1、1.5 一質(zhì)點沿半徑為0.10m的圓周運動，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s時，它的法向加速度和切向加速度；（2）當切向加速度恰為總加速度大小的一半時，為何值？（3）在哪一時刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答（1）角速度為 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度為 an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度為 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度為 at = r = 4.8(ms-2)（2）總加速度為a = (at2 + an2)1/2，當at = a/2時，有4at2 = a

2、t2 + an2，即 由此得，即 ，解得 所以 =3.154(rad)（3）當at = an時，可得r = r2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)1.7 一個半徑為R = 1.0m的輕圓盤，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動一根輕繩繞在盤子的邊緣，其自由端拴一物體A在重力作用下，物體A從靜止開始勻加速地下降，在t = 2.0s內(nèi)下降的距離h = 0.4m求物體開始下降后3s末，圓盤邊緣上任一點的切向加速度與法向加速度解答圓盤邊緣的切向加速度大小等于物體A下落加速度由于，所以 at = 2h/t2 = 0.2(ms-2)物體下降3s末的速度為v = att

3、= 0.6(ms-1)，這也是邊緣的線速度，因此法向加速度為= 0.36(ms-2)1.8 一升降機以加速度1.22ms-2上升，當上升速度為2.44ms-1時，有一螺帽自升降機的天花板上松落，天花板與升降機的底面相距2.74m計算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時間；（2）螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離解答在螺帽從天花板落到底面時，升降機上升的高度為 ；螺帽做豎直上拋運動，位移為 由題意得h = h1 - h2，所以 ，解得時間為 = 0.705(s)算得h2 = -0.716m，即螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離為0.716m注意以升降機為參考系，釘子下落時相對加速度為a +

4、g，而初速度為零，可列方程 h = (a + g)t2/2，由此可計算釘子落下的時間，進而計算下降距離第一章 質(zhì)點運動學1.1 一質(zhì)點沿直線運動，運動方程為x(t) = 6t2 - 2t3試求：（1）第2s內(nèi)的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬時速度，第2s內(nèi)的路程；（3）1s末的瞬時加速度和第2s內(nèi)的平均加速度解答（1）質(zhì)點在第1s末的位移大小為x(1) = 612 - 213 = 4(m)在第2s末的位移大小為x(2) = 622 - 223 = 8(m)在第2s內(nèi)的位移大小為x = x(2) x(1) = 4(m)，經(jīng)過的時間為t = 1s，所以平均速度大小為=x/t = 4(ms

5、-1)（2）質(zhì)點的瞬時速度大小為v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，因此v(1) = 121 - 612 = 6(ms-1)， v(2) = 122 - 622 = 0，質(zhì)點在第2s內(nèi)的路程等于其位移的大小，即s = x = 4m（3）質(zhì)點的瞬時加速度大小為a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此1s末的瞬時加速度為a(1) = 12 - 121 = 0， 第2s內(nèi)的平均加速度為= v(2) - v(1)/t = 0 6/1 = -6(ms-2) 注意第幾秒內(nèi)的平均速度和平均加速度的時間間隔都是1秒1.2 一質(zhì)點作勻加速直線運動，在t = 10s內(nèi)走過路程s = 30

6、m，而其速度增為n = 5倍試證加速度為并由上述數(shù)據(jù)求出量值證明依題意得vt = nvo，根據(jù)速度公式vt = vo + at，得a = (n 1)vo/t， (1)根據(jù)速度與位移的關(guān)系式vt2 = vo2 + 2as，得 a = (n2 1)vo2/2s，(2)（1）平方之后除以（2）式證得計算得加速度為= 0.4(ms-2)1.3一人乘摩托車跳越一個大礦坑，他以與水平成22.5的夾角的初速度65ms-1從西邊起跳，準確地落在坑的東邊已知東邊比西邊低70m，忽略空氣阻力，且取g = 10ms-2問：（1）礦坑有多寬？他飛越的時間多長？（2）他在東邊落地時的速度？速度與水平面的夾角？解答方法一

