1、微專題32 解三角形中的不等問題一、基礎(chǔ)知識：1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1） （2）（恒等式） （3） 2、余弦定理： 變式： 此公式在已知的情況下，配合均值不等式可得到和的最值 3、三角形面積公式：（1） （為三角形的底，為對應(yīng)的高）（2）（3）（其中為外接圓半徑）4、三角形內(nèi)角和：，從而可得到：（1）正余弦關(guān)系式： （2）在已知一角的情況下，可用另一個角表示第三個角，達到消元的目的5、兩角和差的正余弦公式： 6、輔助角公式：，其中 7

2、、三角形中的不等關(guān)系（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時，只需驗證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可。由于不存在等號成立的條件，在求最值時使用較少（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價關(guān)系：其中由利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而僅在一個三角形內(nèi)有效。 8、解三角形中處理不等關(guān)系的幾種方法（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€變量的函數(shù)：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例題精析：例1：各角的對應(yīng)邊分別為，滿足，則角的范圍是 A B CD思路：從所給條件入手，進行不等式化簡： ，觀察到余弦定理公式特征，進而利用余弦定理表示：

3、，可解得：答案：A例2：在中，角所對的邊分別為，已知 （1）求的大小（2）若，求的取值范圍解：（1）由條件可考慮使用正弦定理，將分子進行“邊化角” （2）思路：考慮在中，已經(jīng)已知 ，從而可求出外接圓半徑，進而與也可進行邊角互化。若從邊的角度考慮，則能夠使用的不等關(guān)系只有“兩邊之和大于第三邊”，但不易利用 這個條件，考慮利用角來解決 解： 例3：在銳角中，角所對的邊分別為，且 （1）求角 （2）求的取值范圍解：（1）方法一：使用余弦定理 由余弦定理得： 方法二：觀察等式齊次，考慮使用正弦定理 （2） 為銳角三角形 小煉有話說：要注意對銳角三角形條件的運用：三個角均為銳角，而用代換，所以滿足銳角的

4、條件也由來承擔(dān)，這也是在利用等式消元時所要注意的一點：若被消去的元帶有范圍，則這個范圍由主元承擔(dān)。 例4：在中，角所對的邊分別為，已知，且 （1）當(dāng)時，求的值（2）若角為銳角，求的取值范圍解：（1） 或 （2）思路：以“角為銳角”為突破口，聯(lián)想到余弦定理，而也剛好得到與的關(guān)系式，再由可解得的范圍解：考慮余弦定理 為銳角， 例5：若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 思路：所求的最值可想到余弦定理用邊進行表示，考慮角化邊得到：，進而消去計算表達式的最值即可解： 由可得： 答案：例6：在銳角中、的對邊長分別是、,則的取值范圍是( )A B C D思路：本題所給條件為角的關(guān)系，不易從邊入手，所以將所求進行邊化

5、角：，只需求出的范圍即可。條件所給的是關(guān)系，從而，利用減少角的個數(shù)：，代入可得：，根據(jù)銳角三角形求出的范圍即可。解：由 因為為銳角三角形 解得： 答案：B小煉有話說：本題的關(guān)鍵點有兩個，一個是解題系統(tǒng)的確定，由于題目中沒有涉及到邊的關(guān)系，只是給了角的條件，所以優(yōu)先選擇角的系統(tǒng)，從而進行角化邊的處理，并進行了一個分式的常見變形，將變量集中在分母上。另一個就是主元的確定：本題的主元是，所以在求表達式范圍時將均用來進行表示，以便于求得值域。例7：已知的角所對的邊分別是，且，若的外接圓半徑為，則面積的最大值為_思路：由可聯(lián)想到余弦定理求，所以，從而，所求面積可表示為，則只需解出的最大值即可。由外接圓半

