1、絕密啟用前樂學(xué)教育菱形證明專題訓(xùn)練1. 已知:如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,E,F為對角線AC上兩點,且AE=CF,DFBE,AC平分BAD.求證:四邊形ABCD為菱形.【答案】ABCD,BAE=DCF.DFBE,BEF=DFE,AEB=CFD.又AE=CF,AEBCFD,AB=CD.ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形.AC平分BAD,BAE=DAF.又BAE=DCF,DAF=DCF,AD=CD,四邊形ABCD是菱形.2. 如圖，矩形ABCD中，點O為AC的中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)，連接BF交AC于點M，連接DE，BO.若COB=60，F(xiàn)O=FC.求證:(1)四邊

2、形EBFD是菱形;【答案】連接OD.點O為矩形ABCD的對角線AC的中點，B,D,O三點共線且BD=DO=CO=AO.在矩形ABCD中，ABDC，AB=DC，F(xiàn)CO=EAO.在CFO和AEO中，CFOAEO，F(xiàn)O=EO.又BO=DO，四邊形BEFD是平行四邊形.BO=CO，COB=60，COB是等邊三角形.OCB=60.FCO=DCB-OCB=30.FO=FC，F(xiàn)OC=FCO=30.FOB=FOC+COB=90.EFBD.平行四邊形EBFD是菱形.(2)MBOE=32.【答案】BO=BC，點B在線段OC的垂直平分線上.FO=FC，點F在線段OC的垂直平分線上.BF是線段OC的垂直平分線.FMO

3、=OMB=90.OBM=30.OF=BF.FOC=30，F(xiàn)M=OF.BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即FO=EO，BMOE=32.3. 如圖,在ABC中,ABC=90,BD為AC邊上的中線,過點C作CEBD于點E,過點A作BD的平行線,交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG,DF.求證:四邊形BGFD是菱形.【答案】FGBD,BD=FG,四邊形BGFD是平行四邊形.CFBD,AGBD,CFAG.又ABC=90,點D是AC的中點,BD=DF=AC,平行四邊形BGFD是菱形.4. 如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,DEAC,CEBD,連接OE.求證:OE=BC.【

4、答案】DEAC,CEBD,四邊形OCED是平行四邊形.四邊形ABCD是菱形,ACBD,OB=OD,BOC=COD=90,四邊形OCED是矩形,ODE=90,OB=OD,BOC=ODE=90,BC=,OE=,DE=OC.OE=BC.5. 2015蘭州中考,25(9分)如圖,四邊形ABCD中,ABCD,ABCD,BD=AC.(1)求證:AD=BC;【答案】作BMAC,BM交DC的延長線于點M,則ACD=BMD.1分ABCD,BMAC,四邊形ABMC為平行四邊形.2分AC=BM.BD=AC,BM=BD.BDM=BMD.BDC=ACD.在BDC和ACD中,BDCACD.4分BC=AD.5分(2)若E,

5、F,G,H分別是AB,CD,AC,BD的中點.求證:線段EF與線段GH互相垂直平分.【答案】連接EG,GF,FH,HE.6分E,H為AB,BD的中點,EH=AD.同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.BC=AD,EG=FG=FH=EH.8分四邊形EGFH為菱形,EF與GH互相垂直平分.9分6. 2015長春中考,18(7分)如圖,CE是ABC外角ACD的平分線,AFCD交CE于點F,FGAC交CD于點G,求證:四邊形ACGF是菱形.【答案】因為AFCD,FGAC,所以四邊形ACGF是平行四邊形,又因為ACE=ECG,ECG=AFC,所以ACE=AFC,所以AC=AF,由得四邊形ACGF是菱形

6、.7. 2010上海中考，23已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD(如圖所示)，BAD的平分線AE交BC于點E，連結(jié)DE.(1)在圖中，用尺規(guī)作BAD的平分線AE(保留作圖痕跡，不寫作法)，并證明四邊形ABED是菱形；【答案】BAEDAE，DAEBEA，BAEBEA，ABBEAD，ADBE，四邊形ABED的平行四邊形，又ABAD，四邊形ABED為菱形(2)ABC60，EC2BE，求證：EDDC.【答案】過D作DFAE，則DFCF1，C30，而DEC60，EDC90，EDDC.8. 2010沈陽中考，19如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于O，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，連接EF，

7、OE，OF，求證：四邊形AEOF是菱形.【答案】點E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點AEAB，AFAD(2分)又四邊形ABCD是菱形ABADAEAF(4分)又菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點OO為BD的中點OE，OF是ABD的中位線(6分)OEAD，OFAB四邊形AEOF是平行四邊形(8分)AEAF四邊形AEOF是菱形(10分)9. 2010安徽中考，20如圖，ADFE，點B,C在AD上，12，BFBC.(1)求證：四邊形BCEF是菱形；【答案】ADFE，F(xiàn)EB2.12，F(xiàn)EB1.BFEFBFBC，BCEF.四邊形BCEF是平行四邊形BFBC，四邊形BCEF是菱形(5分)(2)若ABBCCD，

