1、有限元基礎(chǔ)及工程仿真分析,主講：魏召蘭,四川農(nóng)業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,第3章 桿梁結(jié)構(gòu)的有限元分析,3.1 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例,3.1.1 桿件分析的基本力學(xué)原理,桿件是最常用的承力構(gòu)件，它的特點(diǎn)是連接它的兩端一般都是鉸接接頭，因此，它主要是承受沿軸線的軸向力，因兩個(gè)連接的構(gòu)件在鉸接接頭處可以轉(zhuǎn)動(dòng)，則它不傳遞和承受彎矩。 有一個(gè)左端固定的拉桿，其右端承受一外力P。該拉桿的長度為l，橫截面積為A，彈性模量為E，如圖3-2所示，這是一個(gè)一維問題，下面討論該問題的力學(xué)描述與求解。,【基本變量】3.1.1(1) 1D問題的基本變量,由于該問題是沿x方向的一維問題，因此只有沿x方向的基本變量，

2、即,定義沿x方向移動(dòng)為位移： u(x) 定義沿x方向的相對(duì)伸長(或縮短)量為應(yīng)變： x(x) 定義沿x方向的單位橫截面上的受力為應(yīng)力：,【基本方程】3.1.1(2) 1D問題的基本方程,該問題的三大類基本方程和邊界條件如下:, 取出桿件的任意一個(gè)截面，可得到平衡方程(無體力)為, 取出桿件x位置處的一段長度dx，設(shè)它的伸長為du，則它的相對(duì)伸長量為,該方程稱為幾何方程。, 由該材料的拉伸試驗(yàn)，可得到該材料的虎克定律為:,該方程也稱為物理方程。, 邊界條件(BC, boundary condition),從求解思路來說，可以有兩類方法來對(duì)該問題進(jìn)行求解，即 (1)直接求解方法：該問題比較簡單，因

3、此，可以由3個(gè)方程來直接求解3個(gè)變量。 (2)基于試函數(shù)的間接方法：可以先選取一個(gè)變量(如位移)作為最基本的待求變量，將其它變量都用它來表達(dá)，并采用間接的近似求解方法；具體的做法為：先對(duì)待求的位移變量假設(shè)一種事先滿足位移邊界條件的可能解(其中有一些待定的系數(shù))，稱為試函數(shù)(trail function)，讓該受力系統(tǒng)的勢能取最小值來最后確定出可能解(試函數(shù))中的那些待定系數(shù)(unknown constant)；也可以讓該受力系統(tǒng)的內(nèi)部變形虛功等于外部施加力的虛功，來求出試函數(shù)中的那些待定系數(shù)。 下面針對(duì)圖3-2所示的一端固定的拉桿問題，分別討論基于直接求解方法以及基于試函數(shù)的間接方法的求解過程

4、。,【求解原理】3.1.1(3) 1D問題的直接求解,【求解原理】3.1.1(4) 1D問題的虛功原理求解,先以一個(gè)簡單的結(jié)構(gòu)靜力平衡問題來描述虛功原理的基本思想，然后再具體求解一端固定的拉桿問題。,彈性力學(xué)中的虛功原理可表述為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)給物體以微小虛位移時(shí)，外力所做的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變能(即應(yīng)力在由虛位移所產(chǎn)生虛應(yīng)變上所作的功)。注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移。 下面應(yīng)用虛功應(yīng)力來具體求解如圖3-2所示的一端固定的拉桿問題，設(shè)有滿足位移邊界條件的位移場,【求解原理】3.1.1(5) 1D問題的最小勢能原理求解,3.1.2 局部坐標(biāo)

5、系中的桿單元描述,最簡單的標(biāo)準(zhǔn)單元就是桿單元，下面就要研究它的試函數(shù)描述，以及計(jì)算它的應(yīng)變能和外力功。,【單元構(gòu)造】3.1.2(1) 桿單元的描述,單元的描述包括單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述、位移場、應(yīng)變場、應(yīng)力場、勢能，也就是要充分利用描述問題的三大類變量以及三大類方程來計(jì)算單元的勢能，然后，由最小勢能原理(或虛功原理)來得到單元的方程。實(shí)際上，單元內(nèi)位移場的描述就是它的試函數(shù)的選取。,【典型例題】3.1.2(2) 變截面桿單元的推導(dǎo),如圖3-5所示，有一受軸載荷的線性變截面桿件，兩端的截面積為A1和A2，長度為l，材料的彈性模量為E，試建立描述該桿件的一個(gè)桿單元。,3.1.3 桿單元的坐標(biāo)變換,1

6、. 平面桿單元的坐標(biāo)變換,在工程實(shí)際中，桿單元可能處于整體坐標(biāo)系(global coordinate system)中的任意一個(gè)位置，如圖3-6所示，這需要將原來在局部坐標(biāo)系(local coordinate system)中所得到的單元表達(dá)等價(jià)地變換到整體坐標(biāo)系中，這樣，不同位置的單元才有公共的坐標(biāo)基準(zhǔn)，以便對(duì)各個(gè)單元進(jìn)行集成(即組裝)。圖3-6中的整體坐標(biāo)系為( )，桿單元的局部坐標(biāo)系為(ox)。,2. 空間桿單元的坐標(biāo)變換,3.1.4 桿單元分析的MATLAB程序,學(xué)習(xí)有限元方法的一個(gè)最佳途徑，就是在充分掌握基本概念的基礎(chǔ)上親自編寫有限元分析程序，這就需要一個(gè)良好的編程環(huán)境或平臺(tái)，MATLAB軟件就是這樣一個(gè)平臺(tái)，它以功能強(qiáng)大、編程邏輯直觀、使用方便見長，從本節(jié)開始，將自主學(xué)習(xí)MATLAB程序，并編寫以下程序： 1D桿單元的有限元分析程序(Bar1D2Node) 2D桿單元的有限元分析程序(Bar2D2Node),3.1.5 桿結(jié)構(gòu)分析的算例,【典型例題】3.1.5(1) 四桿桁架結(jié)構(gòu)