1、第三章 信號與線性非時變系統(tǒng)的傅里葉描述,3.1 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)：頻率響應(yīng) 3.2-3.84種信號的傅里葉描述 建立概念：傅里葉變換與傅里葉逆變換 例題分析：信號的計算方法與應(yīng)用 對比：4種傅里葉描述的區(qū)別及含義 數(shù)值計算：傅里葉描述的Matlab實現(xiàn) 3.9- 3.18傅里葉描述的特性 性質(zhì)證明及應(yīng)用 Matlab計算 小結(jié),2,3.1 引言,LTI系統(tǒng)滿足線性、非時變性。 信號在時域的分解，基本單元信號滿足以下要求： 本身簡單，LTI系統(tǒng)對其響應(yīng)能簡便得到； 具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號。,一、回顧：時域分析方法的基礎(chǔ),LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)描述代表了系統(tǒng)的全部時域特

2、征： 任何信號均可表示為以該信號為權(quán)重的沖激信號的線性疊加; 任何輸入信號經(jīng)過LTI系統(tǒng)后的輸出信號，都可以表示成輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積和或卷積積分。,3,二、歷史回顧：頻域分析方法的建立,(Joseph Fourier),傅里葉分析：利用信號的正弦表示，研究信號與系統(tǒng)在頻域范圍內(nèi)性質(zhì)的方法。,3.1 引言,自然界一種重要而普遍的信號存在形式； 最容易產(chǎn)生和控制的一種信號； 人類最容易應(yīng)用的一種標(biāo)準(zhǔn)信號； 目前應(yīng)用最多和最有效應(yīng)用的信號。 特點是什么？ 作為輸入信號，經(jīng)LTI系統(tǒng)后的響應(yīng)是否與頻率有關(guān)？ 任何信號是否可以用正弦信號表示？如何表示？條件是什么？,正弦信號為何可作為頻域分析的

3、基本單元信號？,3.2 復(fù)正弦信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng),3.2 正弦信號、復(fù)指數(shù)信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng),一、 LTI系統(tǒng)對復(fù)正弦信號的響應(yīng),離散：,連續(xù)：,根據(jù)時域分析的方法求解：,3.2 正弦信號、復(fù)指數(shù)信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng),正弦響應(yīng)：頻率響應(yīng)特性,復(fù)常數(shù)：,頻率為的復(fù)正弦信號經(jīng)LTI系統(tǒng)后的輸出，是只與該頻率有關(guān)的復(fù)常數(shù)與復(fù)正弦信號的乘積。,復(fù)正弦信號簡單，求解LTI系統(tǒng)對其的響應(yīng)容易,1、信號的復(fù)正弦表示的特點,稱為LTI系統(tǒng)對頻率的復(fù)正弦輸入信號的頻率響應(yīng)。,3.2 正弦信號、復(fù)指數(shù)信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng),2、頻率響應(yīng)函數(shù),LTI系統(tǒng)的輸出為,LTI系統(tǒng)對輸入的復(fù)正弦信

4、號的響應(yīng)，分別對輸入信號的振幅和相位進(jìn)行了調(diào)整。,幅度響應(yīng)：,相位響應(yīng)：,LTI系統(tǒng)對所有頻率復(fù)正弦函數(shù)的頻率響應(yīng)的分布。 該函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)。,3.2 正弦信號、復(fù)指數(shù)信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng),3、特征函數(shù)與特征值,如果一個函數(shù) 通過系統(tǒng)后變?yōu)橐粋€數(shù)值 與該函數(shù)相乘，稱函數(shù) 是系統(tǒng)的特征函數(shù)，數(shù)值 稱為該系統(tǒng)與此特征函數(shù)相對應(yīng)的特征值。,復(fù)正弦函數(shù) 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)；其對應(yīng)的特征值只是頻率的函數(shù)，即：,3.2 正弦信號、復(fù)指數(shù)信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng),LTI系統(tǒng)對表征為特征函數(shù)線性組合的輸入信號的響應(yīng),輸出信號：,輸入信號：M個復(fù)正弦特征函數(shù)的加權(quán)和（線性組合）,1）輸出信號也

