1、圓的常用輔助線及作法,1,嘗試練習(xí)一,嘗試練習(xí)二,數(shù)學(xué)歌訣,作法及應(yīng)用,弦心距,直徑圓周角,切線徑,兩圓相切公切線,中點(diǎn)圓心線,兩圓相交公共弦,嘗試練習(xí),圓的常用輔助線及作法,常用思想,2,圓是初中幾何學(xué)習(xí)中重要內(nèi)容，學(xué)好圓的有關(guān)知識，掌握正確的解題方法，對于提高學(xué)生的綜合能力非常重要，而在解決圓的有關(guān)問題時(shí)，恰當(dāng)添設(shè)輔助線則是解題的關(guān)鍵。,一、添設(shè)圓的輔助線的常用思想 添設(shè)圓的輔助線是幾何學(xué)習(xí)的重要方法。在作輔助線時(shí)，應(yīng)從結(jié)論入手分析，尋找題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，尋找隱含的條件，使輔助線起到“搭橋鋪路”的作用。,3,弦與弦心距，親密緊相連。 中點(diǎn)與圓心，連線要領(lǐng)先。 兩個(gè)相交圓，不離公共弦。

2、兩個(gè)相切圓，常作公切線。 圓與圓之間，注意連心線。 遇直徑想直角，遇切點(diǎn)作半徑。,圓的常用輔助線作法的“數(shù)學(xué)歌訣”,4,二、常用輔助線作法的應(yīng)用,在解決與弦、弧有關(guān)的問題時(shí)，常作弦心距、半徑等輔助線，利用垂徑定理、推論及勾股定理解決問題。,2.1、弦心距 -有弦，可作弦心距。,5,例1、如圖，已知，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。求證：AC =BD。,由垂徑 定理得： AE = EB， CE = DE,證明：過O作OE AB， 垂足為E。,E,即：AC = BD, AE - CE = BE - DE,6,在解決有關(guān)直徑的問題時(shí)，常作直徑上的圓周角，構(gòu)成直徑所對的圓周

3、角是直角，尋找隱含的條件，從而得到所求結(jié)論。,2.2、直徑圓周角 -有直徑，可作直徑上的圓周角.,7,例2、已知：MN 切O于A點(diǎn)，PC是直徑，PB MN于B點(diǎn)， 求證：,分析：,8,證明：連結(jié)AC、AP, PC是O的直徑 CAP = 90 , PB MN PBA = 90 , CAP = PBA, MN 是0的切線 BAP = ACP,9,在解決有關(guān)切線問題時(shí)，常作過切點(diǎn)的半 徑，利用切線的性質(zhì)定理；或者連結(jié)過切點(diǎn)的弦，利用弦切角定理，使問題得以解決。,2.3、切線徑 -有切點(diǎn)，可作過切點(diǎn)的半徑。,10,例3、如圖，AB、AC與O相切有與B、C點(diǎn)，A = 50，點(diǎn)P優(yōu)弧BC的一個(gè)動點(diǎn)，求BP

4、C的度數(shù)。,BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130,解：連結(jié) OB、 OC ，, AB、AC是O的切線, ABOB， ACOC，,在四邊形ABOC中，A = 50, BPC = = 65,ABO = ACO = 90,11,在解決兩圓相交的問題時(shí)，常作兩圓的公共弦，構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形。再利用圓內(nèi)接四邊形定理，架設(shè)兩圓之間的”橋梁”，從而尋找兩圓之間的等量關(guān)系。,2.4、兩圓相交公共弦 -兩圓相交，可作公共弦。,12,例4、如圖，已知：O 和O 相交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線CD分別交O 和O 于C 、D；過B點(diǎn)的直線EF分別交O 和O 于E

5、、F 。求證：CEDF 。,CEDF,1,2,2,2,1,1,2,1,證明：連結(jié)AB,四邊形ACEB是O 的內(nèi)接四邊形, DAB = E,四邊形ABFD是O 的內(nèi)接四邊形, DAB +F = 180, E +F = 180,13,在解決兩圓相切的問題時(shí)，常作兩圓的公切線。若兩圓外切，常作內(nèi)公切線；若兩圓內(nèi)切，常作外公切線。通過公切線構(gòu)造弦切角，利用弦切角便把兩圓的圓周角聯(lián)系起來。,2.5、兩圓相切公切線 -兩圓相切，可作公切線.,14,例5、如圖，已知兩圓外切于T點(diǎn)。過T的直線AB 、CD分別交O 和O 于A、C 和B 、D。求證：ACBD 。,M,N,證明：過T點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線MN,1,2

6、,1,2,在O 中，A= CTN,在O 中， B= DTM,又 CTN = DTM,A= B,ACBD,15,在解決有關(guān)中點(diǎn)和圓心的問題時(shí)，可先連結(jié)中點(diǎn)與圓心。利用垂徑定理，或者是三角形、梯形的中位線定理，可求出所需要的結(jié)論。,2.6、中點(diǎn)圓心線 -有中點(diǎn)和圓心，可連結(jié)中點(diǎn)與圓心。,16,例6、如圖，已知AB、CD是O的兩條弦，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，并且 AMN = CNM 。求證：AB = CD 。,即：AB = CD,證明：連結(jié)OM、 ON,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),OMAB，ONCD,AMO = CNO = 90 ,又 AMN = CNM, OMN = ONM, OM = O

7、N,17,三、嘗試練習(xí)一,1、如圖，點(diǎn)O是EPF的平分線上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A 、B和C、D點(diǎn)。求證：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。,PO平分BPA， OM=ON AB=CD。,（1）、證明：過O作OMAB，ONCD，垂足為M、N。,M,N,18,三、嘗試練習(xí)一,1、如圖，點(diǎn)O是EPF的平分線上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A 、B和C、D點(diǎn)。求證：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。,（2）、AB=CD，OMAB，ONCD AM=MB=CN=ND 又OM=ON，RtPMORtPNO PM=PN PM+MB=PN+ND 即：PB=PD,

8、19,2、如圖，以RtABC的直角邊AC為直徑作O交斜邊AB于P，過B、P任意作一個(gè)圓，過A作所作圓的切線AD，切點(diǎn)為D。求證：,即：AD=AC,AC是O的直徑， APC =90 ACB=90， APCACB,又AD是大的切線,證明：連結(jié)CP，,20,3、如圖，在O中，半徑OAOB垂足為O，P是OB上任意一點(diǎn)，AP交O于Q，過Q點(diǎn)的切線交OB的延長線于C。求證：CP = CQ。,QC是O的切線， OQC=90 OA=OQ，OAQ=OQA 又OAOB，APO=90-OAP CQP=90-OQA APO=CQP CQP=CPQ， CP = CQ。,證明：連結(jié)OQ,21,四、嘗試練習(xí)二,1、如圖，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)。過一個(gè)圓上的點(diǎn)P作射線PA和PB，分別交于另外一個(gè)圓于點(diǎn)C和點(diǎn)D，再作切線PT。求證：PTCD。,PT是小的切線，TPA=ABP ABDC是大的內(nèi)接四邊形， ABP=C TPA=C 即：PTCD。,證明：連結(jié)AB,22,2、如圖，已知：O1和O2外切于點(diǎn)A，BC是O1和O2 的公切線，B、C為切點(diǎn)。求證：ABAC。,由切線長定理得： BP=PA，PA=PC PA= BP = PC =,證明：過點(diǎn)A作兩圓的公切線交BC于點(diǎn)P ，,ABAC,23,3、已知、AB是O的直徑，AC是O的切線，切點(diǎn)為A，BC交O于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)。求證：ED是O的切線。,OE