1、2.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),教學(xué)目標(biāo),知識(shí)與技能目標(biāo) 使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)這些性質(zhì) 從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力 過(guò)程與方法目標(biāo) 復(fù)習(xí)與引入過(guò)程 1拋物線的定義是什么？ 請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線” 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 再請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0) 下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)出發(fā)來(lái)研究它的

2、幾何性質(zhì)板書(shū)拋物線的幾何性質(zhì),y,復(fù)習(xí),結(jié)合拋物線y2=2px(p0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索其的幾何性質(zhì): (1)范圍 (2)對(duì)稱性 (3)頂點(diǎn),類比探索,x0,yR,關(guān)于x軸對(duì)稱,對(duì)稱軸又叫拋物線的軸.,拋物線和它的軸的交點(diǎn).,(4)離心率 (5)焦半徑 (6)通徑,始終為常數(shù)1,通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。,|PF|=x0+p/2,F,P,通徑的長(zhǎng)度：2P,思考：通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？,利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖。,特點(diǎn),1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但它沒(méi)有漸

3、近線;,2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;,3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;,4.拋物線的離心率是確定的,為1;,5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.,P越大,開(kāi)口越開(kāi)闊,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x軸,y軸,1,變式: 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,并且過(guò)點(diǎn) M(2, )的拋物線有幾條,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.,典型例題：,例1.已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且過(guò)點(diǎn)M(2, ),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.,當(dāng)焦點(diǎn)在x(y

4、)軸上,開(kāi)口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免討論,解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1,解法二:由題意可知,分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷,變式： 過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m， 交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓 和這拋物線的準(zhǔn)線相切,證明：如圖,所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EHl，因而圓E和準(zhǔn)線l相切,設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過(guò)A、E、B分別向準(zhǔn)線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，,則AFAD，BFBC,AB AFBF ADBC =2EH,練習(xí): 1.已知拋

5、物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是_. 2.過(guò)拋物線 的焦點(diǎn),作傾斜角為 的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_(kāi) 3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直線AB的方程.,y2 = 8x,X=3,例3.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,求證:直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.,x,O,y,F,A,B,D,例3 過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸。,x,y,O,F,A,B,D,小結(jié):,

6、1.掌握拋物線的幾何性質(zhì):范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、通徑; 2.會(huì)利用拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及解決其它問(wèn)題;,關(guān)于x 軸 對(duì)稱，無(wú) 對(duì)稱中心,關(guān)于x 軸 對(duì)稱，無(wú) 對(duì)稱中心,關(guān)于y 軸 對(duì)稱，無(wú) 對(duì)稱中心,關(guān)于y 軸 對(duì)稱，無(wú) 對(duì)稱中心,e=1,e=1,e=1,e=1,分析:直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有兩種情形：一種是直線平行于拋物線的對(duì)稱軸； 另一種是直線與拋物線相切,判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序,把直線方程代入拋物線方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直線與拋物線的 對(duì)稱軸平行,相交（一個(gè)交點(diǎn)）,計(jì) 算 判 別 式,分析: 直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)

7、0,分析: 直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)0,注:在方程中,二次項(xiàng)系數(shù)含有k,所以要對(duì)k進(jìn)行討論 作圖要點(diǎn):畫(huà)出直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的情形,觀察直線繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的情形,變式一:已知拋物線方程y2=4x,當(dāng)b為何值時(shí),直線l:y=x+b與拋物線(1)只有一個(gè)公共點(diǎn)(2)兩個(gè)公共點(diǎn)(3)沒(méi)有公共點(diǎn).當(dāng)直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí),b的最大值是多少?,分析:本題與例1類型相似,方法一樣,通過(guò)聯(lián)立方程組求得. (1)b=1 (2)b1,當(dāng)直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí),b的最大值當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)取得.其值為1,變式二:已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程y2=4x,求函數(shù) 的最值,變式三:點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng),求函數(shù)z=x-y的最值.,本題轉(zhuǎn)化