1、數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過程本專題中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)列求和法等一、極值法數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等1利用三角函數(shù)求極值yacos bsin (cos sin )令sin ，cos 則有：y(sin cos cos sin )sin ()所以當(dāng)時(shí)，

2、y有最大值，且ymax2利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)：yax2bxca(x2x)ca(x)2 (其中a、b、c為實(shí)常數(shù))，當(dāng)x 時(shí)，有極值ym(若二次項(xiàng)系數(shù)a0，y有極小值；若a0，這與事實(shí)不符合，故D錯(cuò)誤，只有B可能正確答案B【點(diǎn)評(píng)】本例與2008年高考北京理綜卷第20題相似，給出某一規(guī)律的公式，要求證它的正確性，這類試題應(yīng)引起足夠的重視例6如圖87所示，一輕繩吊著一根粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高為H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg(k1)斷開輕繩，棒和環(huán)自由下落假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)觸地時(shí)間極短，無動(dòng)能損失棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直，

3、空氣阻力不計(jì)求：圖87(1)棒第一次與地面碰撞后彈起上升的過程中，環(huán)的加速度(2)從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程s(3)從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止的過程中，摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功W2007年高考江蘇物理卷【解析】(1)設(shè)棒第一次上升的過程中環(huán)的加速度為a環(huán)，由牛頓第二定律有：a環(huán)(k1)g，方向豎直向上(2)棒第一次落地前瞬間的速度大小為：v1設(shè)棒彈起后的加速度為a棒，由牛頓第二定律有：a棒(k1)g故棒第一次彈起的最大高度為：H1路程sH2H1H(3)解法一設(shè)棒第一次彈起經(jīng)過t1時(shí)間后與環(huán)達(dá)到共同速度v1環(huán)的速度v1v1a環(huán)t1棒的速度v1v1a棒t1解得：t1v1環(huán)的位移

4、h環(huán)1v1t1a環(huán)t12H棒的位移h棒1v1t1a棒t12Hx1h環(huán)1h棒1解得：x1棒、環(huán)一起下落至地，有：v22v122gh棒1解得：v2同理，環(huán)第二次相對(duì)棒的位移為：x2h環(huán)2h棒2xn故環(huán)相對(duì)棒的總位移xx1x2xn所以Wkmgx解法二經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間棒和環(huán)最終靜止，設(shè)這一過程中它們相對(duì)滑動(dòng)的總路程為l，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有：mgHmg(Hl)kmgl解得：l故摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功為：Wkmgl答案(1)(k1)g，方向豎直向上(2)H(3)【點(diǎn)評(píng)】高考?jí)狠S題中常涉及多個(gè)物體多次相互作用的問題，求解這類題往往需要應(yīng)用數(shù)學(xué)的遞推公式或數(shù)列求和知識(shí)一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的總和Wfs總，s

5、總為相對(duì)滑動(dòng)的總路程對(duì)于涉及兩個(gè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，規(guī)定統(tǒng)一的正方向也很重要例7如圖88所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與導(dǎo)軌平面垂直長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“”形裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出)線框的邊長(zhǎng)為d(dL，則物塊的初速度v0為()甲ABCD【解析】物塊位移在由0增大到L的過程中，對(duì)臺(tái)面的壓力隨位移由0均勻的增加至mg，故整個(gè)過的摩擦力的大小隨位移變化的圖象如圖乙所示，圖中梯形“面

6、積”即為物塊克服摩擦力所做的功乙由動(dòng)能定理得：mg(sLs)mv02可解得v0答案B二、非選擇題(共60分)11(6分)某實(shí)驗(yàn)小組擬用如圖甲所示的裝置研究滑塊的運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)器材有滑塊、鉤碼、紙帶、米尺、帶滑輪的木板以及由漏斗和細(xì)線組成的單擺等實(shí)驗(yàn)中，滑塊在鉤碼的作用下拖動(dòng)紙帶做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)單擺沿垂直于紙帶運(yùn)動(dòng)的方向擺動(dòng)，漏斗漏出的有色液體在紙帶上留下的痕跡記錄了漏斗在不同時(shí)刻的位置2008年高考重慶理綜卷 (1)在圖乙中，從_紙帶可看出滑塊的加速度和速度的方向一致(2)用該方法測(cè)量滑塊加速度的誤差主要來源有：_、_(寫出2個(gè)即可)【解析】要使速度和加速度的方向相同，則必須選紙帶B，因?yàn)锽中