7、：分步法（1）夾角用表示，人和車（他）在豎直方向首先做豎直上拋運動，初速度的大小為vy0 = v0sin = 24.87(ms-1)取向上的方向為正，根據(jù)勻變速直線運動的速度公式 vt - v0 = at，這里的v0就是vy0，a = -g；當他達到最高點時，vt = 0，所以上升到最高點的時間為t1 = vy0/g = 2.49(s)再根據(jù)勻變速直線運動的速度和位移的關(guān)系式vt2 - v02 = 2as，可得上升的最大高度為h1 = vy02/2g = 30.94(m)他從最高點開始再做自由落體運動，下落的高度為h2 = h1 + h = 100.94(m)根據(jù)自由落體運動公式s = gt2

8、/2，得下落的時間為 = 4.49(s)因此他飛越的時間為 t = t1 + t2 = 6.98(s)他飛越的水平速度為vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)，所以礦坑的寬度為x = vx0t = 419.19(m)（2）根據(jù)自由落體速度公式可得他落地的豎直速度大小為 vy = gt = 69.8(ms-1)，落地速度為v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(ms-1)，與水平方向的夾角為 = arctan(vy/vx) = 49.30?，方向斜向下 方法二：一步法取向上的方向為正，他在豎直方向的位移為y = vy0t - gt2/2，移項得時間的一元二次方程，解得

9、這里y = -70m，根號項就是他落地時在豎直方向的速度大小，由于時間應(yīng)該取正值，所以公式取正根，計算時間為t = 6.98(s)由此可以求解其他問題1.4一個正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動機后，由于阻力得到一個與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k為常數(shù)（1）試證在關(guān)閉發(fā)動機后，船在t時刻的速度大小為；（2）試證在時間t內(nèi)，船行駛的距離為證明（1）分離變量得，積分 ，可得 （2）公式可化為，由于v = dx/dt，所以 積分 因此 證畢討論當力是速度的函數(shù)時，即f = f(v)，根據(jù)牛頓第二定律得f = ma由于a = d2x/dt2，而 dx/dt =

10、v，所以 a = dv/dt，分離變量得方程，解方程即可求解在本題中，k已經(jīng)包括了質(zhì)點的質(zhì)量如果阻力與速度反向、大小與船速的n次方成正比，則dv/dt = -kvn（1）如果n = 1，則得，積分得lnv = -kt + C當t = 0時，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度為 v = v0e-kt而dv = v0e-ktdt，積分得 當t = 0時，x = 0，所以C = v0/k，因此（2）如果n1，則得，積分得 當t = 0時，v = v0，所以，因此 如果n = 2，就是本題的結(jié)果如果n2，可得，讀者不妨自證1.5 一質(zhì)點沿半徑為0.10m的圓周運動

11、，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s時，它的法向加速度和切向加速度；（2）當切向加速度恰為總加速度大小的一半時，為何值？（3）在哪一時刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答（1）角速度為 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度為 an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度為 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度為 at = r = 4.8(ms-2)（2）總加速度為a = (at2 + an2)1/2，當at = a/2時，有4at2 = at2 + an2，即 由此得，即 ，解得

12、所以 =3.154(rad)（3）當at = an時，可得r = r2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)1.6 一飛機在鉛直面內(nèi)飛行，某時刻飛機的速度為v = 300ms-1，方向與水平線夾角為30而斜向下，此后飛機的加速度為a = 20ms-2，方向與水平前進方向夾角為30而斜向上，問多長時間后，飛機又回到原來的高度？在此期間飛機在水平方向飛行的距離為多少？解答建立水平和垂直坐標系，飛機的初速度的大小為v0x = v0cos， v0y = v0sin加速度的大小為ax = acos， ay = asin 運動方程為，即 ， 令y = 0，解得

