1、 本文由362989貢獻(xiàn) pdf文檔可能在WAP端瀏覽體驗(yàn)不佳。建議您優(yōu)先選擇TXT，或下載源文件到本機(jī)查看。 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 2012 考研數(shù)學(xué)必看：很詳細(xì)的考研數(shù)學(xué)全程輔導(dǎo)書(shū)選擇及復(fù)習(xí)規(guī)劃 1、課本：同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)+同濟(jì)大學(xué)第四版線性代數(shù)+浙江大學(xué)第 三版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) （用書(shū)時(shí)間：2011 年 1 月2011 年 6 月） 2、高分輔導(dǎo)書(shū)：李永樂(lè)復(fù)習(xí)全書(shū)或原教育部命題組組長(zhǎng)王式安考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 標(biāo)準(zhǔn)全書(shū) 李永樂(lè)基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 66

2、0 題或原教育部命題組組長(zhǎng)王式安基礎(chǔ)經(jīng)典習(xí)題 600 題 （時(shí)間：2011 年 3 月2011 年 9 月） 3、 輔導(dǎo)班講義： 中國(guó)考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)界頂級(jí)輔導(dǎo)名師講義 （時(shí)間： 2011 年 7 月2011 年 9 月） 4、大綱：最新考試大綱，主要是里面的樣卷，很重要 （時(shí)間：2011 年 8 月2011 年 9 月） 5、真題解析：李永樂(lè)考研數(shù)學(xué)歷年真題解析或原教育部命題組組長(zhǎng)王式安考 研數(shù)學(xué)歷年真題權(quán)威解析 （時(shí)間：2011 年 10 月2011 年 12 月） 6、模擬題：原教育部命題組組長(zhǎng)王式安王式安最后沖刺 8 套卷或李永樂(lè)考研 數(shù)學(xué)經(jīng)典模擬 400 題 （時(shí)間：2011 年 11

3、月2011 年 12 月） 復(fù)習(xí)內(nèi)容 注意事項(xiàng) 1.把基礎(chǔ)的基礎(chǔ)一定掌握，尤其是公式 要記牢 2.看概念和知識(shí)要點(diǎn)的時(shí)候，要把一些 重點(diǎn)詞句劃出來(lái)；對(duì)于開(kāi)始不太懂的， 理解之后一定也把自己的理解寫(xiě)出來(lái)。 主要是找出為什么當(dāng)時(shí)不會(huì)或者思路不 清，并相應(yīng)解決相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。 考研數(shù)學(xué) 全程復(fù)習(xí) 權(quán)威資料 書(shū)及用書(shū) 時(shí)間安排 （狀元必備） 時(shí)間 把課本細(xì)看一遍，例題自己做，并研究例題 思路記好筆記。 課后題都做一遍， 把不會(huì)的、 第 一 階 做錯(cuò)的或者雖然做對(duì)但思路不清的做好記 段 ： 基 礎(chǔ) 號(hào)。 復(fù)習(xí)階段 第二次看課本， 這次是簡(jiǎn)略回顧基礎(chǔ)知識(shí)的 1 月6 月 情況下， 重點(diǎn)解決第一階段沒(méi)有弄清的知

4、識(shí) 點(diǎn)，最重要的是把第一階段做了記號(hào)的例 題、課后題解決。 做一下課本配套的習(xí)題 用記號(hào)對(duì)題目進(jìn)行標(biāo)識(shí)： A:自己會(huì)做的 B:有正確思路，但不能完全寫(xiě)出來(lái) 第 二 階 C:沒(méi)有思路或思路錯(cuò)誤的。 段 ： 強(qiáng) 化 李永樂(lè)復(fù)習(xí)全書(shū)或原教育部命題組組長(zhǎng) 階段 王式安考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)全書(shū)里面的所 7 月9 月 有題目都自己動(dòng)手做，B/C 做好記號(hào)，并這 過(guò)程中做好筆記， 對(duì)沖刺階段查缺補(bǔ)漏極為 重要。 比對(duì)課本，分析大綱?？纯从袥](méi)有新要求的 知識(shí)點(diǎn)，回到全書(shū)批注，對(duì)新增、變知識(shí)點(diǎn) 重點(diǎn)加強(qiáng)理解。李永樂(lè)基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 660 題 或原教育部命題組組長(zhǎng)王式安 基礎(chǔ)經(jīng)典習(xí) 題 600 題里面的所有題目都自己動(dòng)手做

