1、小學(xué)三年級(jí)奧數(shù) 16數(shù)陣圖本教程共30講第16講 數(shù)陣圖(一)在神奇的數(shù)學(xué)王國(guó)中，有一類非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它變化多端，引人入勝，奇妙無(wú)窮。它就是數(shù)陣，一座真正的數(shù)字迷宮，它對(duì)喜歡探究數(shù)字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來(lái)研究它的變化，就連大數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)它都有著濃厚的興趣。那么，到底什么是數(shù)陣呢？我們先觀察下面兩個(gè)圖：左上圖中有3個(gè)大圓，每個(gè)圓周上都有四個(gè)數(shù)字，有意思的是，每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和都等于13。右上圖就更有意思了，19九個(gè)數(shù)字被排成三行三列，每行的三個(gè)數(shù)字之和與每列的三個(gè)數(shù)字之和，以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15，不信你就算算。上面兩個(gè)圖就是數(shù)陣

2、圖。準(zhǔn)確地說(shuō)，數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，有時(shí)簡(jiǎn)稱數(shù)陣。要排出這樣巧妙的數(shù)陣圖，可不是一件容易的事情。我們還是先從幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始。例1 把15這五個(gè)數(shù)分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于9。同學(xué)們可能會(huì)覺(jué)得這道題太容易了，七拼八湊就寫(xiě)出了右上圖的答案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來(lái)分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出復(fù)雜巧妙的數(shù)陣問(wèn)題。分析與解：中間方格中的數(shù)很特殊，橫行的三個(gè)數(shù)有它，豎列的三個(gè)數(shù)也有它，我們把它叫做“重疊數(shù)”。也就是說(shuō)，橫行的三個(gè)數(shù)之和加上豎列的三個(gè)數(shù)之和，只有重疊數(shù)被加了兩次，即重疊了一次，其余各數(shù)均被加

3、了一次。因?yàn)闄M行的三個(gè)數(shù)之和與豎列的三個(gè)數(shù)之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=9+9，重疊數(shù)=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重疊數(shù)求出來(lái)了，其余各數(shù)就好填了(見(jiàn)右上圖)。例2 把15這五個(gè)數(shù)填入下頁(yè)左上圖中的里(已填入5)，使兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等。分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數(shù)”為5，而不知道兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于什么數(shù)。所以，必須先求出這個(gè)“和”。根據(jù)例1的分析知，兩條直線上的三個(gè)數(shù)相加，只有重疊數(shù)被加了兩遍，其余各數(shù)均被加了一遍，所以兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于(1+2+3+4+5)+52=10。因此，兩條直線上另兩個(gè)數(shù)(非“重疊數(shù)”)的和等于1

4、0-5=5。在剩下的四個(gè)數(shù)1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上圖的填法。例3 把15這五個(gè)數(shù)填入右圖中的里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等。分析與解：例1是知道每條直線上的三數(shù)之和，不知道重疊數(shù)；例2是知道重疊數(shù)，不知道兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和；本例是這兩樣什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=每條直線上三數(shù)之和2，所以，每條直線上三數(shù)之和等于(15+重疊數(shù))2。因?yàn)槊織l直線上的三數(shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)只可能是1，3或5。若“重疊數(shù)”=1，則兩條直線上三數(shù)之和為(15+1)2=8。填法見(jiàn)左下圖；若“重疊數(shù)”=3，則兩條直線上三數(shù)之和為(15

5、+3)2=9。填法見(jiàn)下中圖；若“重疊數(shù)”=5，則兩條直線上三數(shù)之和為(15+5)2=10。填法見(jiàn)右下圖。由以上幾例看出，求出重疊數(shù)是解決數(shù)陣問(wèn)題的關(guān)鍵。為了進(jìn)一步學(xué)會(huì)掌握這種解題方法，我們?cè)倏磧衫?。? 將17這七個(gè)自然數(shù)填入左下圖的七個(gè)內(nèi)，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于10。分析與解：與例1類似，知道每條邊上的三數(shù)之和，但不知道重疊數(shù)。因?yàn)橛?條邊，所以中間的重疊數(shù)重疊了兩次。于是得到(1+2+7)+重疊數(shù)2=103。由此得出重疊數(shù)為103-(1+2+7)2=1。剩下的六個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于9的有2，7；3，6；4，5?？傻糜疑蠄D的填法。如果把例4中“每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于10”改為“每

6、條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等”，其他不變，那么仿照例3，重疊數(shù)可能等于幾？怎樣填？例5 將 1020填入左下圖的內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。解：與例2類似，中間內(nèi)的15是重疊數(shù)，并且重疊了四次，所以每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和等于(10+11+20)+1545=45。剩下的十個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上圖的填法。例15都具有中心數(shù)是重疊數(shù)，并且每邊的數(shù)字之和都相等的性質(zhì)，這樣的數(shù)陣圖稱為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個(gè)數(shù)，稱為輻射型33圖；例5有五條邊每邊有三個(gè)數(shù)，稱為輻射型53圖。一

7、般地，有m條邊，每邊有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為輻射型mn圖。輻射型數(shù)陣圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是“直線條數(shù)”-1，即m-1。對(duì)于輻射型數(shù)陣圖，有已知各數(shù)之和+重疊數(shù)重疊次數(shù)=直線上各數(shù)之和直線條數(shù)。由此得到：(1)若已知每條直線上各數(shù)之和，則重疊數(shù)等于(直線上各數(shù)之和直線條數(shù)-已知各數(shù)之和)重疊次數(shù)。如例1、例4。(2)若已知重疊數(shù)，則直線上各數(shù)之和等于(已知各數(shù)之和+重疊數(shù)重疊次數(shù))直線條數(shù)。如例2、例5。(3)若重疊數(shù)與每條直線上的各數(shù)之和都不知道，則要從重疊數(shù)的可能取值分析討論，如例3。練習(xí)161.將17這七個(gè)數(shù)分別填入左下圖中的里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于12。如果每條直線上

8、的三個(gè)數(shù)之和等于10，那么又該如何填？2.將19這九個(gè)數(shù)分別填入右上圖中的里(其中9已填好)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。如果中心數(shù)是5，那么又該如何填？3.將19這九個(gè)數(shù)分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個(gè)數(shù)之和相等。(至少找出兩種本質(zhì)上不同的填法)4.將39這七個(gè)數(shù)分別填入左下圖的里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和等于20。5.將111這十一個(gè)數(shù)分別填入右上圖的里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等，并且盡可能大。6.將17這七個(gè)數(shù)分別填入下圖的里，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓圈上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 答案與提示練習(xí)165.提示：中心數(shù)是重疊數(shù)，并且重疊4次。所以每條直線上的三數(shù)之和等于(1211)重疊數(shù)45(66重疊數(shù)4)5。為使上式能整除，重疊數(shù)只能是1，6或11。顯然，重疊數(shù)越大，每條直線上的三數(shù)之和越大。所以重疊數(shù)是11，每條直線上的三數(shù)之和是22。填法見(jiàn)右圖。6.解：所有的數(shù)都是重疊數(shù)，中心數(shù)重疊兩次，其它數(shù)重疊一次。所以三條邊及兩個(gè)圓周上的所有數(shù)之和為(127)2中心數(shù)56中心數(shù)。因?yàn)槊織l邊及每個(gè)圓周上的三數(shù)之和都相等，所以這個(gè)和應(yīng)該是5的倍數(shù)，再由中心數(shù)在1至7之間，所以中心數(shù)是4。每條邊及每個(gè)圓周上的三數(shù)之和等于(564