1、第十七屆(2006年)“希望杯”全國數學邀請賽培訓題高中一年級一 選擇題以下各題的四個選項客觀化中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號內。1已知全集U=R，N為自然數集，A=|3|2，B=|670，那么集合A()N的元素個數有()(A)4(B)5(C)6(D)無窮多個。2若+=1，則角的終邊在()(A)I或III象限(B)II或IV象限(C)或軸上(D)II或III象限3是等差數列，的前項和為，若，則=()(A)0(B)(C)2(D)44若0，1，則()(A)是奇函數，是奇函數(B)是偶函數，是偶函數(C)是奇函數，是偶函數(D)是偶函數，是奇函數7設、(0，)，

2、且，則的大小順序是()(A)(B)(B)(D)與有關。8某校6名同學參加市數學競賽，共獲1個一等獎，5個二等獎，其中有4位老師A、B、C、D對這6名同學的獲獎情況猜測如下：A：3號同學不可能獲一等獎；B：4、5、6號都不可能獲一等獎；C：獲一等獎的應是1號或2號同學；D：獲一等獎的應是4、5、6號同學中的1個。實際結果表明，4位老師中恰有1人猜對了，那么獲一等獎的學生是()(A)1號同學(B)3號同學(C)5號同學(D)6號同學9下面四個不等式中，正確的是()(A)(B) (C) (D) 10設(，)，則()(A)1(B)1(C)1(D)111若集合A=|60，且AB=B，則實數的范圍是()(

3、A)(B) (C) (D) 12Let function and .If the graphs of and have at least one common point in the interval (0,), then the range of is ()(A)1(B)1(C)2(D)2的解集為R，則實數的范圍為()(A)0(B)1(C)1(D)5(B)2(C)2420定義在R上的減函數，對于任意R，都有，若+0且1)的定義域為_。24不等式|5|6的解集是_。25不等式的解集是_。26函數的單調遞增區(qū)間是_。27已知為等差數列，的前項和為，若，則=_，=_。28數列的前項和為，當最大時

4、，=_。(20.3010)29第1列第2列第3列第4列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 28 26按照上面的排列規(guī)律，實數2006位于第_行，第_列。30函數，定義，的反函數為，若，則=_。31已知(其中，為常數，且0)，如果，那么的值為_。32已知=是定義在R上的單調遞增函數，先將它的圖象向右平移1個單位，再向下平移3個單位得到圖象所對應的函數為=，再將=圖象上的每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的3倍得到的圖象對應的函數為，那么圖象關于直線=對稱的圖象所對應的函數表達式為=_。33若(，2)，且+=，則2=_。34對于任意實數，不等式恒成

5、立，則的取值范圍是_。35若，則的表達式為_。36數列1，2,3，2,3，4,5，3,4，5,6，7,4，5,6，7,8，9，的第2006項是_；該數列中的項是2008的共有_項。37設，且，則=_。38若(0，)，則函數=23的值域是_。39函數的最大值是_。40若函數=對于一切實數，都滿足，且=8，則=_。41若數列的首項為=1，前項和為，且對于任意的，2,34，2成等差數列，則=_。42The general term formulas of seguence , and are =32,=41 and =53 respectively,the sequence consisting o

6、f their common terms arranged in magnitude increasing order is denoted by ,then =_。(英漢詞典：general term 通項；formula 公式；respectively 分別地；sequence 數列；to consist of 由組成；common term 公共項；to arrange 安排、排列；magnitude increasing 依大小增加的、從小到大的；order 次序、順序；to denote 表示、記為)43設，其中，是常數，當=時，取得最小值，則=_。441+(1+)+(1+)+(1+

7、)(1)等于_。45已知，都是1至9中的數碼，數，成等比數列，則由，這三個數碼組成的三位數是=_。46In a bag there are three kinds of balls on which digits 2,3 and 5 are put respectively, Xiao Ming is required to pick out 12 balls from the bag in a random way such that the sum of digits of these 12 balls is 43,then the greatest number of the balls