13、飛機回到原來高度時的時間為t = 0（舍去）；(s)將t代入x的方程求得x = 9000m 注意選擇不同的坐標系，例如x方向沿著a的方向或者沿著v0的方向，也能求出相同的結(jié)果1.7 一個半徑為R = 1.0m的輕圓盤，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動一根輕繩繞在盤子的邊緣，其自由端拴一物體A在重力作用下，物體A從靜止開始勻加速地下降，在t = 2.0s內(nèi)下降的距離h = 0.4m求物體開始下降后3s末，圓盤邊緣上任一點的切向加速度與法向加速度解答圓盤邊緣的切向加速度大小等于物體A下落加速度由于，所以 at = 2h/t2 = 0.2(ms-2)物體下降3s末的速度為v = att = 0.6(ms-1)

14、，這也是邊緣的線速度，因此法向加速度為= 0.36(ms-2)1.8 一升降機以加速度1.22ms-2上升，當上升速度為2.44ms-1時，有一螺帽自升降機的天花板上松落，天花板與升降機的底面相距2.74m計算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時間；（2）螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離解答在螺帽從天花板落到底面時，升降機上升的高度為 ；螺帽做豎直上拋運動，位移為 由題意得h = h1 - h2，所以 ，解得時間為 = 0.705(s)算得h2 = -0.716m，即螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離為0.716m注意以升降機為參考系，釘子下落時相對加速度為a + g，而初速度為零，可列

15、方程 h = (a + g)t2/2，由此可計算釘子落下的時間，進而計算下降距離1.9有一架飛機從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處已知氣流相對于地面的速度為u，AB之間的距離為l，飛機相對于空氣的速率v保持不變（1）如果u = 0（空氣靜止），試證來回飛行的時間為；（2）如果氣流的速度向東，證明來回飛行的總時間為；（3）如果氣流的速度向北，證明來回飛行的總時間為證明（1）飛機飛行來回的速率為v，路程為2l，所以飛行時間為t0 = 2l/v（2）飛機向東飛行順風的速率為v + u，向西飛行逆風的速率為v - u，所以飛行時間為 （3）飛機相對地的速度等于相對風的速度加風相對地的速度為了使飛

16、機沿著AB之間的直線飛行，就要使其相對地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小為，所以飛行時間為 證畢1.10 如圖所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速度為v1，下落雨的速度方向與鉛直方向的夾角為，偏向于汽車前進方向，速度為v2今在車后放一長方形物體，問車速v1為多大時此物體剛好不會被雨水淋濕？解答雨對地的速度等于雨對車的速度加車對地的速度，由此可作矢量三角形根據(jù)題意得tan = l/h方法一：利用直角三角形根據(jù)直角三角形得v1 = v2sin + v3sin，其中v3 = v/cos，而v = v2cos，因此v1 = v2sin + v2cossin/cos，即 證畢方法二

17、：利用正弦定理根據(jù)正弦定理可得，所以 ，即 方法三：利用位移關(guān)系將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個分量，在t時間內(nèi)，雨滴的位移為l = (v1 v2sin)t，h = v2cos?t兩式消去時間t即得所求 證畢2.12 質(zhì)量為m的物體，最初靜止于x0，在力(k為常數(shù))作用下沿直線運動證明物體在x處的速度大小v = 2k(1/x 1/x0)/m1/2證明當物體在直線上運動時，根據(jù)牛頓第二定律得方程 利用v = dx/dt，可得 ，因此方程變?yōu)?，積分得 利用初始條件，當x = x0時，v = 0，所以C = -k/x0，因此，即 證畢討論此題中，力是位置的函數(shù)：f = f(x)，利用變換可得方程：

