23、考點：置信區(qū)間解析：因2000

6、相對于50很大，故可認為所抽取的50戶獨立隨機樣本，n = 50，戶為非偷漏稅戶戶為偷漏稅戶令 則由中心極限定理 而滿足的點故問題歸結(jié)為估計參數(shù)p，使整理該不等式得其中從而求得故p的95%的置信區(qū)間為（0.366，0.634）數(shù)學(xué)一（第八套）答案一、 填空題1、答案：考點：型極限值解析：原式（這步變換很常見且重要，需牢記） 2、答案：考點：變上限定積分求導(dǎo)解析：因為 所以 當k 0時，所求通解為4、答案：考點：矩陣變換，矩陣逆運算解析：因為所以矩陣p可逆，于是由ap=pbp-1，又故 5、答案：考點：伯努力分布解析：則 又 即 故知參數(shù)，因此ex = 2。二、選擇題7、答案：a考點：空間解析幾

7、何解析：本題重在理解直線的意義，設(shè)兩條直線一過a3，平行于一過a1，平行于a2a3，因是滿秩的，故a1、a2、a3不共線，由右面示意圖即知道兩直線相交。8、答案：b考點：變上限定積分求導(dǎo)和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解析：9、答案：d考點：多元函數(shù)求偏導(dǎo)解析：因為是由連續(xù)初等函數(shù)復(fù)合而成的，顯然二階混偏導(dǎo)數(shù) 均存在并且連續(xù)，故必有，因而選d。10、答案：d考點：級數(shù)收斂性解析：應(yīng)選d。因為級數(shù)顯然為正項級數(shù)，由根值差別法有由此得知級數(shù)發(fā)散，c也正確，故選d。11、答案：c考點：連續(xù)函數(shù)微分方程解析：求得駐點為此外，有（1）當時，駐點為，從而 于是 而，即駐點均為極大值點，因而函數(shù)有無窮多個極大值。（2）當時

8、，駐點為此時于是 即駐點為非極值點。綜合上述，故選c。12、答案：d考點：矩陣乘法解析：由題設(shè)abc=ae，可知a，b，c均可逆，且abc=bca=cab,將abcd與以上比較，可知d入選。13、答案：b考點：線性相關(guān)、線性無關(guān)解析：對于選項a，由于 則向量組線性相關(guān)，選項a不對。同樣地，對于選項c，d，有 這兩個向量組也線性相關(guān)，故選項c，d均不對。對于選項b，由于向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)，設(shè)有一組數(shù)使得由于線性無關(guān)，得線性方程組 系數(shù)先列式 方程組僅有零解，即所以，向量組線性無關(guān)，因此本題應(yīng)選b。14、答案：b考點：樣本空間概率分布解析：顯然于是 則又 由于獨立，從而相互獨立。于

9、是 可見y服從自由度為n-1的t分布，故b入選。三、解答題15、考點：連續(xù)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)解析：方程兩邊求導(dǎo)得 上式再求導(dǎo) 或解 將 代入上式得 16、考點：曲面積分解析：曲面積分應(yīng)用題，由重心公式列出相應(yīng)的積分式。解：以球心為原點，鉛垂直徑為z，軸建立右手坐標系，則球面方程為任一點的密度是，且由對稱性可知，半球殼的重心坐標中有只需求出其中s是上半球面，、因為 所以 其中d是s在xoy平面上的投影區(qū)域上述m的計算利用極坐標較方便，有 重心坐標為17、考點：級數(shù)求和解析：解方程得通解為代入得于是，18、考點：空間解析幾何解析：設(shè)所求的直線方程為平衡的法矢量由直線與平面平行，所以 （*）因為兩直線相交，

10、故有 （*）解方程（*），（* *）得 令 故 所求直線為 19、考點：中值定理解析：上滿足柯西值定理條件，于是，使 又 在a,b上滿足拉格朗日中值定理， ，使得 由上面二式可得 20、考點：正交矩陣解析：由行列式乘法公式，得（1）如那么從而（2）如那么得到又因所以不論，總有21、考點：線性方程組求解解析：對方程組的增廣矩陣作初等行變換，有 （1）當時，即a=1且b=3時，方程組有解。（2）當a=1，且b=3時，有 原方程組的同解方程組為 （*） 導(dǎo)出組的同解方程組為 自由未知量分別取值（1，0，0）t，（0，1，0）t，（0，0，1）t，得導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系 （3）在方程組（*）中，令得原