8、 with the digit 2 picked out is _.(英漢詞典：digit 數字；be required 被要求；to pick out 取出；random 隨機地、隨意的)47若=1(mod2)(表示是一個正整數，且被2除余1，以下同)，=3(mod5),=7(mod9),則最小的為_。48若二次函數，且|1，|1，則|的最大值為_。49某公司在2006年1月1日向銀行貸款元，月利率為，()個月內還清，在貸款后的每月1日(包括2006年1月1日)還一次款，共還次，且各次還款額相等，還要求還清貸款后結余元，則每一次的還款額為_；若是“在貸款后的每月月底還一次款”(其余不變)，則

9、每一次的還款額為_。50的最小值是_。51函數的值域為_。52若數列是等差數列，首項0，、是方程 ()的兩根，則使數列前項和0成立的最大正整數=_。53在不等邊ABC中，若成等差數列，并設A、B、C角的對邊長分別為、，則方程()+()+()=0的根為_。54若，那么=_。55設，如，是求和記號，如，1,2，3，則那么(其中，2,1,1，2,3)=_。56在邊長為1的正方形中，在每邊的三分之一處向圖形外作正方形(如圖)，如此下去：設第一個圖形的周長為，第二個圖形的周長為，第個圖形的周長為，則=_。57已知，則2=_。58若為奇函數，那么當2，3時，的取值范圍是_。59設，則的值為_。60若實數，

10、滿足方程，則的取值范圍是_。61若ABC中，三邊的長、的倒數居等差數列，則B的范圍是_。62函數=的值域為_。63.63能表示為連續(xù)的正整數之和(如31+32=63)，則63能表示的連續(xù)正整數之和的種數為_。64若是正整數，則使得關于的不等式，有唯一解的的最大值是_，此時不等式的整數解為=_。65若函數的定義域為R，且對于的任意值都有，則函數的周期為_。66當=_時，函數取得最大值_。67平面上有10條拋物線兩兩相交，最多可以把平面分成_部分。68在數列中，=1，=2，且(，且2)，則=_。69數列2006,20062006,2006200062006，的通項公式為_。70在數列中，=1，=5

11、，且，則數列通項公式為=_。71若不等式的解集為|0|，則的最小值為_。72滿足的正整數，分別為_。73若、是三個互不相等的正數，且滿足2+=0，則、的大小關系為_。74已知等比數列，的和為定值(0)，且其公比0的解，則的取值范圍是_。三 解答題76設(1)(1)求；(2)求方程=的解集。77對任意集合M、N，定義MN=|M且MN。設區(qū)間A=(，)，B=(，)，其中、滿足，求AB。78設數列滿足=1，其中為實常數。記=+1，()(1) 若是等比數列，求的值；(2) 試求和的通項公式；(3) 試求的通項公式。79已知函數，數列的前項和=62+。試求數列的通項公式與前項和。80正實數，滿足不等式(

12、其中為銳角)試確定的范圍。答案與提示一 選擇題BCACACDBBBDCCBDCCBAC2，則的終邊一定在坐標軸上，又+=1，故的終邊一定在軸的非正半軸或軸的非正半軸上。3，則則=0 O+另解：是關于的二次函數，且常數項為0，如右圖，可知=0。另解：=0。4由條件知，333，2225325而3232=532。另解：考慮直線：=32，滿足條件的(，)的點所在陰影區(qū)域，則線性規(guī)劃求解。5由條件可知，為偶數，分別考慮=2,4，6時正整數解的組數為6,3，0。8因為只有1位老師猜對，而B、D的猜測互為否定，所以猜對者必是B、D中的1 人。假設D猜對了，則A也猜對了，這與只有1人猜對矛盾，于是B猜對了，從

13、而A猜錯了，即獲一等獎的學生是3號同學。9，排除(C)(D)，同理，排除(A)12令=，則有=即(0，)，01+2，等號當且僅當即=時成立。13由條件知1，故0211，故定義域為0,1則。14由條件知函數是以4為周期的周期函數。做出圖象可知。15由已知得，令，則則數列是以6為周期的周期數列。2006=3346+2，。16，令=，則當=0時=1，=1滿足條件當0時，由0得31010解得由Z知。則=0，1,2，3，分別代入檢驗。17除用常規(guī)判斷外也可取特殊值判斷。考慮=0時各函數值。18|+86|+|14|100，(|+86|+|14|)2，則2，當=1時的取最大值5。520由條件有即，+2，即0

