1、數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì) 課時(shí)劃分和確定課的類型、選擇數(shù)學(xué)教學(xué)模式、設(shè)計(jì)課堂教學(xué)過程，這些對于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)來說，是整體的設(shè)計(jì)。在完成整堂課的總體設(shè)計(jì)以后，還必須對數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的每一個(gè)階段、每一項(xiàng)具體教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。如導(dǎo)入設(shè)計(jì)、情境設(shè)計(jì)、提問設(shè)計(jì)、例題設(shè)計(jì)、練習(xí)設(shè)計(jì)、討論設(shè)計(jì)和小結(jié)設(shè)計(jì)等。下面我們分別加以說明。 一、導(dǎo)入設(shè)計(jì) 1.導(dǎo)入概述 導(dǎo)入是在新的教學(xué)內(nèi)容或教學(xué)活動(dòng)開始前，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)的教學(xué)行為方式。它是課堂教學(xué)的序幕，也是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。常言道：“良好的開端是成功的一半?！本实膶?dǎo)入可以為整堂課的教學(xué)奠定良好的基礎(chǔ)。導(dǎo)入的功能主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： 引起學(xué)生注意，使學(xué)生進(jìn)入學(xué)

2、習(xí)情境。 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。 明確學(xué)習(xí)目的，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。 建立知識(shí)之間相互聯(lián)系，為學(xué)習(xí)新的內(nèi)容作好準(zhǔn)備。 導(dǎo)入新課一般應(yīng)遵循以下幾個(gè)原則： 明確目的。導(dǎo)入新課一定要圍繞教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)。 短小精悍。導(dǎo)入新課要簡潔明快、直截了當(dāng)，達(dá)到目的即進(jìn)入正題。切忌拖拉，影響新課的講授。 別致新穎。導(dǎo)入新課要有新意，才能引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲望。案例 在講“合并同類項(xiàng)”時(shí)，用考一考老師的活動(dòng)引入。“請你任意說出一個(gè)一至兩位整數(shù)考一考老師是否能很快地說出代數(shù)式-81x2+6x+2x2-3x+79x2的值”，一改過去只有教師考學(xué)生的方式，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與積極性

3、，激發(fā)了他們的求知欲，讓學(xué)生在愉快的氛圍中感悟知識(shí)的生成、發(fā)展和變化。 因課制宜。導(dǎo)入新課要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容采用不同的方法，具體情況具體分析。 2導(dǎo)入的方法 數(shù)學(xué)課的導(dǎo)入方法多種多樣，在進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要根據(jù)教學(xué)的目標(biāo)和內(nèi)容靈活運(yùn)用，常用的導(dǎo)入方法有以下幾種： (1)實(shí)例導(dǎo)入。由于數(shù)學(xué)在生產(chǎn)和生活實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，很多數(shù)學(xué)概念、定理、公式和法則都來自于實(shí)踐，與日常生產(chǎn)和生活有密切的聯(lián)系，因此可以選取一些生動(dòng)形象的實(shí)際例子來引入數(shù)學(xué)知識(shí)，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，又符合學(xué)生從實(shí)踐到理論、從感性知識(shí)到理性知識(shí)的認(rèn)識(shí)規(guī)律。 例如，學(xué)習(xí)方差的概念，可以這樣設(shè)計(jì)導(dǎo)入的： 首先提出以下實(shí)際

4、問題讓學(xué)生思考： 某市農(nóng)科所培育了“一品紅l號(hào)”和“一品紅2號(hào)”兩個(gè)柑桔新品種，對試種的兩種桔樹各抽10株進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下(單位：千克株)：一品紅l號(hào)50475l53475053475349一品紅2號(hào)50504950495250505049試求這兩個(gè)新品種每株桔樹的平均產(chǎn)量。從高產(chǎn)、穩(wěn)產(chǎn)考慮，上述兩個(gè)品種哪個(gè)優(yōu)良?學(xué)生無法比較，引導(dǎo)學(xué)生觀察下列圖形：為了更清楚地進(jìn)行觀察，將以上兩個(gè)圖形改進(jìn)為以下兩個(gè)圖形：通過觀察，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)品種產(chǎn)量的穩(wěn)定性是不一樣的，說明只用平均產(chǎn)量不能判定哪種品種好，還需了解產(chǎn)量的穩(wěn)定性，有必要引入方差的概念。(2)直觀導(dǎo)入。在學(xué)習(xí)新課題之前，先讓學(xué)生觀察實(shí)物、標(biāo)本、模型、

5、圖表；幻燈、投影或電影錄像等，引起學(xué)生的興趣，學(xué)生通過直觀形象演示操作，感知數(shù)學(xué)知識(shí)，從而導(dǎo)入新課。案例26 數(shù)學(xué)課上通過紙板三角形三個(gè)角的剪貼讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論三角形三內(nèi)角之和等于180。，然后，教師對此結(jié)論進(jìn)行研究，這就導(dǎo)入了新課；再如，在學(xué)習(xí)“二面角”時(shí)，讓學(xué)生把書打開，使學(xué)生看到書兩部分所成的角，對“二面角”有一個(gè)直接的感性認(rèn)識(shí)，使這節(jié)課研究“二面角”很方便。 例如，軸對稱的概念的導(dǎo)入可以這樣來進(jìn)行設(shè)計(jì)： 教師出示如下圖的三組教具，讓學(xué)生觀察并回答下列問題： 每組中的兩個(gè)三角形的形狀、大小有什么關(guān)系? 每組中一個(gè)三角形通過怎樣的運(yùn)動(dòng)，可以得到另一個(gè)三角形? 讓學(xué)生進(jìn)行具體操作，從一個(gè)

