1、 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學2015考研數(shù)學高等數(shù)學零基礎入門講義主講：常海龍 常海龍：在線名師，西安學校優(yōu)秀教師，理學碩士，資深考研數(shù)學輔導老師，有著豐富的考研輔導經(jīng)驗和方法。在高校任教期間，連續(xù)多年被評為優(yōu)秀教師。課上四 射，課下認負責是諸多學員對常老師的評價。他的講課深入淺出，富有啟發(fā)性和針對性，善 于總結，并倡導學員只有學會剖析問題方能真正的笑傲于考場。歡迎使用在線目錄第一講 函數(shù)1極限3連續(xù)6導數(shù)與微分7不定積分10定積分13第二講第三講第四講第五講第六講 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學第一講函數(shù)【教學目

2、的】掌握微積分的理論基礎【教學重點】基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)，掌握三角函數(shù)之間的常用關系【內(nèi)容展開】 一、函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義 設兩個變量 x 和 y 之間有一個對應規(guī)律,使變量 x 在可取值的數(shù)集內(nèi)每取一個值時，變量 y按照這個規(guī)律總有確定的數(shù)值和它對應，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記作 y = f (x) ， x 的取值范圍為定義域，所有函數(shù)值構成的集合稱為值域. 注：定義域的求解 若函數(shù)是用解析式表示的，則定義域就是自變量所能取的使解析式有意義的一切實數(shù)的集合 若由實際問題建立的函數(shù)，定義域就是具有實際意義的自變量取值的集合； 復雜函數(shù)的定義域，就是求解由簡單函數(shù)的定義域所構成的不等

3、式組的解集； 表達式與自變量的表示符號無關 2. 函數(shù)的分類及表示方法基本初等函數(shù)（定義域、值域、圖形、特性要非常清楚） （1）常值函數(shù)yC（常數(shù)） y = xa （a 為常數(shù)） （2）冪函數(shù)y = ax （ a 0 且 a 1 ）（3）指數(shù)函數(shù)y = loga x （ a 0 且 a 1 ）（4）對數(shù)函數(shù)y = sin x; y = cos x; y = tan x. y = cot x; y = sec x; y = csc x. y = arcsin x; y = arc cos x;y = arctan x; y = arc cot x.（5）三角函數(shù)（6）反三角函數(shù)初等函數(shù)：由基本初

4、等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復合所構成的用一個解析表達式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù) 分段函數(shù)：如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個表達式表示，而要用兩上或兩個以上的表達式來表示 3.函數(shù)的四大特性 （1）奇偶性：（要求定義域關于原點對稱） 若 f (-x) = f (x) ，則稱 f (x) 為偶函數(shù)； 若 f (-x) = - f (x)，則稱 f (x) 為奇函數(shù)； 1 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學注：奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；偶函數(shù)圖像關于 y 軸對稱； 常見的奇函數(shù)有： sin x, tan x, arctan x, arcsin x 等；

5、常見的偶函數(shù)有： cos x,arccos x 等 （2）周期性： 若 f (x + T ) =f (x) ，則稱T 為 f (x) 的周期.由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一 般我們把其中的最小正周期稱為周期. 注：常見的周期函數(shù)有：sin x, cos x 以2p 為周期， tan x, cot x, sin x , cos x ,sin 2 x 等以p 為周期 （3）單調(diào)性： 若 f (x) 在區(qū)間 I 上有定義，若x1 , x2 I（ x1 x2 ）總有 f (x1 ) f (x2 ) ，則單調(diào)遞減. 注：一個函數(shù)的單調(diào)性取決于區(qū)間 （4）有界性 f (x) 在區(qū)間 I 上有定義，

6、x I , 都有 f (x) 0( 0 ，當0 | x - x0 | 0( 0 ，當0 | x - x0 | d 時，有 f (x) Mx x0（4）四則運算性質(zhì)設lim f (x) = A, lim g(x) = B ，則 1） lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) = A B ； 2） lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x) = AB ； 3） lim kf (x) = k lim f (x) = kA ；f (x) = lim f (x) =A （B 0)4） limg(x)lim g(x)B注意：該性質(zhì)要運用時一定要注意每