8、求證：ACFBDE.【答案】EFBC，ABBCCD，ADFE，四邊形ABEF、四邊形CDEF均為平行四邊形，AFBE，F(xiàn)CED.(8分)又AC2BCBD，(9分)ACFBDE.(10分)10. 2013長沙中考，24如圖，在ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，AND90，連接CM交DN于點O.(1)求證：ABNCDM；【答案】ABNCDM，ABCD，BNBCADDM，ABNCDM(SAS).(2)過點C作CEMN于點E，交DN于點P，若PE1，12，求AN的長.【答案】M，O分別為AD，ND的中點，ANMO且AN2MO，MODAND90，即平行四邊形CDMN是菱形，在RtMOD與RtNE

9、C中，12，MDNC，RtMODRtNEC，MONE.根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，MNDCND，1CND，所以MNDCND230，所以在RtENP中NEPEtan30，即AN2.11. 如圖,在ABC中,A=90,AHBC于點H,B的平分線交AC于點D,交AH于點E,DFBC于點F,求證:四邊形AEFD是菱形.【答案】ABD=FBD,BD=BD,BAD=DFB=90,ABDFBD,AD=DF,AB=FB.又ABE=FBE,BE=BE,ABEFBE.BAE=BFE.又BAE=90-ABC=C,BFE=C,EFAD.DFBC,AHBC,AEDF.四邊形AEFD是平行四邊形.又AD=DF,四邊形AEFD是菱

10、形.12. 2012南寧中考,25如圖,已知矩形紙片ABCD,AD2,AB4,將紙片折疊,使頂點A與邊CD上的點E重合,折痕FG分別與AB,CD交于點G,F,AE與FG交于點O.圖1圖2(1)如圖1,求證：A,G,E,F四點圍成的四邊形是菱形；【答案】證法一：證明：在矩形ABCD中,CDAB13(1分)由折疊可知：AGEG,1223EFEG(2分)EFAG四邊形AGEF是菱形(3分)證法二：證明：連接AF,由折疊可知OAOE,AGEG(1分)在矩形ABCD中,ABCDAEFEAGAOGEOFAOGEOF(ASA)(2分)AGEF四邊形AGEF是菱形(3分)(2)如圖2,當(dāng)AED的外接圓與BC相

11、切于點N時,求證,點N是線段BC的中點；【答案】證明：連接ON,O是RtADE外接圓圓心.O與BC相切于點NONBC(4分)在矩形ABCD中,DCBC,ABBCCDONAB(5分)OAOECNNB即N為BC的中點(6分)(3)如圖2,在第2問的條件下,求折痕FG的長.【答案】解法一：過點O作OMAB于點M,則四邊形OMBN是矩形設(shè)O半徑為x,則OAOEONx(7分)AB4,AD2AM4x由第2問得,NBOM1在RtAOM中,OA2AM2OM2x2(4x)212x(8分)AM4FEOOAM又FOEOMA90RtEFORtAOM(9分)OFFG2OF(10分)解法二：延長NO交AD于點M四邊形AB

12、NM是矩形AMBNAD1O為RtADE外接圓圓心OAOEON設(shè)ON為x,則OM4x(7分)在RtAMO中,AM2OM2OA2即12(4x)2x2x(8分)OM4FGAE,MNDCFEOMOAAMOEOF90EOFOMA(9分)OFFG2OF(10分)13. 2013葫蘆島中考,20(本小題滿分8分)如圖,四邊形ABCD中,ADBC,BAAD,BC=DC,BECD于點E.(1)求證:ABDEBD;【答案】如圖,ADBC,1=DBC.BC=DC,2=DBC.1=2.2分又BAD=BED=90,BD=BD,ABDEBD.4分(2)過點E作EFDA,交BD于點F,連接AF.求證:四邊形AFED是菱形.

