1、恒成立問題中含參范圍的求解策略數(shù)學中含參數(shù)的恒成立問題，幾乎覆蓋了函數(shù)，不等式、三角，數(shù)列、幾何等高中數(shù)學的所有知識點，涉及到一些重要的數(shù)學思想方法，歸納總結(jié)這類問題的求解策略，不但可以讓學生形成良好的數(shù)學思想，而且對提高學生分析問題和解決問題的能力是很有幫助的，下面就幾種常見的求解策略總結(jié)如下，供大家參考。一、分離參數(shù)最值化1 在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數(shù)，即：af(x)恒成立,只須求出f(x)max ,則af(x)max ;若af(x)恒成立, 只須求出f(x)min ,則af(x)min轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.例1 已知函數(shù)f(x)=ln(x+ax-2) ,若任意x2 ,+)

2、恒有f(x)0,試確定a的取值范圍.解:根據(jù)題意得,x+ax21在x2 ,+)上恒成立,即ax2+3x在x2 ,+)上恒成立.設(shè)f(x)=-x2+3x .則f(x)=(x-32)2+94 ,當x=2時, f(x)max=2 ,所以a22在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數(shù)，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即:若f(a)g(x)恒成立,只須求出g(x)最大值 ,則f(a)g(x)max .然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍; :若f(a)g(x)恒成立,只須求出g(x)最小值 ,則f(a)g(x)min .然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍.問題還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.例2 已知x(

3、,1時,不等式1+2x+(aa2)4x0恒成立,求a的取值范圍.解 令 2x=t ,x( ,1 t(0 ,2.所以原不等式可化為a2-at+1t2 ,要使上式在t(0 ,2上恒成立,只須求出f(t)= t+1t2在t(0 ,2上的最小值即可.f(t)= t+1t2=(1t)2+1t=(1t+12)214 又t(0 ,2 1t12 ,+) f(x)min=f(2)=34 a2-a34 , 12a32例3 設(shè)且恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。 解析：由于，所以，于是恒成立，因 （當且僅當時取等號），故。二、數(shù)形結(jié)合直觀化對于某些不容易分離出參數(shù)的恒成立問題，可利用函數(shù)的圖像或相應圖形，采用數(shù)形結(jié)合的思

4、想，直觀地反應出參數(shù)的變化范圍。例4 設(shè)，對于任意正整數(shù)k，直線與恒有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍。 解析：作出在區(qū)間上的圖像，由圖像知，直線只能繞原點O從x正半軸旋轉(zhuǎn)到過點的范圍，直線AO的斜率為于是實數(shù)a的取值范圍是xyo12y1=(x-1)2y2=logax例5、當x(1,2)時，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y11,并且必須也只需當x=2時y2

5、的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21,a1,12p+x恒成立的x的取值范圍.分析:在不等式出現(xiàn)了兩個字母x及p,關(guān)鍵在于把哪個字母看成一個變量.另一個作為常數(shù).顯然可將p視作自變量,則上述問題可轉(zhuǎn)化為在-2 ,2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立問題.解:原不等式可化為(x1)p+x22x+10 .設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則 f(p)在2 ,2 上恒大于0,故有f(-2)0f(2)0 即x2-4x+30x2-10 解得x3或x1或x-1 例8對于，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。 解析：不等式不等式即對于恒成立。 記，則問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）在區(qū)間1，1內(nèi)恒為正

6、的x應滿足的條件。 由得 或 故實數(shù)x的取值范圍是 恒成立問題中含參范圍的求解策略較多，但主要有以上三種常見方法，其實質(zhì)是一種等價轉(zhuǎn)化的思想，可見，只要我們在解題中善于歸納和總結(jié)，就一定會積累更多的經(jīng)驗和方法，從而更好地提高我們的解題能力。四、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1對恒成立; 2對恒成立 例9已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例10設(shè)，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當時，恒成立當時

7、，顯然成立；Oxyx-1當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。五、分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例3、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為當時，的最小值非負。（1） 當即：時， 又所以不存在；（2） 當即：時， 又 （3） 當 即：時， 又綜上所得：六、利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：，則且，不等式的解即為實數(shù)的取值范圍。例5、當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1） 當時，則問題轉(zhuǎn)化為 （2）

8、當時，則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或易混題、能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.例1、已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍_（答：）例2、若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是 第二個填空是不等式能成立的問題. 設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或例3、已知函數(shù)，. 若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； 分析及解只研究第（I）問.，則因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.由題設(shè)可知,的定義域是 ,而在上有解,就等價于在區(qū)間能成立,即, 成立, 進而等價于成立,其中.由得,.于是,由

9、題設(shè),所以a的取值范圍是例4、不等式有解，求的取值范圍。解：不等式有解有解有解，所以。例5、對于不等式，存在實數(shù)，使此不等式成立的實數(shù)的集合是；對于任意，使此不等式恒成立的實數(shù)的集合為，求集合解：由又有解，所以令恒成立所以、恰好成立例6、已知當?shù)闹涤蚴?試求實數(shù)的值.（最值法）.第(問是一個恰成立問題,這相當于的解集是.當時,由于時, ,與其值域是矛盾,當時, 是上的增函數(shù),所以,的最小值為,令,即例7、已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實數(shù)。（1）對任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范圍；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)

10、成立，求k的取值范圍；（3）對任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范圍。解析：（最值法）（1）設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，問題轉(zhuǎn)化為x-3，3時，h(x)0恒成立，故h(x)0.令h (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h(x)=-45+k，由k-450，得k45.（2）據(jù)題意：存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，即為：h(x)=g(x)-f(x)0在x-3，3有解，故h(x)0，由（1）知h（x）=k+7，于是得k-7。（3）它與（1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對任意x1，x2-3，3，都有f（x1)g(x2)成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1，x2的取值在-3，3上具有任意性，因而要使原