1、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2014山西省考前適應(yīng)性訓(xùn)練)若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式：yx327x123(x0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為()A1百萬件B2百萬件C3百萬件 D4百萬件解析：選C.依題意得，y3x2273(x3)(x3)，當(dāng)0x3時，y0；當(dāng)x3時，y0.因此，當(dāng)x3時，該商品的年利潤最大，故選C.2從邊長為10 cm16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，做成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為()A12 cm3 B72 cm3C144 cm3 D160 cm3解析：選C.設(shè)盒子容積為y cm3，盒子的高為x cm，則y(102x)(162

2、x)x4x352x2160x(0x)，當(dāng)x(2,0)時，f(x)的最小值為1，則a的值等于()A. B.C. D1解析：選D.由題意知，當(dāng)x(0,2)時，f(x)的最大值為1.令f(x)a0，得x，當(dāng)0x0；當(dāng)x時，f(x)0.f(x)maxf()ln a11，解得a1.4(2014山西診斷)設(shè)D是函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在x0D，使f(x0)x0，則稱x0是f(x)的一個“次不動點(diǎn)”，也稱f(x)在區(qū)間D上存在“次不動點(diǎn)”，若函數(shù)f(x)ax23xa在區(qū)間1,4上存在“次不動點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(0，)C，) D(，解析：選D.設(shè)g(x)f(x)x，依題

3、意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.當(dāng)x1時，g(1)0；當(dāng)x1時，由ax22xa0得a.記h(x)(10；當(dāng)x(2,4)時，h(x)0，即函數(shù)h(x)在(1,2)上是增函數(shù)，在(2,4)上是減函數(shù)，因此當(dāng)x2時，h(x)取得最大值，最大值是h(2)，故滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，故選D.5(2014浙江省名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)ht(x)3tx2t，若有且僅有一個正實(shí)數(shù)x0，使得h7(x0)ht(x0)對任意的正數(shù)t都成立，則x0()A5 B.C3 D.解析：選D.h7(x0)ht(x0)對任意的正數(shù)t都成立，h7(x0)ht(x0)max.記g(t)ht(x0)3tx02t，

4、則g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，21x014x，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)可知選D.二、填空題6函數(shù)f(x)ax3x恰有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是_解析：f(x)ax3x恰有三個單調(diào)區(qū)間，即函數(shù)f(x)恰有兩個極值點(diǎn)，即f(x)0有兩個不等實(shí)根f(x)ax3x，f(x)3ax21.要使f(x)0有兩個不等實(shí)根，則a0時，即x(0,1時，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4.當(dāng)x0(x0，x1)g(x)滿足g(1)0，且g(x)1f(x).當(dāng)0x1時，x210

5、，ln x0，所以g(x)1時，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)單調(diào)遞增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方9(2014山東泰安模擬)某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價為x元(6x11)，年銷售為u萬件，若已知u與(x)2成正比，且售價為10元時，年銷售為28萬件(1)求年銷售利潤y關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤解：(1)設(shè)uk(x)2，售價為10元時，年銷量為28萬件，28k(10)2，解得k2.u2(x)22x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；當(dāng)x

6、(9,11)時，y0)(1)當(dāng)a時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)1a1e時，求證：f(x)x.解：(1)當(dāng)a時，f(x)xex.令f(x)ex0，得xln 2.當(dāng)x0；當(dāng)xln 2時，f(x)0，f(x)x成立；當(dāng)1a1e時，F(xiàn)(x)ex(a1)exeln(a1)，當(dāng)xln(a1)時，F(xiàn)(x)ln(a1)時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(，ln(a1)上單調(diào)遞減，在(ln(a1)，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(ln(a1)eln(a1)(a1)ln(a1)(a1)1ln(a1)，10,1ln(a1)1ln(1e)10，F(xiàn)(x)0，即f(x)x成立綜上，當(dāng)1a1e時，有f(x)x.2(2014湖北省

7、教學(xué)合作聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xx1，x(0，)g(x)x3ax.(1)求f(x)的最大值；(2)若對x1(0，)，總存在x21,2使得f(x1)g(x2)成立，求a的取值范圍；(3)證明不等式：nnn.解：(1)因?yàn)閒(x)ln xx1(x0)，所以f(x)1，所以當(dāng)0x1時，f(x)0，x1時，f(x)0.所以f(x)f(1)0.所以f(x)的最大值為0.(2)x1(0，)，x21,2使得f(x1)g(x2)成立，等價于f(x)maxg(x)max.由(1)知f(x)max0，當(dāng)a0時，g(x)x3ax在x1,2)時恒為正，滿足題意；當(dāng)a0時，g(x)3x2a，令g(x)0，解得x.