13、【答案】由第1問得,AD=ED,1=2.EFDA,1=3,2=3.EF=ED.5分EF=AD.6分四邊形AFED是平行四邊形.又AD=ED.四邊形AFED是菱形.8分14. 2013貴陽中考，20已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為BC上的任意一點，連接AF交對角線BD于點E，連接EC.(1)求證：AEEC；【答案】證明：連接AC.BD是菱形ABCD的對角線，BD垂直平分AC.AEEC.(2)當(dāng)ABC60，CEF60時，點F在線段BC上的什么位置？說明理由.【答案】點F是線段BC的中點.理由：菱形ABCD中，ABBC，又ABC60.ABC是等邊三角形，BAC60.AEEC，CEF60，EAC30

14、.AF是ABC的角平分線.AF交BC于點F，AF是ABC的BC邊上的中線.點F是線段BC的中點.15. 2012上海中考,23已知：如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,BAFDAE,AE與BD交于點G.(1)求證：BEDF；【答案】四邊形ABCD為菱形,ABADBCCD,ABDADBCBDCDB,ABEADFBAFDAE,且BAFBAEEAF,DAEDAFEAFBAEDAF.ABEADF(ASA).BEDF.(2)當(dāng)時,求證：四邊形BEFG是平行四邊形.【答案】在菱形ABCD中,ADBC,DAEBEA,ADBEBD.AGDEGB.又,BEDF,GFBE.DGFDBC.DBCC

15、DB,DGFGDF,GFDF,BEGF.BEGF,四邊形BEFG是平行四邊形.16. 2013烏魯木齊中考,19如圖,在ABC中,ACB90,CDAB于D,AE平分BAC,分別與BC,CD交于E,F,EHAB于H,連接FH.求證：四邊形CFHE是菱形.【答案】AE平分BAC,CAEEAH,而ACB90,CDAB,CEACAEAFDEAH90,又APDCFE,CFECEF,CFCE.又AE平分BAC,ACB90.EHAB,CEEH,CFEHCE,CDAB,EHAB,CFEH,四邊形CFHE是菱形.17. 如圖所示,在菱形ABCD中,CEAB于點E,CFAD于點F,求證:AE=AF.【答案】證法1

16、：如圖所示,連接AC,四邊形ABCD是菱形,AC平分BAD,即BAC=DAC.在ACE和ACF中,AEC=AFC=90,BAC=DAC,AC=AC,ACEACF(AAS),AE=AF.證法2：四邊形ABCD是菱形,BC=DC=AD=AB,B=D.又在BCE和DCF中,BEC=DFC=90,BCEDCF(AAS),BE=DF,AE=AF.18. 2013南寧中考，23如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，點E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點.(1)求證：ABECDF；【答案】在菱形ABCD中，ABBCCDDA(或ABCD，BCDA).BD.點E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點，BEDF.ABECDF.(

17、2)若B60，AB4，求線段AE的長.【答案】解法一：ABBC，B60，ABC是等邊三角形.點E是BC邊的中點.AEBC.在RtABE中，sinB.AEABsinB4.解法二：ABBC，B60，ABC是等邊三角形.點E是BC邊的中點，AEBC.BAE30.在RtABE中，BEAB2.AE.19. 2012溫州中考,19(本題8分)如圖,ABC中,B90,AB6cm,BC8cm,將ABC沿射線BC方向平移10cm,得到DEF,A,B,C的對應(yīng)點分別是D,E,F,連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形.【答案】法一：B90,AB6cm,BC8cm.AC10cm.由平移變換的性質(zhì)得CFAD10cm,D

18、FAC,ADCFACDF,四邊形ACFD是菱形.法二：由平移變換的性質(zhì)得ADCF,ADCF10cm,四邊形ACFD是平行四邊形,B90,AB6cm,BC8cm,AC10cm,ACCF,ACFD是菱形.20. 2011蘭州中考，27(本小題滿分12分)已知：如圖17所示的一張矩形紙片ABCD(ADAB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F.分別連接AF和CE.(1)求證：四邊形AFCE是菱形；【答案】由題意可知OAOC，EFAO.ADBC，AEOCFO，EAOFCO，AOECOF，AECF，又AECF，四邊形AECF是平行四邊形(2分)ACEF，四邊

19、形AECF是菱形.(4分)(2)若AE10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長；【答案】四邊形AECF是菱形，AFAE10cm.設(shè)ABa，BFb，ABF的面積為24cm2,a2b2100，ab48(6分)(ab)2196，ab14或ab14(不合題意，舍去)(7分)ABF的周長為ab1024cm(8分)(3)在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.【答案】存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點(9分)證明：AEPAOE90，EAOEAP，AOEAEP，AE2AOAP(11分)四邊形AECF是菱形，AOAC，AE2ACAP，2AE2ACAP.(12分)21. 2013營口中考,19如圖,ABC中,AB=AC,AD是ABC一個外角的平分線,且BAC=ACD.(1)求證:ABCCDA;【答案】AB=AC,B=ACB又FAC是ABC的一個外角,FAC=B+ACBFAC=2ACB2分又AD是FAC的角平分線,FAC=2CAD,ACB=CAD3分又AC=CA,BAC=DCAABCCDA4分(2)若ACB=60,求證:四邊形ABCD是菱形.【答案】BAC=ACDABCD5分又ACB=CAD,ADBC.四邊形ABCD是平行四邊形.6分AB=