5、， B/C 做好記號(hào)。并這過(guò)程中做好筆記。 發(fā)現(xiàn)仍存在的問(wèn)題 1.對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和概念一定用心領(lǐng)會(huì)和理 解，不懂的回課本搞清楚。 2.對(duì)每道例題和習(xí)題，先動(dòng)手做一遍， 然后再對(duì)照書(shū)上的答案和解題思路總結(jié) 和反省，好好把感受寫(xiě)在旁邊。 3.做題時(shí)，對(duì)于第 BC 種情況記下自己 當(dāng)時(shí)為什么做不出來(lái)，今后看到何種典 型題目，應(yīng)該具備何種反應(yīng)和思路。 這一階段一定要解決前面所有留下的問(wèn) 題。 輔導(dǎo)班講義：中國(guó)考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)界頂級(jí) 輔導(dǎo)名師講義一定要再親自做 2 遍，這 樣增強(qiáng)復(fù)習(xí)效果。輔導(dǎo)班老師特別是有 命題閱卷背景的名師總結(jié)的輔導(dǎo)資料極 為重要，直接洞穿了命題規(guī)律和命題陷 阱、考生弱點(diǎn)。 真題模擬考場(chǎng)：李

6、永樂(lè)考研數(shù)學(xué)歷年真題 爭(zhēng)取 3 天一套，嚴(yán)格按照時(shí)間來(lái)做。定 第 三 階 解析或原教育部命題組組長(zhǎng)王式安考研 時(shí)（3h/套） Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 段 ： 真 題 數(shù)學(xué)歷年真題權(quán)威解析 研究及沖 刺 模 擬 階 做模擬題，強(qiáng)化記憶。選一本模擬題即可。 原教育部命題組組長(zhǎng)王式安王式安 最后沖 段 刺 8 套卷 ，此書(shū)與真題同源，強(qiáng)烈推薦！ 10 月12 月 所有題都是原命題人員命制的，直擊考題， 整體難度比真題難一些。 李永樂(lè)考研數(shù)學(xué)經(jīng)典模擬 4

7、00 題 ，此書(shū) 以常規(guī)題為主，難度方面，整體上比真題稍 微難一些。 課本+大綱+筆記 第 四 階 自己看書(shū)，每看到一節(jié)，爭(zhēng)取自己能回憶起 段 ： 狀 態(tài) 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及延伸， 并在筆記上找出當(dāng)初 保持階段 做錯(cuò)的題目 為了保持考場(chǎng)狀態(tài)：要作題，不斷的作題。 2012 年 1 月 原教育部命題組組長(zhǎng)王式安王式安 最后沖 刺 8 套卷或李永樂(lè)考研數(shù)學(xué)經(jīng)典模擬 400 題可再重新做一遍 熟練程度要求：就是看到題目就有思路，就 能快速地寫(xiě)出來(lái)。 1.定時(shí)（3h/套） 2 打分 清楚地了解自己的情況。 3.全面、系統(tǒng)、詳細(xì)的總結(jié).切忌草草看 一遍答案，說(shuō)聲“原來(lái)如此” 4.每做幾套，回頭總結(jié)在哪些知識(shí)

8、點(diǎn)， 哪些章節(jié)，哪種類型的題目中容易出問(wèn) 題，分析原因，制訂對(duì)策。 此階段是查缺不漏的階段，千萬(wàn)別再陷 入題海里！常規(guī)題型一定要會(huì)做。 1.不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)做題數(shù)量：做題，尤其 是做套題，是訓(xùn)練考試速度和準(zhǔn)確度的 有效手段，做套題后，必須好好總結(jié)， 這樣才可能使你做過(guò)的題目成為你掌握 了的題目。 2.不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)難題、偏題：真正的考 題并不困難，絕大多數(shù)（甚至全部）都 是常規(guī)題目。因此，我們?cè)趶?fù)習(xí)中需要 提高的是常規(guī)題目的快速解題能力 2012 考研數(shù)學(xué)寒假學(xué)習(xí)計(jì)劃明細(xì) 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 第八天 第九天 第十天 第十一天 第十二天 第十三天 第十四天 第

9、十五天 第十六天 第十七天 第十八天 第十九天 第二十天 用時(shí) 7 小時(shí) 5 小時(shí) 6 小時(shí) 5 小時(shí) 9 小時(shí) 高等數(shù)學(xué)課本 第一章：函數(shù)與極限（第一節(jié)、第二節(jié)） 第一章：函數(shù)與極限（第三節(jié)、第四節(jié)） 第一章：函數(shù)與極限（第五節(jié)、第六節(jié)） 第一章：函數(shù)與極限（第七節(jié)、第八節(jié)） 第一章：函數(shù)與極限（第九節(jié)、第十節(jié)、總復(fù)習(xí)） 寒假配套 100 題 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 120 題 2140 題 4160 題 6180 題 81100 題 10 小時(shí) 第二章：導(dǎo)數(shù)與微分（第一節(jié)、第二節(jié)） 7 小時(shí) 第二章：導(dǎo)數(shù)與微分（第三節(jié)、第四節(jié)） 6 小時(shí) 5 小時(shí) 5

