1、相似三角形一、知識概述(一)相似三角形1、對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形溫馨提示：當且僅當一個三角形的三個角與另一個(或幾個)三角形的三個角對應相等，且三條對應邊的比相等時，這兩個(或幾個)三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；相似三角形的定義，可得相似三角形的基本性質：對應角相等，對應邊成比例，其應用廣泛2、相似三角形對應邊的比叫做相似比溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例相似比具有順序性例如ABCABC的對應邊

2、的比，即相似比為k，則ABCABC的相似比，當且僅當它們全等時，才有k=k=1相似比是一個重要概念，后繼學習時出現(xiàn)的頻率較高，其實質它是將一個圖形放大或縮小的倍數，這一點借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊(或其延長線)分別相交，那么所構成的三角形與原三角形相似溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：DEBC，ABCADE；這個定理是用相似三角形定義推導出來的三角形相似的判定定理它不但本身有著廣泛的應用，同時也是證明下節(jié)相

3、似三角形三個判定定理的基礎，故把它稱為“預備定理”；有了預備定理后，在解題時不但要想到上一節(jié)“見平行，想比例”，還要想到“見平行，想相似”(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：兩角對應相等，兩三角形相似判定定理(2)：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理(3)：三邊對應成比例，兩三角形相似溫馨提示：有平行線時，用上節(jié)學習的預備定理；已有一對對應角相等(包括隱含的公共角或對頂角)時，可考慮利用判定定理（1）或判定定理（2）；已有兩邊對應成比例時，可考慮利用判定定理2或判定定理3但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應角相等必須是成比例兩邊的夾角對應相等2、直角三角形

4、相似的判定：斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似溫馨提示：由于直角三角形有一個角為直角，因此，在判定兩個直角三角形相似時，只需再找一對對應角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個直角三角形相似；如圖是一個十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應用較為廣泛如圖，可簡單記為：在RtABC中，CDAB，則ABCCBDACD(三)三角形的重心1、三角形三條中線的交點叫做三角形的重心2、三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍二、重點難點疑點突破1、尋找相似三角形對應元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的

5、對應元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或對頂角時，公共角或對頂角是最明顯的對應角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應角；相似三角形中，一對相等的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊，對應角的夾邊是對應邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應邊；對應邊所對的角是對應角；對應邊所夾的角是對應角2、常見的相似三角形的基本圖形：學習三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結，形成一整套完整的判定方

6、法如：(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2)“相交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個公共角或對頂角“見一對等角，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3)“旋轉型”相似三角形，如圖若圖中1=2，B=D(或C=E)，則ADEABC，該圖可看成把第一個圖中的ADE繞點A旋轉某一角度而形成的溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上“平行線型”是常見的，這類相似三角形的對應元素有較明顯的順序，“相交線型”識圖較困難，解題時要注意從復雜圖形中分解或添加輔助線構造出基本

7、圖形三、解題方法技巧點撥1、尋找相似三角形的個數例1、(吉林)將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設圖形中所有點、線都在同一平面內，回答下列問題：(1)圖中共有多少個三角形？把它們一一寫出來；(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來分析： (1)在ABC內，有五個三角形，加上ABC與AFG，共有七個三角形(2)這是依據相似三角形判定定理來解決的計數問題由于“不包括全等”，圖中還剩五個非直角三角形，考慮到題設中兩個三角形擺放的隨意性，1不一定等于2，而B=C=45，3、4都為鈍角，又排除ABD與ACE相似，還剩三個三角形，這三個三角形相似解： (1)共有七個

8、三角形，它們是ABD、ABE、ADE、ADC、AEC、ABC與AFG(2)有相似三角形，它們是ABEDAE，DAEDCA，ABEDCA(或ABEDAEDCA)點撥：解決這類計數問題，一定要依據圖形與定理，全面、周密思考，做到不重不漏，這類題有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)和創(chuàng)新意識的形成；有興趣的同學可繼續(xù)探索一下本題中BD、DE、EC三條線段有何關系？2、畫符合要求的相似三角形例2、(上海)在大小為44的正方形方格中，ABC的頂點A、B、C在單位正方形的頂點上，請在圖中畫出一個A1B1C1，使得A1B1C1ABC(相似比不為1)，且點A1、B1、C1都在單位正方形的頂點上（1）（2）分析：設單位正方形的

