1、,幾何與代數(shù),2010年國家級精品課程,教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配,第六章 二次型與二次曲面,問題式預(yù)習(xí)及思考題,思考題： 1. 請比較區(qū)分正定陣和正交陣？ 2. 若A既是正定陣又是正交陣，證明A是單位陣.,1. 球面、旋轉(zhuǎn)曲面和柱面方程的特點(diǎn)是什么？,2. 如何求投影柱面和投影曲線方程？,思考題：1. 請比較區(qū)分正定陣和正交陣？, A的正慣性指數(shù)為n, A的規(guī)范形為E, 即 A與 E 相合;, A的特征值均大于零;, 存在可逆陣P, 使得A = PTP.,A是正定矩陣： x 0, f(x) = xTAx 0., 與A相合的實(shí)對稱矩陣也是正定矩陣;,與A相合的對角陣中dii = eiTAei0;,n階

2、實(shí)方陣Q為正交陣 QTQ = E Q的列(行)向量組構(gòu)成Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基. QT=Q1也是正交矩陣 Q是從自然基到標(biāo)準(zhǔn)正交基q1,qn的過渡陣,證明:,因?yàn)锳正定,所以AT =A, A的所有特征值i0, i=1,2,n.,因?yàn)锳正交,A的所有特征值i2=1, 則i=1, i=1,2,n.,所以ATA = A2 = E,所以實(shí)對稱陣A與E相似.,即存在可逆矩陣P,使得,19. 設(shè)A既是正定陣又是正交陣，證明：A是單位陣.,6.2 空間中的曲面和曲線,第六章 二次型與二次曲面,6.2 空間中的曲面和曲線,F(x, y, z) = 0,曲面的一般方程:,曲線的一般方程:,曲線的參數(shù)方程:,P0(x0

3、, y0, z0),6.2 空間中的曲面和曲線,第六章 二次型與二次曲面,一. 幾種常見的曲面,1. 球面,點(diǎn)P(x, y, z)在球面上, (xx0)2 + (yy0)2 + (zz0)2 = R2,6.2 空間中的曲面和曲線,第六章 二次型與二次曲面,(xx0)2 + (yy0)2 + (zz0)2 = R2,特點(diǎn):, 三元二次;,二次項(xiàng)x2, y2, z2前面的系數(shù)相同;, 沒有xy, yz, zx這類的二次項(xiàng)， 即二次項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)形.,6.2 空間中的曲面和曲線,第六章 二次型與二次曲面,ax2 + ay2 + az2 + bx + cy + dz + e = 0,當(dāng)k 0時(shí): 球面,當(dāng)k

4、 = 0時(shí): 點(diǎn),當(dāng)k 0時(shí): 虛球面,曲線C:,C,繞 z軸旋轉(zhuǎn),2. 旋轉(zhuǎn)面,母線,C,母線,曲線C:,繞 z軸旋轉(zhuǎn),2. 旋轉(zhuǎn)面,繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 S.,C,S,M (x,y,z),N,P,y,z,O,f (y1, z1)=0,曲線C:,2. 旋轉(zhuǎn)面,母線,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,母線 C:,S: C中軸坐標(biāo)(z)不變,用另2個(gè)變量的平方和 的正負(fù)算術(shù)平方根代替方程中的另1個(gè)變量.,反過來,方程中若有兩個(gè)變量以平方和形式出現(xiàn),這個(gè)方程的圖形一般是旋轉(zhuǎn)曲面.,幾種常用的旋轉(zhuǎn)曲面:,旋轉(zhuǎn)曲面名稱 與母線名稱對應(yīng).,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),(1) 旋轉(zhuǎn)橢球面:,橢圓,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,兩個(gè)平方項(xiàng)系

5、數(shù)相同,母線 C:,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),O,(2) 旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面:,O,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周.,雙曲線,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同,母線 C:,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),x,(3) 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面:,a,0,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同,母線 C:,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周.,雙曲線,(4) 旋轉(zhuǎn)拋物面:,拋物線,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周.,O,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同,母線 C:,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),衛(wèi)星接收裝置,.,(5) 圓錐面:,直線,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周.,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同,母線 C:,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),x2 + y2 = 1,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,兩個(gè)平

6、方項(xiàng)系數(shù)相同,母線 C:,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周.,直線,(6) 圓柱面:,動直線平行于z 軸沿著圓移動所產(chǎn)生的曲面,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,3. 柱面,動直線平行于定直線沿定曲線移動而得,設(shè)柱面S的準(zhǔn)線方程為,則此柱面的方程為: f(x, y) = 0.,母線平行于,z軸,柱面方程的特點(diǎn):,缺少的變量母線方向,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,設(shè)柱面S的準(zhǔn)線方程為,則此柱面的方程為: f(x, y) = 0.,母線平行于,z軸,圓柱面,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,母線平行于x軸的柱面方程為,橢圓柱面,f(

7、y, z) = 0.,母線平行于y軸的柱面方程為,f(x, z) = 0.,拋物柱面,母線平行于z軸的柱面方程為,f(x, y) = 0.,p=3,r(g)=3,旋轉(zhuǎn)橢球面,球面,p=2,d0,旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,d0,d0,旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,d=0,圓錐面,r(g)=2,b0,d=0,p=2,旋轉(zhuǎn)拋物面,圓柱面,r(g)=2,d0,p=2,橢圓柱面,p=1,雙曲柱面,r(g)=1,p=1,旋轉(zhuǎn)曲面,兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同,b=0,d0,拋物柱面,b0,柱面,缺少的變量母線方向,(5) 圓錐面:,直線,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周.,旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):,兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同,母線 C:,繞 z軸 旋轉(zhuǎn),半頂角,頂點(diǎn),