5、是M個復(fù)指數(shù)特征函數(shù)的加權(quán)和； 2）卷積運算變成了輸入權(quán)重與頻率響應(yīng)的乘積運算； 3）輸入與輸出權(quán)重：信號由時域表示轉(zhuǎn)換為頻域表示； 與每個頻率的復(fù)正弦信號相聯(lián)系的權(quán)重表示該頻率的正弦信號對整個信號的貢獻(xiàn)。,特點：,11,二、傅里葉分析的引入,“周期信號都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和（傅里葉級數(shù)）?！备道锶~的第一個主要論點 “非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分來表示（傅里葉變換） ?！备道锶~的第二個主要論點,傅里葉分析：利用復(fù)正弦信號，通過傅里葉級數(shù)及傅里葉變換，分析信號與系統(tǒng)在頻域范圍內(nèi)性質(zhì)的方法。,3.3-3.8 四種信號的傅里葉表示,一、從傅里葉分析的角度，信號可分為4種類型

6、,連續(xù)時間周期信號 離散時間周期信號 連續(xù)時間非周期信號 離散時間非周期信號,傅里葉變換（Fourier transform, FT） 離散時間傅里葉變換（ discrete-time Fourier transform, DTFT）,傅里葉級數(shù)（Fourier series, FS） 離散時間傅里葉級數(shù)（discrete-time Fourier series, DTFS）,傅里葉分析：利用復(fù)正弦信號，通過傅里葉級數(shù)及傅里葉變換，分析信號與系統(tǒng)在頻域范圍內(nèi)性質(zhì)的方法。,3.3 四種信號的傅里葉表示,狄里赫利（Dirichlet）條件： 1、信號是有界且單值的； 2、任何區(qū)間內(nèi)絕對可積（或絕對

7、可和）； 3、信號在任何有限區(qū)間內(nèi)只有有限個極大值和極小值； 4、信號在任何有限區(qū)間內(nèi)只有有限個不連續(xù)點。,二、 傅里葉分析：信號所需滿足的條件,狄里赫利條件是充分條件，但不是必要條件。即： 滿足狄里赫利條件就一定可以用傅里葉分析方法對信號進(jìn)行分析；有一些不滿足狄里赫利條件的信號，也還是可以用傅里葉分析方法分析例如沖激信號。,三、周期信號：傅里葉級數(shù)表示,1、 連續(xù)周期信號：FS,復(fù)正弦形式的傅里葉級數(shù)展開：,為基頻：疊加項中最小非零頻率、常數(shù)； 疊加項中各復(fù)正弦信號的頻率是信號基頻的整數(shù)倍（ ）, 即：各正弦信號是基頻正弦的諧波， 各正弦信號必須與信號具有公共周期T。,對所有t 成立,頻譜的

8、概念,傅里葉分析表明：連續(xù)時間周期信號可以按傅里葉級數(shù)分解成無數(shù)個復(fù)正弦諧波分量的加權(quán)疊加。,各諧波分量僅是幅度和頻率的不同。由頻譜圖可見，信號的頻譜完全代表信號，這種表示信號的方法稱為頻域表示法.,16,連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定,兩邊同時在一個 周期內(nèi)求積分：,傅里葉級數(shù)的其他形式,若x（t）是實信號：,三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù),偶周期、奇周期信號的傅里葉級數(shù),偶信號：,奇信號：,實數(shù)域周期信號的傅里葉級數(shù)還可以表示為有初相位變化的余弦函數(shù)形式，稱為諧波型傅里葉級數(shù)，即,實數(shù)域周期信號的諧波型傅里葉級數(shù),19,小結(jié)：連續(xù)時間周期信號傅里葉級數(shù)（Fourier series, FS）,特點