7、一部分都要有極限才能使用 3極限的計算 （1）極限存在的兩個準則 定理 1（單調(diào)有界準則）：若數(shù)列xn 滿足單調(diào)上升（下降）有上界（下界），則有極限.定理 2（夾逼準則）：設數(shù)列xn 滿足以下兩個條件 1）從某項起 yn xn zn2） lim yn = lim zn = ann3 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學則xn 有極限且lim xn = a .n（2）關于極限的計算 1）套用基本公式求極限Pn (x)Pn(x0 )lim C = C ； limP (x) = P (x) ； lim=（ Q (x ) 0)nn0m00 Qm (x)Qm (x0 )x

8、 xxx00當m n時2）套用兩個重要極限sin x= 1 求極限利用第一個重要極限limx0例：計算下列極限xsin 2xsin kx1） lim2） limx03） lim x cot xx0 sin 3xxx01利用第二個重要極限lim (1 + x) x = e 求極限x0例：計算下列極限 x + 1 x11） lim (1- x) x x02x2） lim (1+x)3x3） lim x x -14. 無窮小與無窮大 （1） 無窮小量定義：若lim f ( x) = 0 ，則稱 f ( x) 為無窮小量（2） 無窮小的性質(zhì)： 有界變量乘無窮小量仍是無窮小量. 在同一過程中,有限個無窮

9、小的代數(shù)和仍是無窮小. 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 有限個無窮小的乘積是無窮小. （3） 無窮小的比較： f ( x) g (x)設lim f ( x) = 0，lim g ( x) = 0 ，且lim= l1) l = 0 ，稱 f ( x) 是比 g (x) 高階的無窮小量，稱 g (x) 是比 f ( x) 低階的無窮小量記為 f ( x) = o g ( x)2) l 0 ，稱 f ( x) 與 g (x) 是同階無窮小量.3) l =1，稱 f (x) 與 g (x) 是等價無窮小量，記為 f (x) g(x)4 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學

10、f (x)= c(c 0) ，稱 f (x) 是 g(x) 的k 階無窮小4） limg k (x)注：（1）等價無窮小有個良好的性質(zhì)可用定理表示如下： 定理 3：設 f (x) f (x) ，g(x) g (x) ，若limf1 (x) 存在，則limf (x) = lim f1 (x) . 11g (x)g(x)g (x)11該定理表明求 0 的極限時，可對分子分母分別做等價代換其結果將保持不變，此結論可 0使得計算簡單許多. （2）常見的等價無窮?。?x 0)x sin x arcsin x tan x arctan x ln(1 + x) ex -111 - cos x x22(1 +

11、 x)a -1 ax（3）等價無窮小不能例:計算下列極限 lim (3x sin 1 + 1 sin 3x)，一般建議應用于乘除法因子中做等價代換. lim (3x sin 1 + 1 sin 3x)xxtan x - sin xxx1 - cos2xx0xlimx0limsin 3 xx01 + x2 -1f ( x) M ，則稱 f ( x) 為（4）無窮大量定義：任給 M 0 ，當 x 變化一定以后，總有無窮大量，記lim f (x) = . （5）無窮小和無窮大的關系：11) 若 lim f (x) = ，則lim= 0 ；f (x)12) 若 lim f (x) = 0 ，且 f (

12、x) 0 ，則lim= .f (x)5 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學第三講連續(xù)【教學目的】掌握微積分的理論基礎【教學重點】連續(xù)的定義以及間斷點的類型【教學難點】連續(xù)與間斷的判定【內(nèi)容展開】 1函數(shù)在某點連續(xù)的定義： lim Dy = 0 ,此時就稱函數(shù) f (x) 在點 f (x) 在U (x ) 內(nèi)有定義, 且 x 連續(xù),定義 1：設函數(shù)d00Dx0并稱 x0 為 f (x) 的連續(xù)點.否則稱 x0 為 f (x) 的間斷點. f (x) = f (x0 ) ，那么就稱定義 2：設函數(shù) f (x) 在Ud (x0 ) 內(nèi)有定義，如果有 limf (x)