6、三角形運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)三角形。指到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入 軸對稱的概念。 (3)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入。教師設(shè)計(jì)一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實(shí)驗(yàn)，通過演示或讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行操作，揭示事物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的結(jié)論，由此導(dǎo)入課題。這種導(dǎo)入方法，既可以激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學(xué)效果。 例如，江蘇省南京師范大學(xué)附中馬明老師在教“球的體積”時(shí)，先 做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：取一個(gè)半徑為R的到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入 軸對稱的概念。 (3)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入。教師設(shè)計(jì)一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實(shí)驗(yàn)，通過演示或讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行操作，揭示事

7、物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的結(jié)論，由此導(dǎo)人課題。這種導(dǎo)入方法，既可以激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學(xué)效果。 例如，江蘇省南京師范大學(xué)附中馬明老師在教“球的體積”時(shí)，先 做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：取一個(gè)半徑為R的到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入 軸對稱的概念。 (3)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入。教師設(shè)計(jì)一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實(shí)驗(yàn)，通過演示或讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行操作，揭示事物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的結(jié)論，由此導(dǎo)人課題。這種導(dǎo)入方法，既可以激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學(xué)效果。 例如，江蘇省南京師范大學(xué)附中馬明老師在教“球的體積”時(shí)，先 做一個(gè)

8、實(shí)驗(yàn)：取一個(gè)半徑為R的出圖4-7(a)可以通過平移得到，圖4-7(b)和4-7(c)可以通過對稱得到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入軸對稱的概念。 (3)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入。教師設(shè)計(jì)一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實(shí)驗(yàn)，通過演示或讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行操作，揭示事物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的結(jié)論，由此導(dǎo)人課題。這種導(dǎo)入方法，既可以激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學(xué)效果。例如，江蘇省南京師范大學(xué)附中馬明老師在教“球的體積”時(shí)，先做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：取一個(gè)半徑為R的半球容器，再取半徑和高都是R 的圓桶和圓各一個(gè)。把圓錐放 人圓桶內(nèi)，再將半球容器裝滿細(xì)，然后把半球容器內(nèi)的細(xì)沙

9、倒入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被細(xì)沙裝滿(如圖4-8)?？梢缘贸鲇纱藢?dǎo)入球的體積公式，下面進(jìn)一步加以證明。案例 在教“長方體和正方體的體積”時(shí)，我讓學(xué)生把預(yù)先做好的8個(gè)1 cm。的正方體積木拿出來，讓他們用這些小積木各自擺長方體和正方體。然后提出如下問題：你擺成的長方體或正方體的體積是多少?你是怎樣知道的?你擺成的長方體或正方體的長、寬、高各是多少?你是怎樣知道的?體積的長、寬、高有什么聯(lián)系?這樣導(dǎo)入新課，能激發(fā)學(xué)生探索知識(shí)形成的全過程的興趣。(4)舊知識(shí)導(dǎo)人。這是常用的導(dǎo)人方法。在學(xué)習(xí)新知識(shí)前，先復(fù)習(xí)舊知識(shí)，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，從已知的領(lǐng)域進(jìn)入未知的境界，從而引入新知識(shí)。

10、 例如學(xué)習(xí)平行線分線段成比例定理時(shí)，先復(fù)習(xí)平行線等分線段定理，然后在此基礎(chǔ)上提出：等分線段是兩線段的比等于l，如果兩線段的比不等于l，可以得到什么結(jié)論?由此引入平行線分線段成比例定理。 5)懸念導(dǎo)人。懸念導(dǎo)入是利用一些暫時(shí)懸而未決的問題，與學(xué)生已有觀念造成的認(rèn)知沖突來導(dǎo)入新課的方法。這種導(dǎo)入方法使學(xué)生置身于認(rèn)知矛盾之中，激起他們解決矛盾的強(qiáng)烈愿望，促使他們積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)。 例如在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)三角形式時(shí)，先讓學(xué)生計(jì)算、，然后問學(xué)生等于多少?學(xué)生一下子無法回答，形成了一個(gè)懸念。這時(shí)教師就指出：如果學(xué)了復(fù)數(shù)三角形式，這個(gè)問題就迎刃而解了，于是引入了復(fù)數(shù)三角形式。 (6)類比導(dǎo)人。類比導(dǎo)入是通

11、過比較兩個(gè)數(shù)學(xué)對象的共同屬性來引入新課的方法。已知的數(shù)學(xué)對象比較熟悉，新的數(shù)學(xué)對象通過與已知的數(shù)學(xué)對象類比，引入就比較自然。 例如在進(jìn)行分式基本性質(zhì)教學(xué)時(shí)，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，然后通過類比導(dǎo)入分式的基本性質(zhì)。 (7)故事導(dǎo)入。中學(xué)生都愛聽有趣的故事，在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中有許多動(dòng)人的故事，通過講故事導(dǎo)入，可以使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的興趣，激起強(qiáng)烈的求知欲望。而且很多數(shù)學(xué)故事還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想方法，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)觀念很有好處，同時(shí)又可以對學(xué)生進(jìn)行思想品德教育，培養(yǎng)學(xué)生愛國主義精神。 例如，在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，常常講下列的故事：從前有一個(gè)國王，因?yàn)榇蟪加泄Χo予獎(jiǎng)勵(lì)，問大臣要什么獎(jiǎng)勵(lì)?大臣提出