9、：時域信號周期性、連續(xù)； 頻域表示離散化、頻譜非周期性。,20,DTFS表達(dá)式：,時域周期性：,頻域周期性：,N個獨立信號,2、 離散時間周期信號： discrete-time Fourier series, DTFS,21,離散時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定,兩邊同時在一個 周期內(nèi)求和：,22,時域周期信號,特點：時域信號周期性、離散； 頻域表示離散化、頻譜周期性。,DTFS：無論時域還是頻域，信號的表達(dá)式都可以用一個包含N個數(shù)的有限集合來準(zhǔn)確表征。這為實現(xiàn)計算機(jī)數(shù)值模擬提供了極大的便利。,23,1、從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換,解決思路：非周期信號周期信號在 時的極限,頻率間隔：,諧波頻率：,展開方

10、式：,連續(xù)時間周期信號,四、非周期信號：傅里葉變換表示,24,連續(xù)時間傅里葉變換及系數(shù)的確定,2、非周期連續(xù)信號：傅里葉變換，F(xiàn)T,3.3 四種信號的傅里葉表示,傅里葉變換（FT）的特性,非周期,周期,傅里葉 變換對,頻譜特性： ，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。,時域信號的分解：非周期信號可以分解稱為無數(shù)多個頻率分布連續(xù)，振幅為 的復(fù)指數(shù)信號之和（積分）。,26,離散時間周期信號,頻譜特性： ，非周期信號頻譜無限密集（連續(xù)頻譜）.,離散時間序列的分解：頻率在 區(qū)間上分布的、幅度為 的復(fù)指數(shù)信號的線性組合之和（積分）。,3、離散時間非周期信號離散時間傅里葉變換（discrete-time Fou

11、rier transform, DTFT）,27,離散時間傅里葉變換及系數(shù)的確定,非周期信號： 時，,周期 信號：,DTFT變換對,28,五、四種信號傅里葉表示的總結(jié)（P235，3.8）,一個域中為連續(xù)的表示，在另一個域中就是非周期性的表示;,一個域中為離散的表示，在另一個域中就是周期性的表示。,29,四種信號傅里葉表示的特性：時域、頻域?qū)Ρ?頻域采樣,頻域采樣,30,3.3 四種信號的傅里葉表示,1、周期信號,將指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)分為幅度和相位兩部分，即：,叫幅度譜； 叫相位譜； 功率譜。,六、傅里葉譜,2、非周期信號,能量譜,31,六、例題分析（之一）,例3.2離散周期信號的DTF

12、S系數(shù)（p189） 例3.4 周期的離散沖激序列的DTFS（p193） 例3.10周期的連續(xù)沖激序列的FS（p203） 例3.20-3.21單位沖激脈沖的DTFT、沖激譜的DTFT逆變換(p219) 例3.27-3.28單位沖激脈沖的FT、沖擊譜的逆FT（p229）,不同周期選擇對于DTFS系數(shù)計算的等效性。,適當(dāng)?shù)倪x擇求和或者積分的周期區(qū)間有助于簡化計算。,離散（或連續(xù)）時間的周期沖激序列： 各諧波分量的傅里葉系數(shù)幅度譜為等值常數(shù)，相位譜恒為0。,沖激信號不滿足狄里赫利條件，傅里葉分析方法仍適用。,時域與頻域的FT變換對：一個域的單位沖激信號，對應(yīng)于另一個域的所有分量的幅度、相位均為常數(shù)的貢

13、獻(xiàn)。,32,例3.6 離散方波的DTFS（p194） 例3.13 連續(xù)方波的FS（p205） 例3.18 離散矩形脈沖的DTFT（p216） 例3.25 連續(xù)矩形脈沖的FT（p227） 例3.17 指數(shù)序列的DTFT（p215） 例3.24 實指數(shù)衰減信號的FT（p226）,不滿足狄里赫利條件的階躍與指數(shù)的組合信號，可采用類似的傅里葉分析方法解決。,六、例題分析（之二）,33,例3.6 離散方波的DTFS：頻譜離散（諧波）性、周期性,例3.13 連續(xù)方波的FS：頻譜離散（諧波）性、非周期,-M 0 M,34,例3.25 連續(xù)矩形脈沖的FT：頻譜連續(xù)性、非周期性,例3.18 離散矩形脈沖的DTF