13、 在 x0x x0處連續(xù)，否則在 x0 處間斷. 注 ： lim f (x) = f (x0 ) lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) ， xx0xx +xx-00f (x) 在 x0 處連續(xù)的充要條件是既要左連續(xù)又要右連續(xù).即2.間斷點的類型 1）第一類間斷點：左右極限都存在的點.若左極限等于右極限，稱此時的間斷點為第一類的可去間斷點（可通過修改或者補充原函數(shù)的定義使此類間斷點變成連續(xù)點）；若左極限不等于右極限，稱此時的間斷點為第一類中的跳躍間斷點. 2）第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在,若lim f (x) = ，則稱 x0 是 f (x) 的無窮 x x0

14、間斷點. 例：判定下列函數(shù)在給定點處的連續(xù)性，若不連續(xù)請指明間斷點的類型，若是可去間斷點請修改或者補充原函數(shù)的定義使其成為連續(xù)點 x +1x 0x = 0x 0)dx(a 0)dx a 2 + x2x 1 +x3.分部積分法的基本原理 設u ( x)，v ( x)均有連續(xù)的導數(shù)，則 u ( x)dv ( x) = u ( x)v ( x) - v ( x)du (x)例：計算下列不定積分 x sin xdx x arctan xdx x ln xdxex sin xdxarctan xdxxe-xdx4.有理函數(shù)積分法的基本原理（1）有理函數(shù)的相關定義： P(x)a+ a xn-1 +L+ a

15、xn= 01n 其中 有理函數(shù)是指兩個多項式的商表示的函數(shù)b+ b xm-1 +L+ bxmQ(x)01ma0 , a1, a2 ,L, an 及b0 ,b1 ,b2 ,L,bm 為常數(shù)，且a0 0 ， b0 0 . 如果分子多項式 P(x) 的次數(shù)n 小于或等于分母多項式Q(x) 的次數(shù)m ，稱分式為真分式； 如果分子多項式 P(x) 的次數(shù)n 大于或等于分母多項式Q(x) 的次數(shù)m ，稱分式為假分式. 利用多項式除法可得，任一假分式可轉化為多項式與真分式之和. （2）定理：若上面定義中的Q(x) 可以被因式分解成 Q(x) = b (x - a)k L(x - b)l (x2 + px +

16、 q)s L（ p2 - 4q 0)011 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學則A1A2AkP(x)=+L+LQ(x)(x - a)(x - a)2(x - a)kB1B2Bl+L+L(x - b)(x - b)2(x - b)lP1x + Q1P2x + Q2P1x + Q1+L+Lx 2 + px + q(x 2 + px + q)2例:求下列不定積分 (x 2 + px + q)s 1dx 1dxx - 5x + 62(1+ x)(1 + x2 )【教學總結】本部分主要涉及不定積分定義與計算，要求能掌握不定積分的三大核心計算方 法，第一換元法，第二換元法

17、，分部積分法 12 在線 考研數(shù)學網(wǎng)絡課堂系列高等數(shù)學第六講 定積分【教學目的】理解定積分的定義和性質(zhì)，掌握定積分的計算方法【教學重點】定積分的定義和性質(zhì)定積分的計算方法【教學難點】定積分的定義【內(nèi)容展開】 一、定積分的概念與性質(zhì) 1定義：設函數(shù) f (x)在a,b 上有界，在a,b中任意插入若干個分點a = x0 x1 x2 L xn-1 b 時，f (x)dx = -f (x)dxab性質(zhì) 1：函數(shù)和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差），即 bbb f (x) g(x)dx =f (x)dx g(x)dxaaa性質(zhì) 2 ：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即 bbkf (x)dx = kf (x)dx( k 是常數(shù))aa性質(zhì) 3 ：如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩個區(qū)間上定積分之和，則 bcbf (x)dx =f (x)dx +f (x)dxaac注意：我們規(guī)定無論a, b, c 的相對位置如何，總有上述等式成立.性質(zhì) 4 ：如果在區(qū)間a,bbbf (x) 1,則f (x)dx =dx = b - a上， aa性質(zhì) 5 ：如果在區(qū)間a,b上， f (x) 0,則bf (x)dx 0(a b)a如果在 a,b上，