1、第七章,導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,第43講,導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)b11，即b2時(shí)，x、f (x)的變化情況如下表：,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先找出函數(shù)的極值點(diǎn)，再判斷在極值點(diǎn)鄰近函數(shù)的變化趨勢本題是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的常見問題，由于參數(shù)b的大小直接影響函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此要對(duì)b進(jìn)行分類討論,點(diǎn)評(píng),函數(shù)的極值,【解析】(1)證明：依題意，得f (x)x33x29xc0有三個(gè)互異的實(shí)根 設(shè)g(x)x33x29xc，則g(x)3x26x93(x3)(x1) 當(dāng)x0，則g(x)在(，3)上為增函數(shù)； 當(dāng)31時(shí)，g(x)0，則g(x)在(1，)上為增函數(shù),所以函數(shù)g(x)在x3時(shí)取極大值，在x1時(shí)取

2、極小值 當(dāng)g(3)0或g(1)0時(shí)，g(x)0最多只有兩個(gè)不同實(shí)根 因?yàn)間(x)0有三個(gè)不同實(shí)根， 所以g(3)0且g(1)0，且139c27且c5，故27c5.,又f (x)x33x29xc， 當(dāng)c27時(shí)，f (x)(x3)(x3)2； 當(dāng)c5時(shí)，f (x)(x5)(x1)2. 因此，當(dāng)273且a23， 即3a1. 故a5或3a1. 反之，當(dāng)a5或3a1時(shí)， 總可找到c(27,5)使函數(shù)f(x)在區(qū)間a，a2上單調(diào)遞減 綜上所述，a的取值范圍是(，5)(3,1),本題以函數(shù)的極值為背景考查分析問題的思維能力和對(duì)參數(shù)范圍的識(shí)別能力解答中有三處值得體會(huì)，一是函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，說明方程f(x)0有

3、三個(gè)互異實(shí)根；二是要明確f(x)0的三個(gè)根的分布；三是如何確定x3的范圍,點(diǎn)評(píng),【變式練習(xí)2】 已知函數(shù)f(x)x3ax23x1(a0)，若f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍,【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3ax23x1(a0)在R上為增函數(shù)， 所以f (x)3x22ax30在R上恒成立， 由4a2360，所以a29，所以0a3； 又因?yàn)楫?dāng)a3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20(只有當(dāng)x1時(shí)，f(x)才等于0)，因此0a3.,函數(shù)的最值,【例3】 已知x3是函數(shù)f(x)aln(1x)x210 x的一個(gè)極值點(diǎn) (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若直線yb與函數(shù)y

4、f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍,(3)由(2)知，f(x)在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，在(3，)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x1或x3時(shí)，f (x)0. 所以f(x)的極大值為f(1)16ln29，極小值為f(3)32ln221. 因此，f(7)3(16ln27)16ln29f(1)，f(e21)321121f(3) 所以在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(1,1)，(1,3)，(3，)上，直線yb與yf(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)bf(1).因此，b的取值范圍為(32ln221,16ln29),此題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值與方程根的問題熟悉函數(shù)的求導(dǎo)公式，

5、理解求導(dǎo)在函數(shù)最值中的研究方法是解題的關(guān)鍵數(shù)形結(jié)合理解圖象的性質(zhì)是解題的一種策略,點(diǎn)評(píng),【變式練習(xí)3】 已知函數(shù)f(x)ax36ax2b在1,2上的最大值為3，最小值為29，求a，b的值,(2)當(dāng)a0，則f (x)0. 所以f(0)b是極小值 又f(1)a6abb7a，f(2)b16a， 所以f(1)f(2)， 所以f(0)b是最小值，f(2)b16a是最大值,不等式的證明與恒成立問題,(3)由(1)可知f(x)x2ex1x3x2， 故f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x) 令h(x)ex1x，則h(x)ex11. 令h(x)0，得x1. 因?yàn)楫?dāng)x(，1時(shí)，h(x)0，所以h(x)在(