12、獎(jiǎng)勵(lì)的辦法是：要求在國際象棋棋盤中每一格中放米，第l格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，以后每一格放的米粒數(shù)是前面一格的2倍，以此類推，一直放到第64格。將這些米粒的總數(shù)獎(jiǎng)給自己。國王很爽快地答應(yīng)了，但是后來一算，不得了，全國糧倉中所有的米都獎(jiǎng)給他還不夠。你幫他算算看，為什么?這樣引入等比數(shù)列，既生動(dòng)有趣；又明白易懂。案例 在講無理數(shù)時(shí)，先講故事：古希臘有一個(gè)很著名的數(shù)學(xué)學(xué)派叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們視整數(shù)為神靈，認(rèn)為數(shù)學(xué)中的一切現(xiàn)象都可以歸結(jié)為“整數(shù)或整數(shù)之比”。因此當(dāng)數(shù)學(xué)家希帕索斯發(fā)現(xiàn)單位正方形的對角線不能用整數(shù)表示時(shí)，引起了畢派的極大恐慌與震驚，他們競殘忍地將希帕索斯拋入了大海，為了一類新

13、的數(shù)的發(fā)現(xiàn)，希帕索斯獻(xiàn)出了自己的生命。再說：今天我們就學(xué)習(xí)這一類數(shù)無理數(shù)。二、教學(xué)情境設(shè)計(jì) 1，教學(xué)情境概述 教學(xué)情境是一種特殊的教學(xué)環(huán)境，是教師為了發(fā)展學(xué)生的心理機(jī)能，通過調(diào)動(dòng)“情商”來增強(qiáng)教學(xué)效果而有目的創(chuàng)設(shè)的教學(xué)環(huán)境。也是教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)造出師生情感、欲望、求知探索精神的高度統(tǒng)一、融洽和步調(diào)一致的情緒氛圍。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng)，學(xué)習(xí)應(yīng)與一定的情境相聯(lián)系，在實(shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)同化當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識(shí)。這樣獲取的知識(shí)，不但便于保持，而且容易遷移到新的問題情境中去。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，不僅可以使學(xué)生容易掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，而且可以“

14、以境生情”，可以使學(xué)生更好地體驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中的情感，使原來枯燥的、抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)形象、饒有興味，并且受到思想品德教育。 2教學(xué)情境的類型教學(xué)情境的類型很多，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用較多的有以下幾種： (1)問題情境。教師提出具有一定概括性的問題，與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，學(xué)生單憑現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)和技能暫時(shí)無法解決，于是激起學(xué)生的求知欲望，形成一種教學(xué)情境。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過探索和研究解決問題。 (2)故事情境。教師通過講數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的故事、有關(guān)數(shù)學(xué)家的故事創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲望，使學(xué)生在聽故事的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，接受思想教育。 例如在教等差數(shù)列求前n項(xiàng)和的公

15、式時(shí)，常常講高斯小時(shí)候計(jì)算1+2+3+100的故事。故事既能引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又體現(xiàn)了推導(dǎo)等差數(shù)列求前n項(xiàng)和的公式的思路。 (3)活動(dòng)情境。教師通過組織學(xué)生進(jìn)行與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的活動(dòng)，構(gòu)建教學(xué)情境，讓學(xué)生在活動(dòng)中提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)。 例如在教利息計(jì)算時(shí)，可以開展模擬銀行存貸款的活動(dòng)。將班級分成幾個(gè)小組，有的小組扮演銀行角色，公布各檔存貸款的利率。另一些小組扮演儲(chǔ)戶或借貸戶角色。儲(chǔ)戶向銀行存款，借貸戶向銀行借款，并且提出問題：向銀行存或借一定數(shù)量的錢，并且知道存或借多少時(shí)間，要銀行計(jì)算每筆存款或借款的利息。在活動(dòng)一段時(shí)間以后，扮演銀行和扮演儲(chǔ)戶或借貸戶的兩種角色相互交換。通過活動(dòng)

16、讓學(xué)生掌握利息的計(jì)算。在立體幾何入門教學(xué)時(shí)，可以提出這樣問題引導(dǎo)學(xué)生參與操作活動(dòng)。用6要用長度相等的牙簽或火柴搭正三角形，試試你最多能搭幾個(gè)正三角形。這樣以直觀、巧妙的操作方式引導(dǎo)學(xué)生思維由平面向空間拓展，幫助學(xué)生建立起空間觀念，引出立體幾何研究的對象和目的。 (4)實(shí)驗(yàn)情境。有些數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容比較抽象，學(xué)生不容易理解，教師設(shè)計(jì)與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過觀察和動(dòng)手操作，在實(shí)驗(yàn)的情境中提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。 例如數(shù)學(xué)歸納法比較抽象，特別是學(xué)生對它為什么要有第二步不理解?？梢栽O(shè)置下列實(shí)驗(yàn)情境；幾十個(gè)骨牌一個(gè)緊挨著一個(gè)放在桌上，排列成彎彎曲曲的蛇形隊(duì)列，用一只手指推倒第1個(gè)骨牌，緊接著第

17、2個(gè)骨牌、第3個(gè)骨牌依次都倒下。可以清楚地看到，要使每一個(gè)骨牌都倒下，除了第1個(gè)骨牌必須倒下以外，還必須有：如果前面一個(gè)骨牌倒下，那么后面一個(gè)骨牌就緊接著倒下。也就是必須要有當(dāng)n=k成立時(shí) ,n=k+1也成立。 又如在教有關(guān)濃度的問題時(shí)，可以設(shè)置實(shí)驗(yàn)情境。先在量杯中倒進(jìn)溶劑，然后加進(jìn)溶質(zhì)，得到溶液。通過實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論：溶質(zhì)=濃度溶液。 (5)競爭情境。教師設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)問題，將學(xué)生分成小組，創(chuàng)設(shè)小組之間進(jìn)行比賽的情境，讓學(xué)生之間開展競爭，比準(zhǔn)確、比速度、比技巧。 例如在學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算時(shí)；可以設(shè)計(jì)有關(guān)的問題組織學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算比賽，使枯燥的運(yùn)算變成生動(dòng)活潑的競爭，大大地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性；（