11、方程組的一個特解 因此原方程組的全部解為其中k1, k2, k3為任意常數(shù)。22、考點：隨機變量概率分布解析：隨機變量的分布函數(shù)為 于是，隨機變量的概率概率密度為 23、考點：無偏估計、樣本均值、樣本偏差解析：設(shè)為樣本值，（1） 似然函數(shù)為 則 令 解得 從而得到a的極大似然估計量 （2） 以替換e（x），得解出a ，得到a的估計量 數(shù)學(xué)一（第九套）答案一、 填空題1、考點：e2解析：由于可導(dǎo)，故在x = 0處連續(xù)，因此又故 原式=2、答案：考點：定積分解析： 前一個積分中則所以 3、答案：考點：二階線性常微方程解析：特征方程為解得原方程的通解為：由初始條件，有 故 4、答案：（1）n考點：矩

12、陣變換解析：為n 個線性無關(guān)列向量，則矩陣可逆，即且滿足注意到 （矩陣列互換）故 注：將已知條件轉(zhuǎn)為 是關(guān)鍵5、答案：考點：重復(fù)試驗解析：記事件分別表示甲、乙在第i次投籃中投中，i為甲、乙二人投籃的總次數(shù)；i =1,2,3,4,記事件a，b分別表示甲、乙取勝，則 是一個公比的幾何級數(shù)求和問題。由于，該級數(shù)收斂，且 若要甲、乙勝率相同，則即 這種游戲規(guī)則，只有當時，甲、乙勝負概率相同。6、答案：考點：離散事件的數(shù)學(xué)期望解析：令x表示在取到正品之前已取出的廢品數(shù)，則x是一隨機變量，有三個可能取值：0，1, 2.x的概率分布為 數(shù)學(xué)期望 二、選擇題考點：曲面切平面解析：設(shè)點的坐標為則曲面在p點處的法

13、向量為，而平面的法向量為依題意，應(yīng)與平行，故有 由此得因p點在曲面上，故故應(yīng)選c。8、答案：d考點：函數(shù)連續(xù)性和極限解析：推得 （1）及 （2） 由于在處連續(xù)，所以由（1）得由（2）得 從而知存在在的一個空心領(lǐng)域內(nèi)有9、答案：b考點：多元函數(shù)偏導(dǎo)，隱函數(shù)求偏導(dǎo)解析： 故 注：此題也可舉特例驗證，如10、答案：c考點：級數(shù)斂散性解析：設(shè)則a、b、d不正確又 發(fā)散。故c正確。11、答案：d考點：積分函數(shù)奇偶性，大小估計解析：由于m的被函數(shù)在上是奇函數(shù)，則m=0。 故d入選。12、答案：c考點：矩陣秩解析：因故，（或），故應(yīng)有又因，故（若則矛盾）。13、答案：c考點：線性相關(guān)解析：將一個分量均變?yōu)?

14、，相當于減少一個分量，此時新向量組可能變?yōu)榫€性相關(guān)，a， b屬初等（行）變換不改變矩陣的秩，并未改變換列向量組的線性無關(guān)性，d增加向量分量也不改變線性無關(guān)性。14、答案：b考點：正態(tài)分布解析：的概率密度函數(shù)為因而 三、解答題15、考點：積分變換連續(xù)解析：對第一個積分取，對第二個積分取，則上式右邊為其中在之間。令時，有16、考點：曲面積分解析：由得投影區(qū)域d的邊界為 由方程，得 于是原式17、考點：級數(shù)求和解析：取為絕對收斂級數(shù) 再取為的泰勒級數(shù) 兩級數(shù)相乘得 故 注：如果級數(shù)都收斂，作這兩個級數(shù)乘積，其中如也收斂，則必有18、考點：微分方程應(yīng)用解析：設(shè)為子彈在木板內(nèi)的運動規(guī)律，阻力為，按題意其