7、相等的時(shí)間內(nèi)紙帶運(yùn)動(dòng)的距離越來越大答案(1)B(2分)(2)擺長(zhǎng)測(cè)量漏斗的重心變化(或液體痕跡偏粗、阻力變化等)(每空2分)12(9分)用高電阻放電法測(cè)電容的實(shí)驗(yàn)，是通過對(duì)高阻值電阻放電的方法，測(cè)出電容器的充電電壓為U時(shí)，所帶的電荷量為Q，從而再求出待測(cè)電容器的電容C某同學(xué)的實(shí)驗(yàn)情況如下：A按圖甲所示的電路連接好實(shí)驗(yàn)電路；B接通開關(guān)S，調(diào)節(jié)電阻箱R的阻值，使小量程電流表的指針偏轉(zhuǎn)接近滿刻度，記下這時(shí)電流表的示數(shù)I0490 A 及電壓表的示數(shù)U06.2 V，I0和U0分別是電容器放電的初始電流和電壓；C斷開開關(guān)S，同時(shí)開始計(jì)時(shí)，每隔5 s或10 s測(cè)一次電流I的值，將測(cè)得數(shù)據(jù)填入預(yù)先設(shè)計(jì)的表格中

8、，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)(10組)在以時(shí)間t為橫坐標(biāo)、電流I為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)紙上描點(diǎn)，即圖乙中用“”表示的點(diǎn)(1)實(shí)驗(yàn)中，電阻箱所用的阻值R_(2)試根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在圖乙中作出電容器放電的It 圖象(3)經(jīng)估算，該電容器兩端的電壓為U0時(shí)所帶的電荷量Q0約為_C；該電容器的電容C約為_F【解析】由QIt知，電荷量為It圖象與坐標(biāo)軸所包圍的面積，計(jì)面積時(shí)可數(shù)格數(shù)(四舍五入)答案(1)1.3104(3分)(2)用平滑曲線連接(2分)(3)(8.09.0)103(1.291.45)103(每空2分)13(10分)質(zhì)量為60 kg的消防隊(duì)員從一根豎直的輕繩上由靜止滑下，經(jīng)2.5 s落地輕繩受到的拉力變化情

9、況如圖甲所示，取g10 m/s2在消防隊(duì)員下滑的過程中(1)其最大速度和落地速度各是多大？(2)在圖乙中畫出其vt圖象(3)其克服摩擦力做的功是多少？【解析】(1)設(shè)該隊(duì)員先在t11 s的時(shí)間內(nèi)以加速度a1勻加速下滑，然后在t21.5 s的時(shí)間內(nèi)以加速度a2勻減速下滑第1 s內(nèi)由牛頓第二定律得：mgF1ma1(1分)最大速度vma1t1(1分)代入數(shù)據(jù)解得：vm4 m/s(1分)后1.5 s內(nèi)由牛頓第二定律得：F2mgma2該隊(duì)員落地時(shí)的速度vvma2t2(1分)代入數(shù)據(jù)解得：v1 m/s(2)圖象如圖丙所示(2分)(3)該隊(duì)員在第1 s內(nèi)下滑的高度h1a1t12(1分)該隊(duì)員在后1.5 s內(nèi)

10、下滑的高度h2vmt2a2t22(1分)由動(dòng)能定理得：mg(h1h2)Wfmv2(1分)代入數(shù)據(jù)解得：Wf3420 J(1分)丙答案(1)最大速度為4 m/s，落地速度為1 m/s(2)如圖丙所示(3)3420 J14(11分)A、B兩小球由柔軟的細(xì)線相連，線長(zhǎng)L6 m，現(xiàn)將A、B球先后以相同的初速度v04.5 m/s從同一地點(diǎn)水平拋出(先A、后B)，相隔時(shí)間t00.8 s取g10 m/s2，問：(1)B球拋出后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間細(xì)線剛好被拉直？(線拉直時(shí)，兩球都未落地)(2)細(xì)線剛被拉直時(shí)，A、B兩球的水平位移(相對(duì)拋出點(diǎn))各為多大？【解析】(1)A球先拋出，0.8 s時(shí)間內(nèi)水平位移s0v0t04