18、6）猜想情境新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。而提高學(xué)生的猜想能力是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一個(gè)有效途經(jīng)。猜想情境：就是為學(xué)生設(shè)計(jì)環(huán)境條件，創(chuàng)造機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的舊知識(shí)中嘗試探索、猜測、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的情境。牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)猜想包括直覺猜想、類比猜想、實(shí)驗(yàn)猜想。學(xué)習(xí)“球的體積”可設(shè)計(jì)如下猜想情境：1.提出問題：已知球的半徑為R，則球的體積？2.提供三個(gè)模型：目測體積：圓柱、半球、圓錐之間的體積關(guān)系。3.猜測：4.細(xì)沙實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想5.構(gòu)造參照物，證明猜想

19、6.得出定理 3數(shù)學(xué)問題情境的設(shè)計(jì) (1)數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的原則； 問題要具體明確。這是問題情境設(shè)計(jì)最基本的原則。提出的問題必須目的明確，緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)，而且要非常具體。這樣學(xué)生能理解問題的含義，才有可能來探索、思考和解決這些問題。 問題要有新意。為了激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在設(shè)置問題情境時(shí)，必須選擇新穎的問題。 問題要有啟發(fā)性。教師在深入分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生情況的基礎(chǔ)上，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)使學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新知識(shí)產(chǎn)生矛盾的富于挑戰(zhàn)性的問題。 (2)數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的方法。數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的方法很多，這里介紹常用的幾種。 通過提出與新知識(shí)有關(guān)的實(shí)際問題，設(shè)置問題情境。教材中

20、有些定理和公式往往直接提出，學(xué)生不知道為什么要學(xué)，而且也比較抽象不容易理解。這時(shí)教師可以設(shè)計(jì)一些與它們有關(guān)的實(shí)際問題構(gòu)建教學(xué)情境，使抽象的內(nèi)容具體化，使數(shù)學(xué)理論結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際。學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中學(xué)到了新的數(shù)學(xué)知識(shí)。 例如北大附中張思明老師在教基本不等式和時(shí)，先提出兩個(gè)應(yīng)用題，設(shè)置問題情境。 1)某商店在節(jié)前進(jìn)行商品降價(jià)酬賓銷售活動(dòng)，擬分兩次降價(jià)。有三種降價(jià)方案：甲方案是第一次打p折銷售，第二次打q折銷售，乙方案是第一次打q折銷售，第二次打p折銷售；丙方案是兩次都打 折銷售，請問哪一種方案降價(jià)較多? 2)用一個(gè)有毛病(天平的兩臂之長略有差異，其他因素忽略)的天平怎樣稱量物體的重量?有

21、人說只要左右各稱量二次，再相加后除以2就可以了，你認(rèn)為對嗎？ 通過解決這兩個(gè)問題，引出基本不等式和 通過從前面結(jié)論進(jìn)一步引出沒有解決的問題，設(shè)置問題情境。在學(xué)生掌握了某些數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出更深入的問題讓學(xué)生探索和研究，使學(xué)生經(jīng)常處于“憤悱”的狀態(tài)。 例如，在學(xué)習(xí)了基本不等式。和以后，進(jìn)一步提出以下兩個(gè)問題組織學(xué)生討論； 1)從這兩個(gè)基本不等式出發(fā)，再可以發(fā)現(xiàn)和證明哪些有關(guān)實(shí)數(shù)a、b或更多實(shí)數(shù)的不等式?2)若a,b是正實(shí)數(shù)，且，試排列下面六個(gè)量大小的次序： 通過實(shí)驗(yàn)設(shè)置問題情境。當(dāng)學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有學(xué)習(xí)新知識(shí)的預(yù)備知識(shí)，但新舊知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系還不容易被學(xué)生發(fā)現(xiàn)時(shí)，教師可以通

22、過具體實(shí)驗(yàn)設(shè)置問題情境，讓學(xué)生通過觀察、畫圖、動(dòng)手操作等實(shí)踐活動(dòng)，探索規(guī)律、提出猜想，然后通過邏輯論證得到定理和公式。 例如，在教“不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”時(shí)，教師先發(fā)給每一個(gè)學(xué)生一張破碎了的圓形硬紙片，并且說：“機(jī)器上的皮帶輪碎了，為了再制造一個(gè)同樣大小的皮帶輪，請你設(shè)法畫出皮帶輪對應(yīng)的圓形?！苯又寣W(xué)生用圓規(guī)、直尺、量角器等比比畫畫，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，探索問題的解法。然后在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，設(shè)置問題情境：過不在一條直線上的三點(diǎn)可以畫幾個(gè)圓? 從同一問題通過不同推理和運(yùn)算，產(chǎn)生形式上不同的結(jié)果，設(shè)置問題情境。 例如分解因式：。學(xué)生有兩種解法，出現(xiàn)兩種不同結(jié)果： 比較這兩種結(jié)果，教師提出問題：為什

