1、哥尼斯堡七橋問(wèn)題,數(shù)學(xué)文化課程組,現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒，舊稱哥尼斯堡，是一座歷史名城。在十八、十九世紀(jì)，那里是東普魯士的首府，曾經(jīng)誕生和培育過(guò)許多偉大的人物。著名的哲學(xué)家，古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，終生沒(méi)有離開(kāi)過(guò)哥尼斯堡一步!二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，德國(guó)的希爾伯特也出生于此地。,哥城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。在河的中心有一座美麗的小島。普河的兩條支流，環(huán)繞其旁匯成大河，把全城分為下圖所示的四個(gè)區(qū)域：島區(qū)(A)，東區(qū)(B)，南區(qū)(C)和北區(qū)(D)。,著名的哥尼斯堡大學(xué)，傍倚于兩條支流的河旁，使這一秀色怡人的區(qū)域，又增添了幾分莊重的韻味!有七座橋橫跨普累格河及其支流，其中五座把

2、河岸和河心島連接起來(lái)。這一別致的橋群，古往今來(lái)，吸引了眾多的游人來(lái)此散步。,早在十八世紀(jì)以前，當(dāng)?shù)氐木用癖銦嶂杂谝韵掠腥さ膯?wèn)題：能不能設(shè)計(jì)一次散步，使得七座橋中的每一座都走過(guò)一次，而且只走過(guò)一次? 這便是著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題。,這個(gè)問(wèn)題后來(lái)變得有點(diǎn)驚心動(dòng)魄：說(shuō)是有一隊(duì)工兵，因戰(zhàn)略上的需要，奉命要炸掉這七座橋。命令要求當(dāng)載著炸藥的卡車駛過(guò)某座橋時(shí)，就得炸毀這座橋，不許遺漏一座！,如果有興趣，完全可以照樣子畫一張地圖，親自嘗試嘗試。不過(guò)，要告訴大家的是,想把所有的可能線路都試過(guò)一遍是極為困難的！因?yàn)楦鞣N可能的線路有 =5040種。要想一一試過(guò)，真是談何容易。正因?yàn)槿绱?，七橋?wèn)題的解答便眾說(shuō)紛紜：

3、有人在屢遭失敗之后，傾向于否定滿足條件的解答的存在；另一些人則認(rèn)為，巧妙的答案是存在的，只是人們尚未發(fā)現(xiàn)而已，這在人類智慧所未及的領(lǐng)域，是很常見(jiàn)的事！,歐拉（L.Euler,1707.4.15- 1783.9.18）著名的數(shù)學(xué)家。生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。大部分時(shí)間在俄國(guó)和德國(guó)度過(guò)。他早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識(shí)下開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué), 17歲獲得碩士學(xué)位，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家。在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表。其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支。,問(wèn)題的魔力，竟然吸引了天才的歐拉。這位年輕的瑞士數(shù)學(xué)家，以其獨(dú)具的慧眼，看出了這個(gè)似乎是趣味幾何問(wèn)題的潛在意義。,歐拉在數(shù)學(xué)

4、、物理、天文、建筑以至音樂(lè)、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，常常見(jiàn)到以歐來(lái)命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見(jiàn)的如、i、e、sin、cos、tg、x、f(x)等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歐拉還首先完成了月球繞地球運(yùn)動(dòng)的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡的設(shè)計(jì)計(jì)算理論。 關(guān)鍵詞：驚人的記憶力 杰出的智慧 頑強(qiáng)的毅力 孜孜不倦的奮斗精神 高尚的科學(xué)道德,公元1736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了一份題為哥尼斯堡的七座橋的論文。論文的開(kāi)頭是這樣寫的： “討論長(zhǎng)短大小的幾何學(xué)分支，一直被人們熱心地研究著。但是還有一個(gè)至今幾乎完全沒(méi)有探索過(guò)的分支。萊

5、布尼茲最先提起過(guò)它，稱之：“位置的幾何學(xué)”。這個(gè)幾何學(xué)分支討論只與位置有關(guān)的關(guān)系，研究位置的性質(zhì)；它不去考慮長(zhǎng)短大小，也不牽涉到量的計(jì)算。但是至今未有過(guò)令人滿意的定義，來(lái)刻劃這門位置幾何學(xué)的課題和方法”,歐拉解決這個(gè)問(wèn)題的方法非常巧妙.他認(rèn)為： 人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而 并不關(guān)心橋的長(zhǎng)短和島的大小，因此，島和岸都 可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn) 的一條線.,這樣，哥尼斯堡七橋問(wèn)題就被抽象成為“一筆畫問(wèn)題”：筆尖不離開(kāi)紙面，一筆畫出給定圖形，不允許重復(fù)任何一條線。 理論上需要解決的問(wèn)題是：找到“一個(gè)圖形可以一筆畫”的充要條件。,歐拉注意到每個(gè)點(diǎn)都是若干條線的端點(diǎn)，他