6、，1上單調(diào)遞減,故當(dāng)x(，1時(shí)，h(x)h(1)0； 因?yàn)閤1，)時(shí)，h(x)0，所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增 故當(dāng)x1，)時(shí)，h(x)h(1)0. 所以對(duì)任意x(，)，恒有h(x)0. 又x20， 因此，f(x)g(x)0. 故對(duì)任意x(，)，恒有f(x)g(x),比較兩個(gè)函數(shù)的大小時(shí)，要考慮兩個(gè)函數(shù)的定義域，取其公共定義域，比較兩函數(shù)的大小才有意義本題兩函數(shù)的定義域都是全體實(shí)數(shù)作差是比較大小的常用方法，作差后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值是解決不等式問題的重要思想方法,點(diǎn)評(píng),【變式練習(xí)4】 已知函數(shù)f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR.若對(duì)于任意的a2,2，

7、不等式f(x)1在1,1上恒成立，求b的取值范圍,【解析】f (x)4x33ax24xx(4x23ax4) 由條件a2,2，可知方程4x23ax40的9a2640恒成立 當(dāng)x0時(shí)，f (x)0.,1.若f(x)x2bln(x2)在1，)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是_.,【解析】由f (x)x0， 得b(x1)21 (x1)， 所以b1.,(，1),2.若函數(shù)yx3ax24在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.,【解析】因?yàn)楹瘮?shù)yx3ax24在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，所以y3x22ax0在(0,2)內(nèi)恒成立，所以，所以a3.,3，),4.設(shè)函數(shù)f(x)x33ax23bx的圖象與直線12x

8、y10相切于點(diǎn)(1，11) (1)求a，b的值； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,(2)由a1，b3，得f(x)x33x29x. 則f (x)3x26x93(x22x3) 3(x1)(x3) 令f (x)0，解得x1或x3. 又令f (x)0，解得1x3. 所以當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(3，)時(shí)，f(x)也是增函數(shù)，但當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)是減函數(shù),5.已知函數(shù)f(x)x3bx2cx1在區(qū)間(，2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2,2上單調(diào)遞減，且b0. (1)求f(x)的解析式； (2)設(shè)0m2，若對(duì)任意的x1、x2m2，m不等式|f(x1)f(x2)|16m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值,1

9、一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，主要有四類問題：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；先證明其單調(diào)性，再運(yùn)用單調(diào)證明不等式等問題,2函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(a，b)上的可導(dǎo)函數(shù)，則f(x)0，(f(x)0)是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件如f(x)x3在R上是增函數(shù)，但當(dāng)x0時(shí)， f (0)0.,求單調(diào)區(qū)間的一般步驟： 求導(dǎo)數(shù)f (x)； 在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式 f (x)0(f (x)0)； 確定單調(diào)區(qū)間 特別注意： (1)考

10、慮定義域； (2)定義區(qū)間上的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),3函數(shù)的極值是在局部對(duì)函數(shù)值的比較，它只能是函數(shù)定義域中的內(nèi)點(diǎn)，而不能是端點(diǎn)；而最值是在整個(gè)定義域上對(duì)函數(shù)值的比較，它可以在端點(diǎn)處取得 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：求導(dǎo)數(shù)f(x)；求導(dǎo)數(shù)f(x)0的根；檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取極小值,函數(shù)的極(最)值 函數(shù)的極值刻畫的是函數(shù)在其定義域內(nèi)的局部性質(zhì)，函數(shù)的最值刻畫的是函數(shù)在其定義域內(nèi)的整體性質(zhì) 求函數(shù)極值的方法：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的鄰近左側(cè)有f(x)0，右側(cè)有f(x)0，則x0為極小值點(diǎn)，極小值為f(x0),求函數(shù)最值的方法：如果函數(shù)f(x)在(a，b)上可導(dǎo)，并在a，b上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在a，b上有最值其一般步驟為：求f(x)在a，b內(nèi)的極值；將所求極值與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值這也是求函數(shù)值域的方法 注意：可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，如證明不等式基本方法是構(gòu)造函數(shù)，討論方程的根，根據(jù)單調(diào)性和極值畫出函數(shù)的圖象，研究圖象的交點(diǎn)實(shí)際中的費(fèi)用最省和利潤最大問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)中的函數(shù)模型,1(2010江蘇模擬卷)函數(shù)f