23、么有兩種不同結(jié)果?是不是其中一個(gè)等式不成立?在排除了“其中一個(gè)等式不成立”的想法后，進(jìn)一步提出猜想； 從而設(shè)置“能不能分解因式，如何分解?”的問題情境。 從學(xué)生練習(xí)中發(fā)生的錯(cuò)誤，設(shè)置問題情境。由于學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間產(chǎn)生矛盾，因此練習(xí)中經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生各種錯(cuò)誤，可以以此來設(shè)置問題情境。 例如學(xué)生在解排列組合問題“生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查，其中至少有l(wèi)件次品的抽法有多少種?”時(shí)，常常會(huì)產(chǎn)生以下的錯(cuò)誤： 由于從2件次品中抽出1件有種抽法，再從余下的99件中抽出4件有種抽法，因此共有種不同的抽法。 提出下列問題要求學(xué)生思考： 1)這個(gè)解法是否有錯(cuò)誤? 2)如果有

24、錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里?應(yīng)該如何解? 三、提問設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂提問設(shè)計(jì)與實(shí)施，應(yīng)是數(shù)學(xué)教師的基本功。下面是我們在課堂上記錄下來的教師提問： 在“對頂角相等”的教學(xué)中，一位老師提問：“相交線有什么性質(zhì)?” 在講“平行四邊形”時(shí)，教師提問：“對角線互相平分是四邊形為平行四邊形的什么條件?” 在講梯形時(shí)，有位教師提問：“同學(xué)們，請考慮一下，圓的內(nèi)切梯形是什么四邊形?” 一位教初中二年級的老師，在講“有理數(shù)的乘法法則”時(shí)，首先要確定積的符號(hào)，于是同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，再將絕對值相乘。這些都講得十分到位。在得意之余，這位教師突然冒出一句：“同學(xué)們，你們想過沒有，為什么負(fù)負(fù)得正呢?” 以上的問題設(shè)計(jì)是否合理，問題的表述

25、是否清楚，問題的答案是否確定，問題本身是否超越了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)7 l提問概述 提問是教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的目的要求，以提出問題的形式，通過師生相互作用，檢查學(xué)習(xí)、促進(jìn)思維、鞏固知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的一種教學(xué)行為和方式。它是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)教師與學(xué)生交流的一種重要方式。 提問具有以下幾種功能： (1)激勵(lì)參與。通過思考問題，使學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，將注意力吸引到所學(xué)習(xí)的內(nèi)容上去，充分激發(fā)學(xué)生思維的主動(dòng)性，積極參與教學(xué)活動(dòng)。 半球容器，再取半徑和高都是R 的圓桶和圓錐各一個(gè)。把圓錐放 人圓桶內(nèi)，再將半球容器裝滿細(xì) 沙，然后把半球容器內(nèi)的細(xì)沙倒 入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被細(xì)沙 裝滿(如圖

26、4-8)。可以得出：做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：取一個(gè)半徑為R的 半球容器，再取半徑和高都是R 的圓桶和圓錐各一個(gè)。把圓錐放 人圓桶內(nèi)，再將半球容器裝滿細(xì) 沙，然后把半球容器內(nèi)的細(xì)沙倒 入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被細(xì)沙 (2)學(xué)會(huì)思維。教師的提問可以起示范作用，教會(huì)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。學(xué)生在分析問題和解決問題的過程中，學(xué)會(huì)如何進(jìn)行比較、分析、綜合、抽象、概括、演繹和歸納，從而學(xué)會(huì)思考問題的方法，提高思維的能力。 (3)檢查反饋。通過提問可以檢查學(xué)生是否掌握已學(xué)過的知識(shí)，及時(shí)得到反饋的信息，了解學(xué)生認(rèn)知的狀態(tài)，診斷學(xué)生的困難和問題，從而對教學(xué)過程進(jìn)行調(diào)整，并對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。 (4)鞏固強(qiáng)化。學(xué)生在回答

27、問題的過程中，通過不斷思考，鞏固強(qiáng)化所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，提高綜合運(yùn)用的能力。 2提問的類型 提問可以根據(jù)不同的要求進(jìn)行分類；可按提問的目的或方式來劃分，也可按問題的認(rèn)知水平來劃分。這里我們根據(jù)問題的認(rèn)知水平將提問分為六類： (1)回憶型提問。通過回憶以前學(xué)過的定義、定理、公式和法則，回答教師要求記憶的內(nèi)容，讓學(xué)生對已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)再現(xiàn)和確認(rèn)。這種問題常常是本堂課新授內(nèi)容的基礎(chǔ)和預(yù)備知識(shí)，與新知識(shí)有密切的聯(lián)系，為學(xué)習(xí)新知識(shí)提供條件。這類提問雖然認(rèn)知層次比較低，但是對于學(xué)好新知識(shí)是非常必要的。：不過提問的數(shù)量要有所控制，特別是有些只需回答是或否的問題，更要嚴(yán)格加以限制。否則課堂上看來很熱鬧，但學(xué)生

28、的思維深度不夠。最近國內(nèi)的一些研究資料指出：中學(xué)數(shù)學(xué)高密度的提問已成為課堂教學(xué)的重要方式，回答時(shí)間有的要占整堂課的一半以上，但是提問中記憶性問題居多，很少有批判性、創(chuàng)造性的問題。把可供探索的問題分解為較低認(rèn)知水平的結(jié)構(gòu)性問答，組織化程度較高，有利于掃除教學(xué)障礙，但不利于學(xué)生主動(dòng)性的發(fā)揮。案例131 復(fù)數(shù)三角式的求和問題 求(COS 1+isin 1)+(COS 2+isin 2)+(COS 60+isin 60)=? 學(xué)生大部分都按復(fù)數(shù)加法法則來算，結(jié)果，進(jìn)退維谷，陷入冷場。這時(shí)教師以較重的聲音發(fā)問：復(fù)數(shù)“三角式”的乘法法則是什么?此題能否和數(shù)列聯(lián)系起來?這一導(dǎo)向性的問題使學(xué)生茅塞頓開，悟出這