8、一條直線通過定點(diǎn)沿著圓移動所產(chǎn)生的曲面,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,4. 錐面,一般錐面不一定是旋轉(zhuǎn)曲面.,一條直線通過定點(diǎn), 且沿著空間中一條定曲線移動所產(chǎn)生的曲面叫錐面. 定曲線叫錐面的準(zhǔn)線, 定點(diǎn)叫錐面的頂點(diǎn), 動直線叫母線.,圓 錐 面,圓錐面：一條直線通過定點(diǎn)沿著圓移動所產(chǎn)生的曲面.,一般錐面,給定一個(gè)圓柱面,動點(diǎn)P在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)； 同時(shí)又在平行于z軸的方向以勻速v沿母線上升. 其軌跡就是圓柱螺線, 求其方程.,空間曲線的參數(shù)式方程,二.幾種常見的曲線,1. 圓柱螺線,P,a,x = y = z =,acost,vt,asint,t,M(x,y,z),螺

9、線從點(diǎn)PQ,當(dāng) t 從 02/ ，,稱為螺距.,N,.,Q,P在圓柱面上以繞z軸旋轉(zhuǎn)； 又沿z軸正向以勻速v上升.,1. 圓柱螺線,參數(shù)方程,P,a,x = y = z =,acost,vt,asint,t,M(x,y,z),N,.,P在圓柱面上以繞z軸旋轉(zhuǎn)； 又沿z軸正向以勻速v上升.,1. 圓柱螺線,參數(shù)方程,一般式,一般式,x2 + y2 = a2 x = acos(z/v),Q,P,a,x = y = z =,acost,vt,asint,t,M(x,y,z),N,.,P在圓柱面上以繞z軸旋轉(zhuǎn)； 又沿z軸正向以勻速v上升.,1. 圓柱螺線,參數(shù)方程,一般式,一般式,x2 + y2 =

10、a2 x = acos(z/v),Q,6.2 空間中的曲面和曲線,第六章 二次型與二次曲面,2. 維維安尼曲線,6.2 空間中的曲面和曲線,第六章 二次型與二次曲面,3. 雙柱面曲線,y2 + z2 = a2 x2 + z2 = b2,(b a 0),令y = acost, z = asint,代入x2 + z2 = b2得,由此可得該雙柱面曲線的參數(shù)方程為,(0 t 2),y = acost z = asint,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,三. 投影柱面與投影區(qū)域,從c到的投影柱面S: 以c為準(zhǔn)線, 母線垂直的柱面.,c在上的投影曲線： S與的交線 (簡稱投影).,設(shè)空間曲線

11、c的方程為,柱面方程的特點(diǎn): 缺少的變量母線方向,坐標(biāo)面,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,三. 投影柱面與投影區(qū)域,從c到的投影柱面S:以c為準(zhǔn)線, 母線垂直的柱面.,c在上的投影曲線：S與的交線 (簡稱投影).,c在xOy面上的投影曲線方程為,設(shè)空間曲線c的方程為,f(x, y) = 0,消去z得:,c在xOy面上的投影柱面方程,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,空間曲線c在另外兩個(gè)坐標(biāo)平面上的投影柱面 及投影曲線的方程可類似求得.,c在xOy面上的投影曲線方程為,c在xOy面上的投影柱面方程：,設(shè)空間曲線c的方程為,f(x, y) = 0,消去z得:,c在xOz面上的

12、投影曲線方程為,c在yOz面上的投影曲線方程為,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,例1. 求空間曲線C,在xOy面上的投影柱面及投影曲線方程.,x2+4y = 0,投影曲線的方程為:,拋物柱面,xOy面上的拋物線,消去z得投影柱面:,解:,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,例2. 求空間曲線C,在xOz面上的投影柱面及投影曲線方程.,x2+ z2 = 4z,投影曲線的方程為:,圓柱面,xOz面上的圓,消去y得投影柱面:,解:,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,例3. 求空間曲線C,故z = 4或5.,當(dāng)z = 4時(shí), 得投影柱面x2+y2 = 9.,在xOy面上的

13、投影柱面和投影曲線方程.,當(dāng)z=5時(shí), x2+y2 = 0.,投影曲線方程為,球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,C縮為一點(diǎn) (0,0, 5)，舍去.,由,解:,消去x,y得z2+z20 = 0,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,三. 投影柱面與投影區(qū)域,從c到的投影柱面S:以c為準(zhǔn)線, 母線垂直的柱面.,c在上的投影曲線：S與的交線 (簡稱投影).,c在xOy面上的投影曲線方程為,(1) 設(shè)空間曲線c的方程為,f(x, y) = 0,消去z得投影柱面:,(2),1. 球面: 三個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)相等； 旋轉(zhuǎn)曲面：兩個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)相等； 柱面方程： 錐面：,2. 如何求投影柱面和投影曲線方程？,6.2 空間中的曲面和曲線,缺少的變量母線方向,一直線過定點(diǎn)沿一條定曲線移動所產(chǎn)生的曲面,c在xOy面上的投影曲線方程為,設(shè)空間曲線c的方程為,f(x,