10、小時(shí) 5 小時(shí) 5 小時(shí) 5 小時(shí) 5 小時(shí) 5 小時(shí) 6 小時(shí) 6 小時(shí) 6 小時(shí) 6 小時(shí) 6 小時(shí) 第二章：導(dǎo)數(shù)與微分（第五節(jié)、總復(fù)習(xí)題 2） 第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（第一節(jié)） 第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（第二節(jié)） 第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（第三節(jié)） 第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（第四節(jié)） 第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（第五節(jié)） 第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（第六節(jié)） 第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（第七節(jié)） 寒假配套 100 題 寒假配套 100 題 寒假配套 100 題 寒假配套 100 題 寒假配套 100 題 Generated by Unregister

11、ed Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 2012 考研數(shù)學(xué)寒假學(xué)習(xí)重要指導(dǎo)思想 標(biāo)題 具體要求 1、同濟(jì)大學(xué)第五/六版高等數(shù)學(xué)上冊(cè) 2、海文考研寒假配套特訓(xùn) 100 題 1、 高等數(shù)學(xué)上冊(cè)的一元微分學(xué)，即前三章 2、海文考研寒假配套特訓(xùn) 100 題 1、通過(guò)對(duì)教材高等數(shù)學(xué)上冊(cè)的一元微分學(xué)，即前三章的復(fù)習(xí)理解大綱中要求 的三基基本概念、基本理論、基本方法。 2、通過(guò)學(xué)習(xí)海文考研寒假配套特訓(xùn) 100 題進(jìn)一步鞏固課本基礎(chǔ)知識(shí)，練習(xí) 考研基本題型。 1、 把課本細(xì)看一遍，例題自己做，并研究例題思路記好筆記。課后題

12、都做一遍， 把不會(huì)的、做錯(cuò)的或者雖然做對(duì)但思路不清的做好記號(hào)。為下一階段的復(fù)習(xí) 計(jì)劃用書(shū) 主要任務(wù) 主要目標(biāo) 復(fù)習(xí)方法 做好充分的準(zhǔn)備。 2、通過(guò)學(xué)習(xí)海文考研寒假配套特訓(xùn) 100 題進(jìn)一步鞏固課本基礎(chǔ)知識(shí)，自己 動(dòng)筆做題，把每個(gè)例題弄懂。為后續(xù)的復(fù)習(xí)打下一個(gè)扎實(shí)的基礎(chǔ)。 注意事項(xiàng) 計(jì)劃用時(shí) 1.基礎(chǔ)知識(shí)一定掌握，尤其是公式要記牢 2.看概念和知識(shí)要點(diǎn)的時(shí)候，要把一些重點(diǎn)詞句劃出來(lái)；對(duì)于開(kāi)始不太懂的，理 解之后一定也把自己的理解寫(xiě)出來(lái)。 1、同濟(jì)大學(xué)第五/六版高等數(shù)學(xué)上冊(cè)前三章：90 小時(shí) 2、海文考研寒假配套特訓(xùn) 100 題 ：30 小時(shí) 寒假配套特訓(xùn) 100 題 特訓(xùn)題 1、 解 x 設(shè) f

13、 (e x ? 1) ? e2 x ? e x ? x ，求 f(x). 令 e ? 1 ? u ， x ? ln(u ? 1) f (u) ? (u ? 1)2 ? (u ? 1) ? ln(u ? 1) ? u 2 ? u ? ln(u ? 1) 于是 f ( x) ? 求極限 lim 2 x? x l n (x 1 ) ? ? 特訓(xùn)題 2、 解： lim sin x ? sin ? sin x ? ? sin x ? ? 4 x ?0 x (sin x ? sin sin x)sin x sin x ? sin sin x cos x ? cos(sin x) ? cos x ? lim

14、 ? lim 4 3 x ?0 x ?0 x?0 x x 3x 2 cos x(1 ? cos(sin x) sin(sin x) ? cos x ? lim ? lim 2 x?0 x?0 3x 6x sin x 1 ? lim ? x ?0 6 x 6 求 lim 特訓(xùn)題 3、 解 3n ?1 ? 2n . n ? 2n ?1 ? 3n 分子、分母用 3n 除之， Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 2? 3? ? ?3? ?3 原式 lim n n?