29、是一個(gè)首項(xiàng)與公比都是(COS 1+isin 1)的等比數(shù)列求和問題，于是得和為0。教師到此進(jìn)一步提問：若把上題的加號(hào)改為乘號(hào)又有什么結(jié)果?學(xué)生又躍躍欲試，課堂氣氛立即活躍起來。教師寥寥數(shù)語的點(diǎn)撥，引發(fā)了學(xué)生積極思維，取得良好的效果。 (2)理解型提問。這種提問要求學(xué)生對已知信息進(jìn)行內(nèi)化處理后，能用自己的話對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行表述、解釋和組合，對所學(xué)的概念、定理等進(jìn)行比較，揭示其本質(zhì)區(qū)別。例如，在學(xué)習(xí)圓周角定義時(shí)，為了使學(xué)生理解概念的內(nèi)涵：圓周角的頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊分別都和圓相交。在黑板上畫出如下的圖形：（a） （b） (c) (d) (e) 提問學(xué)生：試判斷上述圖形中的角是不是圓周角?要求學(xué)生在理

30、解圓周角概念的基礎(chǔ)上回答。(a)和(b)雖然角的兩邊都與圓相交，但頂點(diǎn)不在圓上，它們都不是圓周角。(c)和(d)雖然頂點(diǎn)在圓上，但角的兩邊不都與圓相交，它們都不是圓周角。(e)頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊分別都和圓相交，它是圓周角。 又如，為了使學(xué)生深入理解雙曲線的定義，可以提出以下的問題： 將定義中的“小于”換為“等于”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么? ， 將定義中的“小于換為“大于”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么? 將定義中“差的絕對值是常數(shù)(小于”改為“差是常數(shù)(絕對值小于”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么? 若這個(gè)常數(shù)等于零，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么? (3)運(yùn)用型提問。設(shè)置一個(gè)新的簡單的問題情境，讓學(xué)生運(yùn)

31、用新獲得的知識(shí)結(jié)合過去學(xué)過的知識(shí)解決新的問題，這種提問稱為運(yùn)用型提問。這樣的提問往往在學(xué)習(xí)新的概念、定理、公式和法則后進(jìn)行。例如在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元二次方程解法以后，給出各種類型的一元二次方程，提問學(xué)生，要求他們能口頭回答，如何解這些一元二次方程。 (4)分析型提問。這種提問要求學(xué)生把事物的整體分解為部分，把復(fù)雜事物分解為簡單事物，分清條件與結(jié)論，找出條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系。例如，余弦定理教學(xué)，在ABC中，已知a、b和C，如何求c?首先將問題特殊化，把復(fù)雜問 A題轉(zhuǎn)化為簡單問題。提問：如果C= 90，如何求c?再提問；如果C90，怎么辦?可以將一般三角形分成兩個(gè)直角三角形。進(jìn) C一步提問，怎樣分

32、?在學(xué)生添出輔助線AD把 D BABC分成兩個(gè)直角三角形ACD和ABD后進(jìn)一步再提問：在RtABD中，如要求c，先要求什么?回答是求AD和BD。已知BCa，要求BD只要求CD。接著再提問：在RtACD中，已知C和ACb，如何求AD和CD。最后提問：前面C是直角，這里C是銳角，如果C是鈍角怎么樣?一共要分三種情況進(jìn)行討論。 (5)綜合型提問。把事物的各個(gè)部分、各個(gè)方面、各種要素、各個(gè)階段聯(lián)結(jié)成整體，找出其相互聯(lián)系和規(guī)律的提問。例如，在余弦定理推導(dǎo)結(jié)束后，可以提出還有沒有其他方法可以推導(dǎo)余弦定理?還可以提出余弦定理有什么用處?正弦定理與余弦定理有什么區(qū)別和聯(lián)系等問題，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)思考問

33、題、解決問題的能力。 (6)評價(jià)型提問。要求學(xué)生通過分析、討論；評論、優(yōu)選解法，對事物進(jìn)行比較、判斷和評價(jià)的提問。例如讓學(xué)生判斷和評價(jià)其他學(xué)生不同觀點(diǎn)和不同解法的對錯(cuò)和優(yōu)劣，并講出理由。 提問的分類方法很多，如按提問的目的可以分為：引趣性提問、準(zhǔn)備性提問、遷移性提問、探索性提問、引疑性提問、過渡性提問、鞏固性提問、反饋性提問。按提問的方式可以分為：總括式提問、引導(dǎo)式提問、比較式提問、點(diǎn)撥式提問、歸納式提問等等。這里不再一一列舉。 3提問設(shè)計(jì)的原則 (1)目的性。課堂教學(xué)提問是為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，因此，必須緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)，有目的地設(shè)計(jì)提問。可以從以下幾個(gè)方面來進(jìn)行： 根據(jù)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)設(shè)計(jì)問題