14、和1時，；當06或5026(，+)，。提示：|的周期為。當0，時，|=在0，上單調遞增。而=在0上單調遞增，故在(0，上單調遞增，再由復合函數的單調性及|的周期性可得。27=62，=3。提示：由已知可得=4，=628最大。提示：。是遞減等差數列。令0得，故19時0，20時0。29251,3。提示：每8個數字看作一組。2000=12582。故2000在第125組數的最后一個，即2000為第250行的第一個數，可知2006位于第251行第3列。30.8提示：。，同樣可求出，可歸納出，由=(，同號)解得，故，再由條件代入可求出=8。315提示：易知是以2為周期的周期函數。故。令，則是奇函數。，而32

15、。提示：由已知存在反函數，易知，所求函數與的圖象關于=對稱，故所求函數圖象上點(，)滿足，從而得。33。提示：由+1知不在三象限，在第四象限，且|，則，從而32，則20。因為，所以故當=時，取最小值。另解：設，則，再利用三角或解幾(斜率)。512,0，2524012提示：，又0故，。53=1。提示：，將，其中(為內切圓半徑)，代入得=，=(-)+()=2()，代入方程化為2+1=0。54.0提示：，。55.56提示：一一寫出(25個加數)?；蛴昧斜恚?21123和24 4232 14 06 1612 31 21 02 13 2612 11 01 22 33 4824 02 12 34 46 5

16、1436 13 23 46 59 622和66814225656.8。提示：，571或1。提示：令+=(|)，則，從而。由即得解得=或=或=(舍去)，再由得。58。提示：由，是奇函數得即，得=，則，它是單調遞增函數。59。提示：，于是解得|再由0得。60。提示：由已知可知0，設=，=代入方程得，則，其中，再由|(2+)|1可得。610B。提示：。由已知，。6222，4。提示：由40得04。又 (*)，。故函數的圖象在線段=(04)的下方。，且點(0,0)，(4,4)在上述線段=(04)上，故函數的最大值為4。將(*)兩邊平方整理得2(2+4)+=0，此方程在0,4內有實根，0解得222+2。從

17、而結合4得。另解 ，令2=2，0，轉化為三角函數解。635提示：連續(xù)的正整數是以公差為1的等差數列。設滿足條件的數列的首項為，項數為，則。(2+1)=27(2)。當=2時，=31,63=31+32；當=3時=20,63=20+21+22；當=6時=8,63=8+9+10+11+12+13，當=7時，=6,63=6+7+8+9+10+11+12；當=9時=3，63=3+4+5+6+7+8+9+10+11。當=14,18,21,42,63時，均有0。64220,199。提示：。要使(99，100)內只有一個110的整數倍，即。由得11011099 +得220。當=220時，992201101002

18、20，得198200，得=199。656。提示：由已知有，兩式相加得=0從而66，10。提示：設，則。當34=0即3=4時。100，得010。67191。提示：設條拋物線最多可將平面分為部分。為使+1條拋物線分割的平面區(qū)域數目盡可能的大，應使第+1條拋物線與前面的條拋物線中的每一條都有4個交點，則第+1條被這4個點分割成4+1段弧，每一段弧對應一個新增加的區(qū)域，從而有。則=41+2+4(1)+2=2+1，故=210010+1=191。68。提示：由得即數列是首項為1，公比為1的等比數列，則。69。提示：=2006，則。另解：=70。提示：由已知得71。提示：原不等式兩邊同除以得。0，又由題意知=0，得，于是?；癁?，則，。72。提示：若是偶數，(1)為奇數時，是奇數，是奇數，+1413是偶數，矛盾。(2)是偶數時，是偶數，是偶數，+1413是奇數，矛盾。故是奇數。又，1413，則=1或3，但=1時，矛盾，當=3時，則有或=14(舍去)73。提示：。，又從而有74，0) 。提示：。0，所以，即0，則A=|(1)()0。(1)當1時，A=1，則已知AB，從而B，即10，1與1矛盾。（2）1時，A，1，所以=+10在，1上恒成立，但圖象的對稱軸為=。當時，由得0即0時最小，由 解得221)為增函數于是=(