15、?2? 2? ? ?1 ?3? （注：主要用當(dāng) r ? 1 時(shí)， lim r ? 0 ） n n ? n 特訓(xùn)題 4、 （1） lim x ?0 求下列各極限 1? x ? 1? x x 原式 lim x ?0 3 （2） lim x ?0 1? x ? 3 1? x x 解 （1）解一 解二 1? x ? 1? x ? ? 1 ? x ?1? ? ? 1 ? x ? 1? 原式 lim x x ?0 1 ? x ? ? ?1 ? x ? 2 ?1 2 x 1 ? x? x ? ? 2 等價(jià)無(wú)窮小量代換 ? 2 ? ?1 lim x ?0 x 解三 用洛必達(dá)法則 1 ? ?1? ? 1 ? ?

16、 2 1? x ? 2 1? x ? 原式 lim ?1 x ?0 1 （2）解一 原式 lim x ?0 x ? 3 1? x ? ? ? 2 1 ? x ? ? ?1 ? x ? 3 1? x 3 1? x ? ? 3 1? x ? ? ? 2 2 3 解二 解三 類似（1）中解二用等價(jià)無(wú)窮小量代換 類似（1）中解三用洛必達(dá)法則 （2） lim ?1 ? n ? ? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ?

17、 3 ? ? n ? n ? n ?1 n ? 1 n ?1 1 ? ? lim ? n ? 2n n n 2 解 原式 lim ?1 ? n ? ? lim ? ? ? ? 特訓(xùn)題 5、 求下列極限 x ?10 1 3 2 4 n ? 2 2 3 3 2? （1） lim ?1 ? ? x ? ? x? 1? x ?x （2） lim ? ? x ?0 1 ? x ? ? x ?10 1 2? 解 （1） lim ?1 ? ? n ? ? x? ? 2 ? ? lim ?1 ? ? ? ? ? x ? ? ? x ? 10 ? ? x? x ? 2( x ?10) ? ? ? ? ? 2 ?

18、 ? x ? x? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? lim ? ?1 ? ? ? ? ? ? x ? ? ? x ? ? ? ? ?2 ?1? ? e?2 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 1 x （2）解一 1? x ? x ?0 lim ? ? ? ? 1 x ?0 1 ? x ? ? x lim ?1 ? x ? x ?0 1 1 lim ?1 ? x ? x 1 lim ?1 ? (? x) ? x ?0 1? ? ? ?( ?1) x

19、? e e?1 ? e?2 e 解二 ? ?2 x ? ? ? ?2 x ? 1? x ? ? 1? x ? x ? 1 ? x ? 2x ? x lim ? ? e?2 ? ? lim ? ? ? lim ?1 ? ? ? x ?0 1 ? x x ?0 x ?0 ? ? ? 1? x ? ? ? 1 ? x ? 求下列極限 cot x 4 x ?1 1? x ? ?2 ? ? ? ? 特訓(xùn)題 6、 x ?0 （1） lim(1 ? tan x) （3） lim(cos x) x ?0 （2） lim x x ?1 cot 2 x 解 于是 （1）令 1 tan x ? t 則 cot x

20、? ，當(dāng) x ? 0 時(shí) t ? 0 t o t x lim(1 ? tan x)c x ?0 lim(1 ? t ) t ? e t ?0 1 （2）令 x ? 1 ? t 則 x ? 1 ? t ，當(dāng) x ? 1 時(shí)， t ? 0 于是 lim x x ?1 4 x ?1 1 ? ? ? lim(1 ? t ) ? lim ?1 ? t ? t ? ? e4 t ?0 t ?0 ? ? 4 t 4 cos2 x （3） lim(cos x) x ?0 cot 2 x lim(1 ? sin x) 2 x ?0 2sin 2 x lim ?1 ? (? sin x) ? ? ? x ?0 ?

21、 2 1 ? sin 2 x cos2 x ? ? ?2? e 特訓(xùn)題 7、 求下列極限 （1） lim n ? 1 2 k ?1 n 1 n2 ? k n n ?n 2 （2） lim n ? n k ?1 n 2 k ?n?k 解 （1） k ?1 n 1 n ?k 2 n n2 ? 1 1 l i m ? 1 1? n 1 1 1? 2 n ?1 1 而 l i m n ? n n ?n 2 n ? lim n ? n n2 ? 1 lim n ? 由夾逼定理可知 lim ? n ?k ?1 n 1 n ?k 2 1 （2） 1? 2 ? ? n n k 1? 2 ? ? n ? 2 ?