34、； 選擇教學(xué)的突破口設(shè)計(jì)問題； 在新舊知識(shí)連接點(diǎn)處設(shè)計(jì)問題； 在數(shù)學(xué)概念容易混淆處設(shè)計(jì)問題； 在教學(xué)內(nèi)容總結(jié)處設(shè)計(jì)問題。 例如，為了使學(xué)生理解正棱錐的概念，可以設(shè)計(jì)以下的提問： 棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)棱與底面所成的角也相等，試判斷這個(gè)棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)棱與底面所成的角相等，各側(cè)面上的斜高也相等，試判斷這個(gè)棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)面的面積相等，各側(cè)面在底面上射影的面積也相等，試判斷這個(gè)棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐頂點(diǎn)到底面各頂點(diǎn)的距離相等，到底面各邊的距離也相等，試判斷這個(gè)棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)面上的斜高相等，側(cè)面的面積也相等，試判斷這個(gè)棱錐是不是正

35、棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)棱與底面所成的角相等，各側(cè)面與底面所成的角也相等，試判斷這個(gè)棱錐是不是正棱錐?為什么? (2)明確性。設(shè)計(jì)的問題要明確具體，表述要清楚。要使學(xué)生明確提問什么，思考什么，回答什么，而不是籠統(tǒng)模糊、模棱兩可。 (3)啟發(fā)性。提問要針對學(xué)生的舊知識(shí)和新知識(shí)的矛盾，提出對于學(xué)生來說既不是完全不知，又不是完全知道的問題，讓學(xué)生借助已知去探索未知，啟發(fā)學(xué)生思維。 (4)層次性。所提問題的難度要有一定的層次，既有認(rèn)知水平較低的問題，又有認(rèn)知水平較高的問題。一般可以設(shè)置以下各種層次的問題： 學(xué)生參照已經(jīng)學(xué)過的概念、定理、公式或例題，就可以回答的問題； 所提問題投有現(xiàn)有的模式可以模仿，但

36、不過是現(xiàn)有模式的適當(dāng)變化和改進(jìn)， 要求學(xué)生能綜合和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來回答的問題； 要求學(xué)生能以自己特有的方式創(chuàng)造性地回答的問題。 (5)系統(tǒng)性。要按教材和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的順序，由淺入深，由易到難，由近及遠(yuǎn)，由表及里，步步深入，環(huán)環(huán)扣緊，設(shè)計(jì)一系列的問題鏈。各個(gè)問題之間內(nèi)部密切聯(lián)系，或并列或遞進(jìn)。例如命題教學(xué)中常?？梢栽O(shè)計(jì)以下的問題： 提出要解決的問題。 如何進(jìn)行分析和探索? 條件和結(jié)論之間有些什么聯(lián)系? 問題能不能簡單化，特殊化? 如何進(jìn)行證明? 還有什么方法可以證明? 可以得到一些什么規(guī)律? 問題能不能推廣到一般? 如果條件改變，結(jié)論會(huì)發(fā)生什傘變化? 如學(xué)習(xí)棱臺(tái)的中截面面積公式，可以這樣來提問

37、題： 設(shè)棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S1、S2面面積。 猜想這個(gè)棱臺(tái)的中截面面積等于什么? 將問題特殊化，如果是正四棱臺(tái)，那么怎樣來求它的中截面面積7 這個(gè)結(jié)果對一般的棱臺(tái)成立嗎? 能不能用另外的方法來解這個(gè)問題? 這個(gè)問題如何一般化? (6)針對性。要根據(jù)學(xué)生的年齡、知識(shí)基礎(chǔ)和能力來設(shè)計(jì)問題。問題難易要適當(dāng)，提問要面向全體學(xué)生，要按班級中等水平設(shè)計(jì)問題，兼顧兩頭。要使問題處于學(xué)生能力的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真思考可以回答。 四、例題設(shè)計(jì) l.例題概述 數(shù)學(xué)例題是幫助學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定理、公式和法則的數(shù)學(xué)問題，是教師用作示范的具有一定代表性的典型數(shù)學(xué)問題。它是把數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思

38、想和方法聯(lián)系起來的紐帶，是對知識(shí)、技能、思想和方法進(jìn)行分析、綜合和運(yùn)用的重要手段。例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是抽象的概念、定理、公式和具體實(shí)踐之間的橋梁，是使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的重要環(huán)節(jié)。它具有以下幾項(xiàng)功能： (1)引入新知識(shí)。數(shù)學(xué)中的概念、定理、公式一般都比較抽象，學(xué)生不容易理解，也不知道為什么要學(xué)習(xí)它們。通過例題引入，比較生動(dòng)、具體，容易引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。在例題的基礎(chǔ)上，通過抽象、概括、歸納、演繹得出概念、定理和公式。 (2)解題示范。通過例題示范，讓學(xué)生在模仿的基礎(chǔ)上，掌握解決問題的思路、方法，學(xué)會(huì)分析、語言表達(dá)和書寫格式。在例題學(xué)習(xí)過程中，通過潛

39、移默化的影響，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法。 (3)加深理解。在初學(xué)概念、定理和公式時(shí)，學(xué)生對它們還只是初步的理解。通過例題的學(xué)習(xí)，在運(yùn)用概念、定理和公式解題的過程中，逐步加深對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和基本技能的掌握。 (4)提高能力。通過例題的分析和解題策略的教學(xué)，進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。具體表現(xiàn)為：善于運(yùn)用某種方法和手段改變問題情境的能力，善于構(gòu)思新的解題方法的能力，善于將數(shù)學(xué)方法進(jìn)行遷移的能力。 2例題設(shè)計(jì)的原則 (1)目的性。設(shè)計(jì)例題首先必須明確目的，為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)。 有的是為了引入概念，有的是為了推導(dǎo)某一個(gè)公式，有的是為了說明定理和法則的運(yùn)用，也有的是為了