18、mvdv = f(x)dx，積分即可求解如果f(x) = -k/xn，則得 （1）當n = 1時，可得利用初始條件x = x0時，v = 0，所以C = lnx0，因此 ，即 （2）如果n1，可得 利用初始條件x = x0時，v = 0，所以，因此 ，即 當n = 2時，即證明了本題的結(jié)果2.13 一質(zhì)量為m的小球以速率v0從地面開始豎直向上運動在運動過程中，小球所受空氣阻力大小與速率成正比，比例系數(shù)為k求：（1）小球速率隨時間的變化關(guān)系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的時間T解答（1）小球豎直上升時受到重力和空氣阻力，兩者方向向下，取向上的方向為下，根據(jù)牛頓第二定律得方程 ，分離變量得

19、，積分得 當t = 0時，v = v0，所以 ，因此，小球速率隨時間的變化關(guān)系為 （2）當小球運動到最高點時v = 0，所需要的時間為討論（1）如果還要求位置與時間的關(guān)系，可用如下步驟由于v = dx/dt，所以，即，積分得，當t = 0時，x = 0，所以 ，因此（2）如果小球以v0的初速度向下做直線運動，取向下的方向為正，則微分方程變?yōu)?，用同樣的步驟可以解得小球速率隨時間的變化關(guān)系為 這個公式可將上面公式中的g改為-g得出由此可見：不論小球初速度如何，其最終速率趨于常數(shù)vm = mg/k2.14 如圖所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圓環(huán)帶，半徑為R一物體帖著環(huán)帶內(nèi)側(cè)運動，物體與環(huán)帶間的滑

20、動摩擦因數(shù)為k設(shè)物體在某時刻經(jīng)A點時速率為v0，求此后時刻t物體的速率以及從A點開始所經(jīng)過的路程解答物體做圓周運動的向心力是由圓環(huán)帶對物體的壓力，即N = mv2/R物體所受的摩擦力為f = -kN，負號表示力的方向與速度的方向相反根據(jù)牛頓第二定律得，即 積分得 當t = 0時，v = v0，所以 ，因此 解得 由于，積分得，當t = 0時，x = x0，所以C = 0，因此2.15 如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動在環(huán)上套有一珠子今逐漸增大圓環(huán)的轉(zhuǎn)動角速度，試求在不同轉(zhuǎn)動速度下珠子能靜止在環(huán)上的位置以珠子所停處的半徑與豎直直徑的夾角表示解答珠子受到重力和環(huán)的壓力，其合力指

21、向豎直直徑，作為珠子做圓周運動的向心力，其大小為 F = mgtg珠子做圓周運動的半徑為 r = Rsin根據(jù)向心力公式得F = mgtg = m2Rsin，可得 ，解得 2.16 如圖所示，一小球在彈簧的彈力作用下振動彈力F = -kx，而位移x = Acost，其中k，A和都是常數(shù)求在t = 0到t = /2的時間間隔內(nèi)彈力予小球的沖量解答方法一：利用沖量公式根據(jù)沖量的定義得dI = Fdt = -kAcostdt，積分得沖量為，方法二：利用動量定理小球的速度為v = dx/dt = -Asint，設(shè)小球的質(zhì)量為m，其初動量為p1 = mv1 = 0，末動量為p2 = mv2 = -mA，

22、小球獲得的沖量為 I = p2 p1 = -mA，可以證明k =m2，因此I = -kA/2.17 一個質(zhì)量m = 50g，以速率的v = 20ms-1作勻速圓周運動的小球，在1/4周期內(nèi)向心力給予小球的沖量等于多少？解答小球動量的大小為 p = mv，但是末動量與初動量互相垂直，根據(jù)動量的增量的定義 得，由此可作矢量三角形，可得因此向心力給予小球的的沖量大小為= 1.41(Ns)注意質(zhì)點向心力大小為F = mv2/R，方向是指向圓心的，其方向在不斷地發(fā)生改變，所以不能直接用下式計算沖量 假設(shè)小球被輕繩拉著以角速度 = v/R運動，拉力的大小就是向心力F = mv2/R = mv，其分量大小分