22、 2 2 n ?n?n n ? n ?1 k ?1 n ? n ? k 而 1 n( n ? 1 ) 1? 2 ? ? n ? 1 2i m l i m 2 ? l ? n ? n ? n n ? n ? 2n ( 2 ) 2 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 1 n(n ? 1) 1? 2 ? ? n 1 2 lim 2 ? lim 2 ? n ? n ? n ? n ? 1 n ? n ?1 2 則夾逼定理可知 lim ? n ? k 1 ? 2 k

23、?1 n ? n ? k 2 n 特訓(xùn)題 8、 分析 求 lim n ? n k ?1 n 2 n . ? k2 如果還想用夾逼定理中方法來(lái)考慮 n n2 n n2 ? 2 ? 2 2 n2 ? n2 k ?1 n ? k 2 n ? 1 而 lim n2 1 n2 ? ， lim 2 2 ? 1 n ? n 2 ? n 2 2 n? n ? 1 由此可見(jiàn)，無(wú)法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來(lái)考慮. 解 lim ? n 1 n ? lim ? 2 2 n ? n ? n k ?1 n ? k k ?1 n 1 ?k? 1? ? ? ?n? 2 1? x 0 1 dx 2 arctan x

24、 0 ? 1 4 1 1 ? sin n. 特訓(xùn)題 9、 求 lim n 1 n? sin 3 n 解 離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮 lim x ?0 x ? sin x sin 3 x 等價(jià)無(wú)窮小代換 lim x ?0 x ? sin x x3 1 ? cos x sin x 1 ? lim ? 2 x ?0 x ?0 6 x 3x 6 1 原式 . 6 lim 特訓(xùn)題 10、 求 lim e . x ?0 x10 1 1 x2 2 ? ? x2 1 ? 2 ? 3 ?e x e 0 ?x ? ? lim 12 （不好辦了，分母 x 的次數(shù)反而增加） 解 若直接用“ ”型洛必達(dá)法則 1

25、，則得 lim ，為了避 9 x ?0 x ?0 5 x 0 10 x 免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令 1 x2 ? et l i m ? t ? ? ? 5 t 5 t 1 ?t， x2 于是 e l i m1 0 ? x ?0 x t ? ? ? t ? l i(“ ”型) m ? e 5t 4 5! lim t ? ? ? lim t ? 0 t ? e t ? e Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 特訓(xùn)題 11、求 lim ? 1 ?

26、?1 ? x ?. x ?0 ? x e ?1 ? （ “ 解 1 ? (e x ? 1) ? x ?1 lim ? ? x ? ? lim x?0 ? x e ? 1 ? x?0 x(e x ? 1) ex ?1 ex ? lim x x?0 (e x ? 1) ? xe x x?0 e ? e x ? xe x 0 ”型） 0 lim lim 1 1 ? x?0 2 ? x 2 求 lim( x ?0 特訓(xùn)題 12、 1 cos 2 x ? ). sin 2 x x2 解 x 2 ? sin 2 x?cos 2 x 原式 lim x ?0 x 2 sin 2 x 1 x 2 ? sin 2

27、 2 x 4 lim x ?0 x4 4 2 x ? sin 2 x cos 2 x 4 lim x ?0 4 x3 1 x ? sin 4 x 4 lim x ?0 2 x3 1 ? cos 4 x 4sin 4 x 4 lim ? lim ? 2 x ?0 x ?0 6x 12 x 3 x 2 ? 1, x ? c ? 特訓(xùn)題 13、設(shè)函數(shù) f ( x) ? ? 2 在 (?, ?) 內(nèi)連續(xù)，則 c ? x ?c ?x, ? 解：1 分析：由 lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? c ? 1 ? ? ? 2 x ?c x ?c . 2 ? c ?1 c 特訓(xùn)題 14、 解

28、 x ?0? 求 lim x ? x ?0 sin 2 x . 令y?x x ?0 0 sin 2 x ， ln y ? sin 2 x ln x lim ln y ? lim sin 2 x ln x ? 0 （見(jiàn) 2 中例 3） ? x ?0 lim y ? e ? 1 ? 特訓(xùn)題 15、 解 求 lim ? cos x ? x ?0 cot 2 x cot 2 x （前面已用重要公式的方法）. 2 令 y ? ? cos x ? x ?0 ， ln y ? cot x ln cos x lim ln y ? lim cot 2 x ln cos x ? lim x ?0 ln cos x

29、 ln cos x ? lim 2 x ?0 tan x x ?0 x2 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 0 ? tan x 1 ”型） lim ? ? ， lim y ? e 2 x ?0 x ?0 0 2x 2 1 x （ “ 1 1? ? 特訓(xùn)題 16、 求 lim ? sin ? cos ? . x ? x x? ? 解 1 1? 1 1? ? ? 令 y ? ? sin ? cos ? ， ln y ? x ln ? sin ? cos ? x

30、 x? x x? ? ? x 1 1? ? ln ? sin ? cos ? ln(sin t ? cos t ) x x? lim ln y ? lim ? ? lim x ? x ? t ?0 1 t x lim t ?0 cos t ? sin t ?1 sin t ? cos t lim y ? e x ? 特訓(xùn)題 17、 求極限 lim x ?0 1 sin x . ln x2 x 解： lim x ?0 1 sin x 1 ? sin x ? ln ? lim 2 ln ?1 ? ? 1? 2 x ?0 x x x x ? ? lim x ?0 sin x ? x cos x ?