6、徑及可得：，所以，而，所以有，所以 答案： 小煉有話說：本題的入手點來自于條件中對余弦定理的暗示，從而解出，在計算面積時有三組邊角可供選擇：，通常是“依角而選”，從而把目標(biāo)轉(zhuǎn)向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項，再配上均值不等式往往可以找到最值。例8：設(shè)的內(nèi)角所對的邊為，若成等比數(shù)列，則的取值范圍是_思路：由成等比數(shù)列可得：，也可視為 ，所求表達式也可視為。如果從角入手，則無法與聯(lián)系。所以考慮從邊入手。由可得：，在中，若 ，則，所以，即，同理，若，則，解得：。綜上答案：例9：已知ABC中，角A,B,C所對的邊分別為，且BC邊上的高為，則的取值范圍為_思路：一方面由所求出發(fā)，可用均

7、值不等式得到，驗證時存在這樣的三角形，得到最小值；再從另一個角度入手可聯(lián)想到余弦定理，而由題目中的底和高可得，所以有：，只需求得的范圍即可，考慮，所以，綜上：答案： 小煉有話說：（1）在解三角形中，能夠從所給式子中發(fā)現(xiàn)定理的影子，可幫助你迅速確定解題方向，本題沒有選擇邊化角，而是抓住余弦定理的影子為突破口，然后再去尋找條件能否把多余的元消去（比如本題中的），從而整理出一個可操作的表達式（2）最后運用輔角公式時，輔助角并不是特殊角。這種情況下可用代替俯角，并用的一個三角函數(shù)值刻畫其大小。本題可通過作圖大致觀察到的范圍，從而確定的范圍能經(jīng)過，所以能夠取到例10：（2014，重慶）已知的內(nèi)角滿足，面

8、積滿足，記分別是所對的邊，則下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 思路：本題需判斷的式子比較多，先從條件出發(fā)向所求靠攏?；喴阎獥l件可得，即，聯(lián)想到面積公式及可得：，從而可用進行表示求出范圍，另一方面可由，利用不等式的傳遞性即可求出的范圍解： 即由正弦定理可得： 所以由可得：，所以均不正確 正確同理 ，不正確三、近年好題精選1、（2016，上海十校聯(lián)考）設(shè)銳角的三內(nèi)角所對邊的邊長分別為，且，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 2、（2016江蘇高三第一次聯(lián)考）在中，是的中點，邊（含端點）上存在點，使得，則的取值范圍是_3、（2015，新課標(biāo)I）在平行四邊形中，則的取值范圍

9、是_4、（2016，哈爾濱六中上學(xué)期期末考試）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的面積最大值為_5、（2014，新課標(biāo)全國卷I）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，則面積的最大值為_6、（2016，洛陽12月月考）在的內(nèi)角所對的邊分別為，則下列命題正確的是_ 若，則 若，則 若，則為銳角三角形 若，則7、（2014，陜西）的內(nèi)角的對邊分別為（1）若成等差數(shù)列，證明： （2）若成等比數(shù)列，求的最小值8、設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為且.（1）求角的大?。唬?）若，求的周長的取值范圍.9、已知和滿足： （1）求證：是鈍角三角形，并求最大角的度數(shù)（2）求的最小值10、（2016，安徽六校聯(lián)考）已知函數(shù).（1）求的對稱

10、中心（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍習(xí)題答案：1、答案：A解析： 由銳角可知：，解得，所以，從而2、答案：解析：方法一：若存在點，使得，則為銳角或直角在中 代入，可得： 方法二（向量法）以為原點，直線為軸建系，則，設(shè)， 由和可得3、答案： 解析：延長交于點，則在中， 設(shè)，則由正弦定理可得設(shè)，則由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以 ，由可知，所以 4、答案：解析：由余弦定理可得：，代入可得：，即，所以有： 所以當(dāng)時，有最大值為5、答案： 解析：由正弦定理可得： 且 即 6、答案：解析： 由正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，所以 從而，從而 ，所以，即，則，所以最大角為銳角。即是銳角三角形 取滿足，則，不符題意7、解析：（1）成等差數(shù)列 ，由正弦定理可得： （2）成等比數(shù)列 由余弦定理