23、別為Fx = Fcos = Fcost，F(xiàn)y = Fsin = Fsint，給小球的沖量大小為dIx = Fxdt = Fcostdt，dIy = Fydt = Fsintdt，積分得 ，合沖量為 ，所前面計算結(jié)果相同，但過程要復(fù)雜一些2.18用棒打擊質(zhì)量0.3kg，速率等于20ms-1的水平飛來的球，球飛到豎直上方10m的高度求棒給予球的沖量多大？設(shè)球與棒的接觸時間為0.02s，求球受到的平均沖力？解答球上升初速度為= 14(ms-1)，其速度的增量為 = 24.4(ms-1)棒給球沖量為 I = mv = 7.3(Ns)，對球的作用力為（不計重力） F = I/t = 366.2(N)2.

24、19 如圖所示，3個物體A、B、C，每個質(zhì)量都為M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，兩者連有一段長度為0.4m的細繩，首先放松B的另一側(cè)則連有另一細繩跨過桌邊的定滑輪而與A相連已知滑輪軸上的摩擦也可忽略，繩子長度一定問A和B起動后，經(jīng)多長時間C也開始運動？C開始運動時的速度是多少？（取g = 10ms-2）解答物體A受到重力和細繩的拉力，可列方程 Mg T = Ma，物體B在沒有拉物體C之前在拉力T作用下做加速運動，加速度大小為a，可列方程 T = Ma，聯(lián)立方程可得a = g/2 = 5(ms-2)根據(jù)運動學公式 s = v0t + at2/2，可得B拉C之前的運動時間= 0.4(s)此

25、時B的速度大小為v = at = 2(ms-1)物體A跨過動滑輪向下運動，如同以相同的加速度和速度向右運動A和B拉動C運動是一個碰撞過程，它們的動量守恒，可得2Mv = 3Mv，因此C開始運動的速度為v = 2v/3 = 1.33(ms-1)2.22 如圖所示，一匹馬拉著雪撬沿著冰雪覆蓋的弧形路面極緩慢地勻速移動，這圓弧路面的半徑為R設(shè)馬對雪橇的拉力總是平行于路面雪橇的質(zhì)量為m，它與路面的滑動摩擦因數(shù)為k當把雪橇由底端拉上45圓弧時，馬對雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？解答取弧長增加的方向為正方向，弧位移的大小為ds = Rd重力的大小為G = mg，方向豎直向下，與位移元的夾角為

26、+ ，所做的功元為 ，積分得重力所做的功為摩擦力的大小為f = kN = kmgcos，方向與弧位移的方向相反，所做的功元為 ，積分得摩擦力所做的功為 要使雪橇緩慢地勻速移動，雪橇受的重力、摩擦力和馬的拉力就是平衡力，即 ，或者 拉力的功元為， 拉力所做的功為由此可見：重力和摩擦力都做負功，拉力做正功2.23 一質(zhì)量為m的質(zhì)點拴在細繩的一端，繩的另一端固定，此質(zhì)點在粗糙水平面上作半徑為r的圓周運動設(shè)質(zhì)點最初的速率是v0，當它運動1周時，其速率變?yōu)関0/2，求：（1）摩擦力所做的功；（2）滑動摩擦因數(shù)；（3）在靜止以前質(zhì)點運動了多少圈？解答 （1）質(zhì)點的初動能為 E1 = mv02/2，末動能為

27、 E2 = mv2/2 = mv02/8，動能的增量為Ek = E2 E1 = -3mv02/8，這就是摩擦力所做的功W（2）由于dW = -fds = -kNds = -kmgrd，積分得由于W = E，可得滑動摩擦因數(shù)為（3）在自然坐標中，質(zhì)點的切向加速度為 at = f/m = -kg，根據(jù)公式vt2 vo2 = 2ats，可得質(zhì)點運動的弧長為，圈數(shù)為 n = s/2r = 4/3注意根據(jù)用動能定理，摩擦力所做的功等于質(zhì)點動能的增量-fs = E k，可得 s = -E k/f，由此也能計算弧長和圈數(shù)。2.24 如圖所示，物體A的質(zhì)量m = 0.5kg，靜止于光滑斜面上它與固定在斜面底B