31、1 sin x 1 ? lim ? ? lim ? 3 2 x ?0 x ?0 6 x x 3x 6 求 lim 特訓(xùn)題 18、 解 (1 ? cos 2 x) arctan 3x . x ?0 (e x ? 1) ln(1 ? 2 x)sin 5 x 用等價(jià)無(wú)窮小量代換 1 (2 x)2 ?(3x) 3 2 原式 lim ? x ? 0 x ? x )? x ) (2 (5 5 1 x . 特訓(xùn)題 19、 求 lim x ?0 (1 ? cos x) ln(1 ? x) 3sin x ? x 2 cos 0 ”型，但分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛必達(dá)法則. 0 1? ? s

32、in x 3 ? x cos ? ? x 1 x ?3 原式 lim ? ? x ?0 1 ? cos x ln(1 ? x) ? ? 2 x ? ? 1 sin x ? x ? x3 6 . 特訓(xùn)題 20、 求 lim 5 x ?0 x 解 這個(gè)極限雖是“ x3 x5 ? ? o( x 5 ) 解 sin x ? x ? 3! 5! （當(dāng) x ? 0 時(shí)） Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! x5 ? o( x 5 ) 1 1 原式 lim 5! 5 ?

33、? x ?0 x 5! 120 特訓(xùn)題 21、 設(shè) f ?( x0 ) ? 2 ，求 lim x ?0 f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ? 2?x) . ?x 解 原式 lim f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 )? ? ? f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 )? x x ?0 3 lim x ?0 f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2 lim ?x ?0 3?x ? ?2?x ? 3 f ?( x0 ) ? 2 f ?( x0 ) ? 5 f ?( x0 ) ? 10 特訓(xùn)題 22、

34、解 設(shè)曲線 y ? f ( x) 與 y ? sin x 在原點(diǎn)相切，求 lim nf ( ) . n ? 2 n 由題設(shè)可知 f (0) ? 0 ， f ?(0) ? (sin x)? x ?0 1 于是 2? f ? ? f ( 0 ) n ?2? l i m ? ? nf l ? m 2? i ? ? f? n ? n ? 2 ?n? ?0 n 設(shè) a ? 0 ， x1 ? b ? 0 ， x2 ? 2 ( 0 ) 2 特訓(xùn)題 23、 1? a? 1? a ? ? 求 lim xn . ? x1 ? ? ，? xn ? ? xn?1 ? 2? x1 ? 2? xn?1 ? n? 解 xn

35、 ? a xn?1 ? ? a ? 0 （算術(shù)平均值幾何平均值） xn?1 2 a ? xn 1? a ? xn ? ? ? xn ? ? 0 ，則 xn?1 ? xn ? 2? xn ? 2 xn 又 xn?1 ? xn ? 因此 ? xn ? 單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準(zhǔn)則 1， lim xn ? A n ? 存在 把 xn ? 1? a ? 1? a? ? xn?1 ? ? 兩邊取極限，得 A ? ? A ? ? 2? xn?1 ? 2? A? n ? A2 ? a ，A0，取 A ? a ，于是 lim xn ? a 特訓(xùn)題 24、 求下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限 sin 2 x ? x ?

36、 f ( x) ? ? 2 ? x ?1 ? cos x ? 解 x 0 sin 2 x sin 2 x ? lim 2 ?2 x ?0? x 2x f (0 ? 0) ? lim ? x ?0 f (0 ? 0) ? lim ? x ?0 x2 x2 ? lim ?2 1 ? cos x x?0? 1 x 2 2 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! lim f ( x) ? 2 x ?0 1 ? ? x ? 2 ? e ? sin x ? . 特訓(xùn)題 25

37、、 求 lim 4 x ?0 ? x ? ? 1? ex ? ? ? 1 ? ? 2 ? e x sin x ? ? lim ? ? 2 ?1 ? 1 4 ? x ? 0? ? ? 1 ? e x ( ? x) ? ? ? 解 3 ? ? ?4 ? 2e x ? e x sin x ? ? lim ? ? 0 ?1 ? 1 4 x ?0? ? x ? ? e? x ? 1 ? ? ? 1 ? ? x ? 2 ? e ? sin x ? ? 1 lim 4 x ?0 ? x ? ? 1? e x ? ? ? 特訓(xùn)題 26、 設(shè) lim x ?1 x 2 ? ax ? b ? 3 ，求 a 和 b