6、把圖形上的點(diǎn)分為兩類：奇點(diǎn)和偶點(diǎn)。要想不重復(fù)地一筆畫出某個(gè)圖形，除去起始點(diǎn)和終止點(diǎn)外，其余點(diǎn)，如果畫進(jìn)去一條線，就一定要畫出一條線，從而必須是偶點(diǎn)。,一筆畫原理： 一個(gè)圖如果可以一筆畫成，那么這個(gè)圖中奇數(shù)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是0就是2。反之亦然。,當(dāng)圖形中有兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，以其中一個(gè)為起始點(diǎn)，另一個(gè)為終止點(diǎn)，就能一筆畫；當(dāng)圖形中沒(méi)有奇點(diǎn)時(shí)，從任何一個(gè)起始點(diǎn)都可以完成一筆畫。,想不到轟動(dòng)一時(shí)的哥尼斯堡七橋問(wèn)題，竟然與孩子們的游戲，想用一筆畫畫出“串字和“田”字這類問(wèn)題一樣，而后者并不比前者更為簡(jiǎn)單!,事實(shí)上，中國(guó)民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，只是很可惜，長(zhǎng)期以來(lái)，人們只把它作為一類有趣的游戲，沒(méi)有對(duì)它引

7、起重視，也沒(méi)有數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)和研究，這不能不說(shuō)是一種遺憾。,需要順便提到的是：既然可由一筆畫畫成的圖形，其奇點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)不多于兩個(gè)，那么，兩筆畫或多筆畫能夠畫成的圖形，其奇點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)有怎樣的限制呢？ 一般地，我們有： 含有2n(n0)個(gè)奇點(diǎn)的圖形，需要n筆劃畫成。,姜伯駒一筆畫和郵遞員路線問(wèn)題,橡皮膜上的幾何學(xué),在哥尼斯堡七橋問(wèn)題中，讀者已經(jīng)看到了一種只研究圖形各部分位置的相對(duì)次序，而不考慮它們尺寸大小的新幾何學(xué)。萊布尼茲(Leibniz，16461716)和歐拉為這種“位置幾何學(xué)”的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。如今這一新的幾何學(xué)，已經(jīng)發(fā)展成一門重要的數(shù)學(xué)分支 拓?fù)鋵W(xué),拓?fù)鋵W(xué)研究的課題是極為有趣的。 在

8、拓?fù)鋵W(xué)中人們感興趣的只是圖形的位置而不是它的大小。有人把拓?fù)鋵W(xué)說(shuō)成是橡皮膜上的幾何學(xué)是很恰當(dāng)?shù)?。因?yàn)橄鹌つど系膱D形，隨著橡皮膜的拉動(dòng)，其長(zhǎng)度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化。此時(shí)談?wù)摗坝卸嚅L(zhǎng)？”、“有多大？”之類的問(wèn)題，是毫無(wú)意義的!,不過(guò)，在橡皮膜幾何里也有一些圖形的性質(zhì)保持不變。例如點(diǎn)變化后仍然是點(diǎn)；線變化后依舊為線；相交的圖形絕不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交! 拓?fù)鋵W(xué)正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變性質(zhì)的幾何學(xué)。,拓?fù)鋵W(xué)是在19世紀(jì)末興起并在20世紀(jì)蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)分支，與近世代數(shù)、近代分析共同成為數(shù)學(xué)的三大支柱。 拓?fù)鋵W(xué)已在物理、化學(xué)、生物一些工程技術(shù)中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。拓?fù)?/p>

9、學(xué)主要研究幾何圖形在一對(duì)一的雙方連續(xù)變換下不同的性質(zhì)，這種性質(zhì)稱為“拓?fù)湫再|(zhì)”。 以下我們將復(fù)雜的拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)應(yīng)用到簡(jiǎn)單的游戲中，使觀眾在游戲中了解拓?fù)鋵W(xué)的特性，并學(xué)習(xí)到相關(guān)知識(shí)。,“內(nèi)部”與“外部”,一條頭尾相連且自身不相交的封閉曲線，把橡皮膜分成兩個(gè)部分。如果我們把其中有限的部分稱為閉曲線的“內(nèi)部”，那么另一部分便是閉曲線的“外部”。從閉曲線的內(nèi)部走到閉曲線的外部，不可能不通過(guò)該閉曲線。因此，無(wú)論你怎樣拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折疊、不穿孔，那么閉曲線的內(nèi)部和外部總是保持不變的!,“內(nèi)部”與“外部”是拓?fù)鋵W(xué)中很重要的一組概念 以下有趣的故事，將增加你對(duì)這兩個(gè)概念的理解：,傳說(shuō)古波斯穆