9、邊長為1，則ABC的三邊為，從而根據相似三角形判定定理2或3可畫A1B1C1，易得點撥：在44的正方形方格中，滿足題設的A1B1C1只能畫出以上三個，若正方形方格數不加限制，則和ABC相似且不全等的三角形可以畫無數個3、相似三角形的判定例3、(1)如圖，O是ABC內任一點，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，求證：DEFABC；(2)如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點，DF=3CF，寫出圖中所有相似三角形，并證明分析：(1)根據題設，觀察圖形易見，DE、EF、FD分別是AOB、BOC、COA的中位線，利用三角形的中位線性質可證DEF與ABC的三邊對應成比例；(2)由于正方形的四條邊相等

10、，且BE=CE，DF=3CF，設出正方形邊長后，圖中所有線段都能求出，故可從三邊是否成比例判定哪些三角形相似點撥：第(1)題，若點O在ABC外，其他條件不變，結論仍成立；第(2)題也可用判定定理2，先證ABEECF，得出AEF=90后，再證其中任意三角形與AEF相似，顯然，以上證法較簡便4、直角三角形相似的判定例4、求證：若一個直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高與另一個直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高成比例，那么這兩個直角三角形相似已知：如圖，RtABC和RtABC中，C=C=90，CD、CD分別是兩個三角形斜邊上的高，且CDCD=ACAC求證：ABCABC分析：判定直角三角形相似的方法除使

11、用一般三角形的判定方法外，還可使用“斜邊和一直角邊對應成比例的兩直角三角形相似”這一定理證明ABCABC，只要再證一銳角對應相等即可證明：CD、CD分別是ABC、ABC的高，ACD、ACD是直角三角形5、三角形重心問題例5、已知ABC的重心G到BC邊上的距離為5，那么BC邊上的高為()A5B12C10 D15解析：因為G為ABC的重心，所以DGDA=13，因為GEBC，AFBC，所以GEAF，所以GEAF=DGDA=13，因為GE=5，所以AF=156、相似三角形的綜合運用例6、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，過點D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F求證：(1)ADFEDB；

12、(2)CD2=DEDF分析：(1)ADF與EDB都是直角三角形，要證它們相似，只要再找一個角對應相等即可；(2)注意到CD是斜邊AB的中線，AD=BD=CD，由結論(1)不難得出結論(2)證明：(1)DFAB，ADF=BDE=90，又FA=BA，F(xiàn)=B，ADFEDB(2)由(1)得，ADBD=DEDF又CD是RtABC斜邊上的中線，AD=BD=CD故CD2=DEDF點撥：本題綜合考查了直角三角形的性質與相似三角形的判定等這是一道階梯型問題，第(2)題根據(1)得出有關比例式，然后使用“等線代換”使問題簡捷獲證其實第(2)題也可這樣思考：把它轉化為比例式，證明這三條線段所在的CDEFDC請同學們

13、完成這一證明例7、如圖，AD是ABC的角平分線，BEAD于E，CFAD于F求證：分析：待證式中的四條線段不是在兩個三角形中，無法直接根據兩個三角形相似得出，需要插入一個“中間比”，由題設易證ABEACF，BDECDF，從中不難找到這個中間比證明：AD是ABC的角平分線，1=2BEAD，CFAD，3=4=90，ABEACF，點撥：當無法直接由兩個三角形相似得出結論中的比例式時，一般可尋找“中間比”幫忙；例8、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是AB、BC上的點，BM=BN，BPMC于點P求證：(1)PBNPCD；(2)PNPD分析：要證PNPD，即證DPN=90，由已知BPC=90，而BPC與

14、DPN有公共部分CPN，因此只要證明4=5即可這就必須先證明出結論(1)在PBN與PCD中，易證1=3，以下只要證明夾1、3的兩邊對應成比例證明：(1)在正方形ABCD中，ABCD，ABC=90BPMC，PBMPCB點撥：要注意觀察出圖中存在的“母子相似三角形”基本圖形，從而充分利用它得出1=2及PBMPCB等重要結論一、本章的兩套定理第一套（比例的有關性質）：合比性質：（比例基本定理）涉及概念：第四比例項比例中項比的前項、后項，比的內項、外項黃金分割等。二、有關知識點：1.相似三角形定義：對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號“”表示，讀作“相似于

15、”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對應邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對應成比例夾角相等三邊對應成比例兩角對應相等一條直角邊與斜邊對應成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應邊相等”的條件改為“對應邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數學中的用類比的方法，在舊知識的基礎上找出新知識并從中探究

16、新知識掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。7.相似三角形的性質定理：(1)相似三角形的對應角相等。(2)相似三角形的對應邊成比例。(3)相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8. 相似三角形的傳遞性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個判定定理，也是后面學習的相似三角形的判定定理的基礎，這個定理確定了相似三角形的兩個基本圖形“A”型和“ 8 ”型。在利用定理證明時要注意A型圖的比例，每