38、. sin( x 2 ? 1) 2 解 由題設(shè)可知 lim( x ? ax ? b) ? 0 ，1+a+b=0 x ?1 再對(duì)極限用洛必達(dá)法則 x 2 ? ax ? b 2x ? a 2?a lim ? lim ? ?3 x ?1 sin( x 2 ? 1) x ?1 2 x cos( x 2 ? 1) 2 特訓(xùn)題 27、 f ( x) 連續(xù)， lim x ?0 a ? 4, b ? ?5 1 ? cos(sin x ) (e x ? 1) f ( x) 2 1 ，則 f (0) ? ? 解： 1 2 1 2 1 sin x 1 分析： lim 2 2 ? 1, 則 lim 2 ? 1 ，由

39、f ( x) 連續(xù)，則 f (0) ? x ?0 x f ( x ) x ?0 f ( x ) 2 特訓(xùn)題 28、 討論函數(shù) 1 ?e x x ? 0 ? f ? x ? ? ?0x ? 0 ? 1 ? x sin x ? 0 x ? 在點(diǎn) x ? 0 處的連續(xù)性。 解 因 f ? 0 ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim e x ? 0 ? ? 1 x ?0 x ?0 f ? 0 ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim x sin ? ? x ?0 x ?0 1 ?0 x f ? 0? ? 0 Generated by Unregistered Batch DOC

40、TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 即有 f ? 0 ? 0 ? ? f ? 0 ? 0 ? ? f ? 0? ，故 f ? x ? 在點(diǎn) x ? 0 連續(xù). 特訓(xùn)題 29、 討論函數(shù) ln(1- x) ? ? x 0 ? ? x ? 在點(diǎn) x ? 0 的連續(xù)性. 解 1 ln(1 ? x) ? lim ln(1 ? x) x ? ?1 x ?0? x f ? 0 ? 0 ? ? lim ? x ?0 f ? 0 ? 0 ? ? lim ? x ?0 1 ? x ?1 1 1 ? lim ? ? x ?0 x 1? x ?1 2

41、 x ?0 因 f ? 0 ? 0 ? ? f ? 0 ? 0 ? ，因而 lim f ? x ? 不存在，故 f ? x ? 在點(diǎn) x ? 0 不連續(xù). sin x ? ? x 1 0 特訓(xùn)題 30、 設(shè) f ( x) = ? x 在 x = 0 處連續(xù)，求常數(shù) k. ? ? k x = 0 ? ? 解 lim f ? x ? ? lim x ?0 x ?0 sin x ?1 x f ? 0 ? ? k ，由連續(xù)性可知 特訓(xùn)題 31、求函數(shù) f ( x) ? 解 3 k ?1 x ?1 的間斷點(diǎn)，并確定其類型. x ?1 顯然 x ? 1 是間斷點(diǎn)，由于 3 lim x ?1 x ?1 li

42、m x ?1 x ?1 1 3 3 x ?1 1 3 x ?1 3 x2 ? 3 x ? 1 lim x ?1 3 x2 ? 3 x ? 1 所以 x ? 1 是 f ? x ? 的可去間斷點(diǎn). 特訓(xùn)題 32、 求函數(shù) f ( x) ? x2 ? 2 x 的間斷點(diǎn)，并確定其類型. x ? x2 ? 4? 解 所給函數(shù)在點(diǎn) x ? 0 ，-2，2 沒(méi)有定義，因此 x ? 0 ，-2，2 是所給函數(shù)的間斷點(diǎn).下面確定它們的類型. 對(duì)于 x ? 0 ，由于 f (0 ? 0) ? lim ? x ?0 x( x ? 2) 1 x( x ? 2) 1 ? ? ， f (0 ? 0) ? lim ? ?

43、 x ?0 x( x ? 2)( x ? 2) ? x( x ? 2)( x ? 2) 2 2 故 x ? 0 是第一類間斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn). 對(duì)于 x ? ?2 ，由于 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! f (?2 ? 0) ? f (?2 ? 0) ? lim x ?2 x( x ? 2) ? x ( x ? 2)( x ? 2) 故 x ? ?2 是第二類間斷點(diǎn)，且為無(wú)窮間斷點(diǎn). 對(duì)于 x ? 2 ，由于 f (2 ? 0) ? f (2 ? 0)

44、 ? lim ? x ?2 x( x ? 2) 1 ? x( x ? 2)( x ? 2) 4 1 ，則 f ? x ? 在 x ? 2 連續(xù). 4 故 x ? 2 是第一類間斷點(diǎn)，且為可去間斷點(diǎn).若補(bǔ)充定義 f (2) ? 特訓(xùn)題 33、 設(shè) f ( x) 在 (?, ?) 內(nèi)有定義，且 lim f ( x) ? a x? ?1? x?0 ?f g ( x) ? ? ? x ? ? ? ?0 x?0 ? 則下列結(jié)論中正確的是（ ） (A) x ? 0 必是 g ( x) 的第一類間斷點(diǎn) (B) x ? 0 必是 g ( x) 的第二類間斷點(diǎn) (C) x ? 0 必是 g ( x) 的連續(xù)點(diǎn)