10、罕默德的繼承人哈里發(fā)，有一位才貌雙全的女兒。姑娘的智慧和美貌，使許多聰明英俊的小伙子為之傾倒，致使求婚者的車馬絡(luò)繹不絕。哈里發(fā)決定從中挑選一位才智超群的青年為婿。于是便出了一道題目，聲明說(shuō)：誰(shuí)能解出這道題，便將女兒嫁給誰(shuí)！,哈里發(fā)的題目是這樣的：請(qǐng)用線把下圖中寫有相同數(shù)字的小圓圈連接起來(lái)，但所連的線不許相交，也不許與圖中的線相交。,上述問(wèn)題的解決，似乎不費(fèi)吹灰之力。但實(shí)際上求婚者們?nèi)汲伺d而來(lái)，敗興而去！ 據(jù)說(shuō)后來(lái)哈里發(fā)終于醒悟，發(fā)現(xiàn)自己所提的問(wèn)題是不可能實(shí)現(xiàn)的，因而后來(lái)又改換了題目。也有的說(shuō)，哈里發(fā)固執(zhí)已見(jiàn)，美麗的公主因此終生未嫁。事情究竟如何，現(xiàn)在自然無(wú)從查考。,哈里發(fā)的失算，卻是可以用拓

11、撲學(xué)的知識(shí)加以證明的。其所需之概念，只有“內(nèi)部”與“外部”兩個(gè)。事實(shí)上，我們很容易用線把一、一連起來(lái)。明眼的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：我們得到了一條簡(jiǎn)單的閉曲線，這條曲線把整個(gè)平面分為內(nèi)部(陰影部分)和外部?jī)蓚€(gè)區(qū)域。其中一個(gè)在內(nèi)部區(qū)域，而另一個(gè)卻在外部區(qū)域，要想從閉曲線內(nèi)部的，畫一條弧線與外部的相連，而與已畫的閉曲線不相交，這是不可能的！這正是哈里發(fā)悲劇之所在。,點(diǎn)A,是在內(nèi)部還是外部,19世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)提出了一個(gè)精妙絕倫的辦法：在圖形外找一點(diǎn)，與需要判定的區(qū)域內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)連成線段，如果該線段與封閉曲線相交的次數(shù)為奇數(shù)，則所判定區(qū)域?yàn)椤皟?nèi)部”；否則為“外部”。,奇異的莫比烏斯帶,取一條長(zhǎng)方形

12、的紙帶，如果將它兩頭對(duì)齊粘合在一起，就成為一個(gè)圓圈。那么，它就有上下兩個(gè)圓形邊界，之間的是內(nèi)外兩個(gè)圓柱面。現(xiàn)在將粘合處打開(kāi)，重新進(jìn)行粘合，與上一次不同的是，這次把其中的一頭旋轉(zhuǎn)180之后，也就是把內(nèi)面翻轉(zhuǎn)朝外之后，然后再把兩頭無(wú)縫的粘起來(lái)。這樣就制作完成了莫比烏斯帶。,兩種不同的莫比烏斯帶,不分內(nèi)外的“克萊茵瓶”,輪胎,克萊茵瓶,拓?fù)淠g(shù)奇觀,紙片上有一個(gè)兩分硬幣大小的孔，問(wèn)伍分硬幣能通過(guò)這個(gè)圓孔嗎？當(dāng)然，紙片是不允許撕破的。,大硬幣通過(guò)小圓孔,紙片上有一個(gè)兩分硬幣大小的孔，問(wèn)伍分硬幣能通過(guò)這個(gè)圓孔嗎？當(dāng)然，紙片是不允許撕破的。,大硬幣通過(guò)小圓孔,只要硬幣的直徑不超過(guò)圓孔直徑的一倍半，上面的要求是可以做到的。,用一根細(xì)繩像右圖那樣拴結(jié)在剪刀上。剪刀的手柄是閉合的，繩子的另一頭連著一個(gè)健身圈，其含意是不允許繩頭從剪刀的手柄中穿回去。請(qǐng)問(wèn)。在不允許把繩子剪斷的前提下，你能把繩子從剪刀上脫下來(lái)嗎？,巧解剪刀,用一根細(xì)繩像右圖那樣拴結(jié)在剪刀上。剪刀的手柄是閉合的，繩子的另一頭連著一個(gè)健身圈，其含意是不允許繩頭從剪刀的手柄中穿回去。請(qǐng)問(wèn)。在不允許把