8、所以g(x)在(，)及(，)上單調(diào)遞增若1，即0a3時，g(x)maxg(2)82a，所以82a0.所以a4.所以0a3；若12，即3a12時，g(x)在1，上遞減，在，2上單調(diào)遞增而g(1)1a0，g(2)82a在(3,4為正，在(4,12)為負(fù)，所以3a4.當(dāng)2，即a12時，g(1)0，g(2)0不合題意綜上a的取值范圍為a4.(3)由(1)知f(x)0，即ln xx1(x0)取x，所以ln1.所以nlnkn，即nekn.所以nnne1ne2nenn.3(2014廣東韶關(guān)階段檢測)已知函數(shù)f(x)ln xx，h(x).(1)求h(x)的最大值；(2)若關(guān)于x的不等式xf(x)2x2ax12

9、對一切x(0，)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若關(guān)于x的方程f(x)x32ex2bx0恰有一解，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)b的值解：(1)因?yàn)閔(x)(x0)，所以h(x).由h(x)0，且x0，得0xe.由h(x)0，得xe，所以函數(shù)h(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，e，單調(diào)減區(qū)間是e，)所以當(dāng)xe時，h(x)取得最大值.(2)因?yàn)閤f(x)2x2ax12對一切x(0，)恒成立，即xln xx22x2ax12對一切x(0，)恒成立，即aln xx對一切x(0，)恒成立，設(shè)(x)ln xx，因?yàn)?x)，故(x)在(0,3上遞減，在3，)上遞增，(x)min(3)7ln 3，所以a7ln 3.

10、即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，7ln 3(3)因?yàn)榉匠蘤(x)x32ex2bx0恰有一解，即ln xxx32ex2bx0恰有一解，即x22exb1恰有一解由(1)知，h(x)在xe時，h(x)max，而函數(shù)k(x)x22exb1在(0，e上單調(diào)遞減，在e，)上單調(diào)遞增，故xe時，k(x)minb1e2，故方程x22exb1恰有一解時當(dāng)且僅當(dāng)b1e2，即be21.4(2014武漢市武昌區(qū)訓(xùn)練)設(shè)函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)設(shè)x1，x20，p1，p20，且p1p21，證明：p1f(x1)p2f(x2)f(p1x1p2x2)；(3)設(shè)x1，x2，xn0，p1，p2，pn0，

11、且p1p2pn1，如果p1x1p2x2pnxne，證明：p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)e.解：(1)f(x)1ln x.由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；f(x)在(，)上單調(diào)遞增f(x)在x處取最小值f.(2)證明：令g(x)p1f(x1)p2f(x)f(p1x1p2x)，不妨設(shè)x1xx2，則g(x)p2f(x)p2f(p1x1p2x)p1x1p2xxp1x1p1x0，p1x1p2xx.而f(x)1ln x是增函數(shù)，f(x)f(p1x1p2x)g(x)p2f(x)p2f(p1x1p2x)0，所以g(x)在(x1，x2)上是增函數(shù)g(x2)g(x1)0，即p1f(x1)p2f(x2)f(p1x1p2x2)0.p1f(x1)p2f(x2)f(p1x1p2x2)(3)證明：先證明p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)f(p1x1p2x2pnxn)當(dāng)n2時，由(2)知不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，即p1f(x1)p2f(x2)pkf(xk)f(p1x1p2x2pkxk)當(dāng)nk1時，f(p1x1p2x2pkxkpk1xk1)f(1pk1)fpk1f(xk1)(1pk