45、(D) g ( x) 在 x ? 0 處的連續(xù)性與 a 的取值有關(guān) 解 1? lim g ( x) ? lim f ? ? ? lim f (t ) ? a x?0 x?0 ? x ? t ? a ? 0 時(shí) x ? 0 是 g ( x) 的連續(xù)點(diǎn)， a ? 0 時(shí)， x ? 0 是 g ( x) 的可去間斷點(diǎn)故選 D. 特訓(xùn)題 34、 求 lim arctan ? x?0 sin x ? ?. ? x ? 解 因 lim sin x ? 1 ，而函數(shù) y ? arctan u 在點(diǎn) u ? 1 連續(xù)，所以 x ?0 x sin x ? ? ? sin x ? ? lim arctan ? ?

46、arctan ? lim ? ? arctan1 ? x?0 4 ? x ? ? x?0 x ? 特訓(xùn)題 35、 設(shè) f ( x) 在 x=2 處連續(xù)，且 f (2) ? 3 ，求 lim f ( x) ? x ?2 4 ? ? 1 . ? 2 ? x ? 2 x ? 4? ? 解 由于 f ( x) 在 x=2 處連續(xù)，且 f (2) ? 3 ，所以 lim f ( x) ? 3 x?2 則 lim f ( x) ? x?2 4 ? ( x ? 2) ? 4 1 ? 1 ? 2 = lim f ( x) ? lim f ( x)? x?2 x?2 x2 ? 4 ? x ? 2 x ? 4 ?

47、 x?2 ? 1 3 ? x ?2 x ? 2 4 lim f ( x)?lim x ?2 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register! 特訓(xùn)題 36、 證 設(shè) f ( x) 在 a，b 上連續(xù)，且 f (a) ? a ， f (b) ? b ，證明： f ( x) ? x 在 (a，b) 內(nèi)至少有一個(gè)根. 令 g ( x) ? f ( x) ? x ，可知 g ( x) 在 a，b 上連續(xù)， g (a) ? f (a) ? a ? 0 g (b) ? f (b) ?

48、 b ? 0 由介值定理的推論，可知 g ( x) 在 (a，b) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即 f ( x) ? x 在 (a，b) 內(nèi)至少有一個(gè)根. 特訓(xùn)題 37、 證 求證：方程 e x ? e? x ? 4 ? cos x 在 (?, ?) 內(nèi)恰有兩個(gè)根. 令 f ( x) ? e x ? e? x ? cos x ? 4 ，它是偶函數(shù)，所以只需討論 f ( x) 在 (0, ?) 內(nèi)恰有一個(gè)根. f (0) ? ?3 ? 0 ， f (2) ? e2 ? e?2 ? cos 2 ? 4 ? 0 f ( x) 在 ? 0, 2? 上連續(xù)，根據(jù)介值定理推論，至少有一個(gè) ? ? (0, 2) ，使

49、 f (? ) ? 0 . 又因?yàn)?f ?( x) ? e ? e x ?x sin x ? 0 ? x ? 0? ，所以 f ( x) 在 (0, ?) 內(nèi)單調(diào)增加，因此， f ( x) 在 (0, ?) 內(nèi)最多只有一 個(gè)零點(diǎn)，于是 f ( x) 在 (0, ?) 內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，由偶函數(shù)的對(duì)稱性， f ( x) 在 (?, ?) 內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，也即所給方程 在 (?, ?) 內(nèi)恰有兩個(gè)根. 特訓(xùn)題 38、 解 設(shè) f ? x ? ? ? x ? a ? g ? x ? ，其中 g ? x ? 在點(diǎn) a 處連續(xù)，求 f ? ? a ? 。 沒(méi)有假設(shè) g ? x ? 可導(dǎo)，所以不能用導(dǎo)數(shù)的乘法公式，我們就用導(dǎo)數(shù)的定義f ? ? a ? ? lim x ?a f ? x? ? f ?a? ? x ? a? g ? x? ? 0 ? lim x ?a x?a x?a = l i gmx ? ? g ? a ? 。 ? x ?a 特訓(xùn)題 39、 解： y ? x ? 1. 曲線 sin ? xy ? ? ln ? y ? x ? ? x 在點(diǎn) ? 0,1? 處的切線方程為 ? . 1 ?1 Fx y?x 分析：設(shè)