14、T：頻譜連續(xù)性、周期性,35,作業(yè)： 習(xí)題 3.2（ p191 ）、習(xí)題 3.3（ p192 ）習(xí)題 3.4（ p194 ）、 習(xí)題 3.6b（ p197 ）,36, 3.9-3.18 傅里葉描述的特性,3.9線性與對稱特性 3.10卷積特性 3.11微分與積分特性 3.12時移和頻移特性 3.13利用部分分式展開法求傅里葉逆變換 3.14相乘特性 3.15尺度變換特性 3.16帕斯瓦爾關(guān)系 3.17時間-帶寬乘積 3.18對偶特性,37,一、 線性與對稱特性（P236， 3.9 ）,可求已知信號的線性組合的傅里葉表示。 對于FS和DTFS，求和的各信號具有相同的周期T。,例3.30：周期方波

15、信號的加權(quán)和 擴(kuò)展：光柵透過率函數(shù)的加權(quán)和,1、線性特性, 4種信號及對應(yīng)的傅里葉表示均滿足此特性。,38,2、對稱特性,時域?qū)嵭盘?頻域表示：實部（幅度譜）偶函數(shù)、虛部（相位譜）奇函數(shù),頻域表示：實部（幅度譜）奇函數(shù)、虛部（相位譜）偶函數(shù),時域虛信號,4種信號及對應(yīng)的傅里葉表示均滿足上述特性（表3.4）,39,二、時移和頻移特性（ P259, 3.12）,2、頻移性,1、 時移性,復(fù)正弦信號的時移引起頻率線性函數(shù)的相移； 不改變頻率與幅度，相移大小是時移與正弦頻率的乘積。,復(fù)正弦信號的頻移時域：初始復(fù)正弦與另一頻率等于頻移量的復(fù)正弦的乘積。,小結(jié)：頻移與時移兩種特性是對偶關(guān)系：一個域內(nèi)的移動

16、，對應(yīng)于另一個域內(nèi)乘以一個復(fù)正弦函數(shù)。,4種信號及對應(yīng)的傅里葉表示均滿足上述特性（表3.7）,40,三、尺度變換（時頻壓擴(kuò)）特性（ P277，3.15）,時域信號的尺度變換，引起頻域表示的尺度反變換，同時引起幅度的變化。,尺度變換僅改變信號的基本周期（基頻）, 傅里葉級數(shù)的系數(shù)不變。,連續(xù)時間周期信號：,連續(xù)時間 非周期信號：,離散時間信號：尺度變換系數(shù)取整數(shù)，易丟失信息。,四、微分和積分特性（P251,3.5）,1、 時域微分：適用于連續(xù)時間信號（FT, FS）,適用于連續(xù)變量函數(shù)的運算,非周期 信號,時域微分效果： 對應(yīng)的傅里葉表示在頻域內(nèi)消除了信號的零頻分量，增強了高頻成分。,42,2、

17、頻域微分 適用于時域非周期、連續(xù)頻譜分布的信號,連續(xù)時間信號：,43,3、積分 適用于FT和FS的時域、 FT和DTFT的頻域,時域積分（P257）,例：單位階躍函數(shù)的FT （P258）,五、時域的卷積特性（P241，3.10）,1、時域非周期信號,可變換為頻域中對應(yīng)的傅里葉表示的乘積。,提供了對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)，可用于求系統(tǒng)輸入-輸出關(guān)系的頻率響應(yīng)、頻域濾波效應(yīng)。,連續(xù)時間信號：,同理可證：離散時間信號,45,2、時域周期信號,經(jīng)常用于信號的分析和處理情況中。,連續(xù)時間信號：,離散時間信號：,周期卷積運算：兩個信號在一個周期內(nèi)的積分.,46,六、時域的相乘特性（P270，3.