15、中即 由 得 設(shè)子彈穿過木板所用的時間為t，則有從而 又 即 又 故 由 得所求時間為t。19、考點：中值定理解析： 又 故 即 其中 20、考點：方程組求通解解析：由已知有是相應(yīng)的齊次方程組的兩個線性無關(guān)解，系數(shù)矩陣的秩又 系數(shù)矩陣有二階子式 系數(shù)矩陣的秩， 系數(shù)矩陣的秩為2。 齊次方程組的基礎(chǔ)解系包含2個解向量，即 是齊次方程組的基礎(chǔ)解系。 該方程組的通解為 21、考點：矩陣特征值解析：因為a有三個線性無關(guān)的特征向量，是a的二重特征值，所以a的對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量有兩個，故秩經(jīng)過行的初等變換 于是，解得 矩陣 其特征多項式 由此得到特征值：解得對應(yīng)的特征向量為 解得對應(yīng)的特征向量為

16、22、考點：條件概率解析：由題設(shè)條件知，的密度函數(shù)皆為 于是 因此 故 23、考點：極大似然估計解析：設(shè)的分布密度為 因此a , b的似然函數(shù)為 因為由似然方程組 求不出a , b，故不能用解似然方程組的方法求出a 和b的極大似然估計量，為此，令 因為當時，似然函數(shù)取最大值，所以為的極大似然估計。數(shù)學(xué)一（第十套）答案一、 填空題1、答案：3考點：求極限解析：這是“”型，數(shù)列極限，不能直接用洛必達法則，可以利用連續(xù)變量的極限，即得用求得原式當時，于是也可由原式2、答案：考點：分部積分解析：由于被積函數(shù)為應(yīng)聯(lián)想分部積分法 3、答案：考點：微分方程解析：特征方程有相異的實根設(shè)原方程的一個特解為代入原

17、方程，得故原方程組的通解為4、答案：考點：矩陣運算，伴隨矩陣解析：由得 故應(yīng)填 5、答案：考點：概率分布 z 0 1p 解析： x 0 0 1 1y 0 1 0 10 1 1 1 1由可知 6、答案：考點：數(shù)學(xué)期望望應(yīng)用解析：由題設(shè)可知x的分布密度為 =二、選擇題7、答案：b考點：空間解析幾何、向量運算解析：若兩邊同時數(shù)乘c，則得共面，以共面是的必要條件，設(shè)共面，例如故共面不是成立的充分條件。注：對于不好確定的定義，采用反例推理是一種可行方法。8、答案：c考點：函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性解析：令顯然當時，恒有可見a，b，d不入選，故c入選。9、答案：c考點：偏導(dǎo)、全微分解析：當時，在點（0，0）連續(xù)，

18、又但不是時的高階無窮小，故不可微。10、答案：c考點：級數(shù)收斂性解析：由于而且級數(shù)均收斂，所以原級數(shù)絕對收斂，即c正確。11、答案：d考點：偏導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)求極值解析： 因為在處連續(xù)，又不妨設(shè)在的鄰域內(nèi)當 n 為偶數(shù)時，（的空心鄰域），即是極小值。當n 為奇數(shù)時，不是極值，選d。還可舉特例進行難證12、答案：c考點：先將行列式拆分為兩個行列式之和，得到再利用兩列一調(diào)，行列式變號的性質(zhì)，得到因而c對，其余的都不對。13、答案：d考點：線性相關(guān)線性無關(guān)解析：顯然a，b都不對，例如它們都不是零向量，且任意兩個向量的分量不成比例，它們線性相關(guān)，故a，b不是線必?zé)o關(guān)的充分條件，顯然也不是必要條件。若線性無關(guān)，則其個數(shù)m不超過向量的維數(shù)n 即這是向量組線性無關(guān)的必要條件，但不是充分條件，例如有但線性相關(guān)?？芍挥衐成立。14、答案：c考點：正態(tài)分布性質(zhì)解析：對任意為常數(shù)。因為 三、解答題15、考點：復(fù)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)連續(xù)性解析： 當時，當時，當時，故在處可導(dǎo)，且綜合以上有 顯然