40、強(qiáng)調(diào)解題格式和書寫規(guī)范，還有的是為了體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法。教師要根據(jù)不同的目的選擇不同的例題。 (2)典型性。要選擇典型的、有代表性的問題作為例題，通過教學(xué)能舉一反三、一題多解、一例多用、由例及類、由此及彼、觸類旁通。通過示范讓學(xué)生掌握解題的一般方法和規(guī)律。 (3)啟發(fā)性。選擇例題還要注意富于啟發(fā)性，要選擇那些有利于啟發(fā)學(xué)生思維，有利于創(chuàng)造條件讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的問題作為例題，引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行探索，進(jìn)行多角度、多方向的分析與思考。 (4)科學(xué)性。這是設(shè)計(jì)例題最基本的原則，所設(shè)計(jì)的例題必須是正確無誤的，條件必須是充分的、不矛盾的，題目的敘述必須是明確清楚的，題目的要求必須是切實(shí)可行的。 (5)變

41、通性。設(shè)計(jì)例題還要注意能夠一題多變，通過變化條件、變化結(jié)論、縱向引申、橫向拓展，開拓思維途徑和思維空間。 (6)有序性。例題的編排在內(nèi)容和要求上要注意循序漸進(jìn)，由淺人深、由易到難、由簡單到復(fù)雜。如果例題之間跨度太大，就要選擇適當(dāng)?shù)膯栴}填補(bǔ)空隙。 3例題設(shè)計(jì)的步驟 (1)例題的選擇。通過對教材的分析，知道了教材中例題的數(shù)量和要求，然后對照教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際情況，考慮需要補(bǔ)充哪些內(nèi)容和要求的例題。再根據(jù)上述例題設(shè)計(jì)的原則，在數(shù)學(xué)教學(xué)參考讀物和習(xí)題中，集中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題作為補(bǔ)充例題。 (2)例題的編制。有時(shí)根據(jù)偽題設(shè)計(jì)的要求，暫時(shí)找不到現(xiàn)成的、合適的數(shù)學(xué)問題，這時(shí)就需要自編或改編，常用的方法有以

42、下幾種： 類比。運(yùn)用類比的方法對原題的條件和結(jié)論進(jìn)行改編，得到的新題的結(jié)構(gòu)與原題類似。例如： 原題：在等差數(shù)列 中，若，則有等式成立。新題：在等比數(shù)列 中，若，則有等式成立。 特殊化或一般化。將原來題目中一般的結(jié)論賦以特殊的值可以得到新的題目。例如： 原題；長方體的對角線與其過一個(gè)端點(diǎn)的三個(gè)面所成的角分別為，則 新題：長方體的對角線與其過一個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)面所成的角都為30，求它與過同一端點(diǎn)的第三個(gè)面所成的角。 將原來題目中特殊的結(jié)論一般化可以得到新的題目。例如， 原題：已知，求證： 新題：已知，求證：。 引申和拓展。根據(jù)原題的已知條件，將原有結(jié)論作進(jìn)一步的引申，得到新的結(jié)論。或者保持原來題目的要

43、求不變，改變題目的條件，得到新的問題。也可以通過對原題不同角度的聯(lián)想，同時(shí)改變題目的條件和結(jié)論，得到新的問題。 原題；把一段半徑為R圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大? 新題1：把一段半徑R的半圓鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大? 新題2：把一段半徑為R，圓心角為90的扇形木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大? 新題3：把半徑為R的木球鋸成正四棱柱的木料，怎樣鋸法才能使它的體積最大? 新題4：把半徑為R的木球鋸成圓柱的木料，怎樣鋸法才能使它的體積最大? 倒推。由題目預(yù)期的結(jié)果出發(fā)倒推，尋求實(shí)現(xiàn)結(jié)果的條件，編出新題。 例如要求設(shè)計(jì)

44、一道實(shí)數(shù)a、b、c組成等差數(shù)列的題目。 由。A-b=b-c有(a-b)-(b-c)=0，(a-b)-(b-c)2=0,(a-c)2=(a-b)+(b-c)2=五、練習(xí)設(shè)計(jì) 1練習(xí)概述 數(shù)學(xué)練習(xí)是一種有目的、有組織、有指導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，是學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)技能、技巧，形成數(shù)學(xué)能力的重要途徑和手段。通過練習(xí)可以使學(xué)生從不會(huì)到會(huì)，從不熟練到熟練。 數(shù)學(xué)練習(xí)有以下幾項(xiàng)功能： 使學(xué)生進(jìn)一步加深理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析問題解決問題的能力。 促進(jìn)知識(shí)的遷移，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。 有助于及時(shí)反饋信息，讓教師了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，檢查教學(xué)效果，及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤。 2練習(xí)的類型 根據(jù)練習(xí)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的作用，可以分為以下幾種類型： 1)準(zhǔn)備性練習(xí)。為了引入新課，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)，需要通過練習(xí)復(fù)習(xí)原有的數(shù)學(xué)知識(shí)。這種練習(xí)是新舊數(shù)學(xué)知識(shí)之間的橋梁，既為新知識(shí)作鋪墊，又能激發(fā)學(xué)生求知欲望。 例如，學(xué)習(xí)數(shù)的平方根時(shí)，可以先讓學(xué)生進(jìn)行求數(shù)的平方的練習(xí)，計(jì)算：42；(一4)2；。通過練習(xí)既復(fù)習(xí)了數(shù)的平方的知識(shí)，又為引出數(shù)的平方根作好準(zhǔn)備。 (2)理解性練習(xí)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，為了使學(xué)