18、14）,1、連續(xù)時間信號：,可變換為頻域中對應(yīng)的傅里葉表示的卷積。,時域周期：,時域非周期,頻域非周期卷積,47,2、離散時間信號,頻域周期卷積,時域非周期：,時域周期：,時域相乘特性可用于研究調(diào)制信號對載波信號頻域特性的影響。,48,例題分析（之三）,例3.41 利用時移性質(zhì)求FT（p260） 例3.42 利用頻移性質(zhì)求FT （p263） 例3.37 驗證微分特性（p251） 例3.40 利用時、頻域微分性質(zhì)求高斯脈沖的FT（p255） 例3.31 利用卷積定理求輸出信號（FT）（p241） 例3.32 利用卷積定理求逆FT（p242） 例3.47 利用乘積定理求周期信號的FS系數(shù)（p275

19、） 例3.43 利用多個特性求FT （p263） 例3.49 利用多種特性求逆FT（p279）,綜合例題,49,作業(yè)： 習(xí)題 3.8（ p204 ） 、習(xí)題 3.9a（ p205 ） 、 習(xí)題 3.10（ p208 ） 、習(xí)題 3.11（ p216 ） 、 習(xí)題 3.14a,c,e（ p228） 、 習(xí)題 3.15a,c,d（ p230） 習(xí)題 3.17（ p240） 、習(xí)題 3.18（ p242） 、 習(xí)題 3.21（ p248）,50,七、帕斯瓦爾(Parseval)關(guān)系（P281 3.16 ）,信號的能量或功率在時域與頻域中是相等的。,1、連續(xù)時間非周期信號（FT）的能量,能量譜,同理可

20、證：其他傅里葉表示中的能量或者功率守恒。,FS,DTFT:,DTFS:,51,八、時寬-帶寬乘積（p283， 3.17）,信號的時寬與頻寬之間存在倒數(shù)關(guān)系。,利用尺度變換特性解釋：信號在時域上的壓縮導(dǎo)致頻域上的擴(kuò)展，反之亦然。,信號帶寬的定義,不定性原理：不可能同時減小信號的持續(xù)時間和帶寬。,52,九、對偶特性（P285, 3.18）,信號的時域和頻域表示之間的對稱性。,例3.25、3.26,一個域的卷積運算另一個域的乘積運算；,一個域的微分另一個域內(nèi)乘以一個獨立變量；,信號的時寬與頻寬之間存在倒數(shù)關(guān)系；,例3.27-3.28,53,1、FT的對偶特性,例3.52,54,2、DTFS的對偶特性

21、,對偶特性要求：對偶的兩信號的類型相同。FT：時域、頻域信號均為連續(xù)、非周期信號；DTFS：時域、頻域信號均為離散、周期信號。,55,3、DTFT與FS的互對偶特性,時-頻域變換對的信號類型不同的兩種情況。,FS,DTFT,利用這一對偶性，可將DTFT的特性對偶到FS中去。,56,4、四種信號傅里葉表示的特性：時域、頻域?qū)Ρ?57,3.9線性與對稱特性 3.12時移和頻移特性 3.15尺度變換特性 3.11微分與積分特性 3.10卷積特性 3.14相乘特性 3.13利用部分分式展開法求傅里葉逆變換 3.16帕斯瓦爾關(guān)系 3.17時間-帶寬乘積 3.18對偶特性,小 結(jié),58,例題分析（之四）與補充小結(jié)對應(yīng),例3.22 移動平均系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（p221） 例3.23 多徑傳輸信道的頻率響應(yīng)（p223） 例3.34 已知系統(tǒng)的輸入輸出，利用卷積定理求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和沖激響應(yīng)（p245） 例3.35 利用卷積定理求逆系統(tǒng)-均衡（p247）（均衡器） 例3.33 頻域表示的相乘實現(xiàn)頻譜濾波（p244） 例3.38 利用微分性質(zhì)求微分方程的頻率響應(yīng)（p2