11、.50.8 m3.6 m(1分)豎直位移：h0gt2100.82 m3.2 m(1分)A、B球都拋出后，若A球以B球?yàn)閰⒄瘴?，則水平方向相對(duì)速度為：vABx0，豎直方向上A相對(duì)B的速度為：vABygt08 m/s(1分)設(shè)B球拋出后經(jīng)過時(shí)間t線被拉直，則有：(h0vAByt)2s02L2(2分)解得：t0.2 s(1分)(2)至線拉直A球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：tAt0t1 s(2分)故A球的水平位移sAv0tA4.5 m(2分)B球的水平位移sBv0t0.9 m(1分)答案(1)0.2 s(2)4.5 m0.9 m15(12分)光滑平行的金屬導(dǎo)軌MN和PQ的間距L1.0 m，它們與水平面之間的夾角30

12、，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2.0 T，方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，M、P間連接有阻值R2.0 的電阻，其他電阻不計(jì)，質(zhì)量m2.0 kg的金屬桿ab垂直于導(dǎo)軌放置，如圖甲所示用恒力F沿導(dǎo)軌平面向上拉金屬桿ab，使其由靜止開始運(yùn)動(dòng)，其vt圖象如圖乙所示取g10 m/s2，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)(1)求恒力F的大小(2)金屬桿的速度為2.0 m/s時(shí)，加速度為多大？(3)根據(jù)vt圖象估算在前0.8 s內(nèi)電阻上產(chǎn)生的熱量【解析】(1)由圖乙知，桿運(yùn)動(dòng)的最大速度vm4 m/s(2分)此時(shí)有：Fmgsin F安mgsin (1分)代入數(shù)據(jù)得：F18 N(1分)(2)對(duì)桿進(jìn)行受力分析，如圖丙所示，由牛頓第二定律可得：FF安

13、mgsin ma(1分)a代入數(shù)據(jù)得：a2.0 m/s2(1分)(3)由圖乙可知，0.8 s末金屬桿的速度v12.2 m/s (1分)前 0.8 s 內(nèi)圖線與t軸所包圍的小方格的個(gè)數(shù)約為27，面積為270.20.21.08，即前0.8 s內(nèi)金屬桿的位移為：s1.08 m(2分)由能的轉(zhuǎn)化與守恒定律得：QFsmgssin mv12(2分)代入數(shù)據(jù)得：Q3.80 J(1分)答案(1)18 N(2)2.0 m/s2(3)3.80 J16(12分)為研究靜電除塵，有人設(shè)計(jì)了一個(gè)盒狀容器，容器側(cè)面是絕緣的透明有機(jī)玻璃，它的上下底面是面積S0.04 m2的金屬板，間距L0.05 m，當(dāng)連接到U2500 V 的高壓電源正負(fù)兩極時(shí)，能在兩金屬板間產(chǎn)生一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，如圖所示現(xiàn)把一定量均勻分布的煙塵顆粒密閉在容器內(nèi)，每1 m3 有煙塵顆粒11013個(gè)，假設(shè)這些顆粒都處于靜止?fàn)顟B(tài)，每個(gè)顆粒的帶電荷量q1.01017 C，質(zhì)量m2.01015 kg，不考慮煙塵顆粒之間的相互作用和空氣阻力，并忽略煙塵顆粒所受的重力問合上開關(guān)后：(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間煙塵顆?？梢员蝗课剑?2)除塵過程中電場(chǎng)力對(duì)煙塵顆粒共做了多少功？(3)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間容器中煙塵顆粒的總動(dòng)能達(dá)到最大？【解析】(1)由題意可知，只要位于上板表面的煙塵能被吸附到下板，煙塵即被認(rèn)為全部吸收設(shè)經(jīng)過時(shí)間t煙塵顆?？梢员蝗课?，煙塵所受的電場(chǎng)力F(