28、端的彈簧M相距s = 3m彈簧的倔強系數(shù)k = 400Nm-1斜面傾角為45求當物體A由靜止下滑時，能使彈簧長度產(chǎn)生的最大壓縮量是多大？解答取彈簧自然伸長處為重力勢能和彈性勢能的零勢點，由于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機械能守恒，當彈簧壓縮量最大時，可得方程，整理和一元二次方程 ，解得= 0.24(m)（取正根）2.29 如圖所示，有一個在豎直平面上擺動的單擺問：（1）擺球?qū)覓禳c的角動量守恒嗎？（2）求出t時刻小球?qū)覓禳c的角動量的方向，對于不同的時刻，角動量的方向會改變嗎？（3）計算擺球在角時對懸掛點角動量的變化率解答（1）由于單擺速度的大小在不斷發(fā)生改變，而方向與弧相切，因

29、此動量矩l不變；由于角動量L = mvl，所以角動量不守恒（2）當單擺逆時針運動時，角動量的方向垂直紙面向外；當單擺順時針運動時，角動量的方向垂直紙面向里，因此，在不同的時刻，角動量的方向會改變（3）質(zhì)點對固定點的角動量的變化率等于質(zhì)點所受合外力對同一點的力矩，因此角動量的變化率為2.31我國第一顆人造地于衛(wèi)星的質(zhì)量為173kg，其近地點高度為439km，遠地點高度為2 384km，求它的軌道總能量解答地球半徑R0 = 6371km，因此r1 = R0 + h1，r2 = R0 + h2根據(jù)萬有引力定律，在地球表面有 ，因此 ，根據(jù)上題的結(jié)果可得衛(wèi)星的軌道總能量為 = -4.42109(J)2

30、.38 質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉(zhuǎn)動，如圖所示盤與水平面的摩擦因數(shù)為，圓盤從初角速度為0到停止轉(zhuǎn)動，共轉(zhuǎn)了多少圈？解答圓盤對水平面的壓力為N = mg，壓在水平面上的面積為S = R2，壓強為 p = N/S = mg/R2當圓盤滑動時，在盤上取一半徑為r、對應(yīng)角為d面積元，其面積為 dS = rddr，對水平面的壓力為 dN = pdS = prdrd，所受的摩擦力為 df = dN = prdrd，其方向與半徑垂直，摩擦力產(chǎn)生的力矩為dM = rdf = pr2drd，總力矩為 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為 I = mR2/2，角加速度大小為，負號表示其方向與角速度的方向相反根據(jù)

31、轉(zhuǎn)動公式2 = 02 + 2，當圓盤停止下來時 = 0，所以圓盤轉(zhuǎn)過的角度為 ，轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 注意在圓盤上取一個細圓環(huán)，其面積為ds = 2rdr，這樣計算力矩等更簡單。4.1 一物體沿x軸做簡諧振動，振幅A = 0.12m，周期T = 2s當t = 0時，物體的位移x = 0.06m，且向x軸正向運動求：（1）此簡諧振動的表達式；（2）t = T/4時物體的位置、速度和加速度；（3）物體從x = -0.06m，向x軸負方向運動第一次回到平衡位置所需的時間解答（1）設(shè)物體的簡諧振動方程為x = Acos(t + )，其中A = 0.12m，角頻率 = 2/T = 當t = 0時，x = 0.06m，所以 cos = 0.5，因此 = /3物體的速度為v = dx/dt = -Asin(t + )當t = 0時， v = -Asin，由于v 0，所以sin 0，因此 = -/3 簡諧振動的表達式為x = 0.12cos(t /3)（2）當t = T/4時物