1、1,第二章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運動的工具,(從微觀上研究函數(shù)),導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國,數(shù)學(xué)家Fermat在研究,極值問題中提出.,英國數(shù)學(xué)家 Newton,2,在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的 變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。,本章將通過對實際問題的分析，引出微分學(xué)中 兩個最重要的基本概念導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計算問題。,3,導(dǎo)數(shù)和

2、微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進一步 深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。,重點,導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋 導(dǎo)數(shù)與微分基本公式 四則運算法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則 高階導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo),難點,導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈式法則,4,引例,導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,求導(dǎo)舉例,小結(jié) 思考題 作業(yè),2.1 導(dǎo)數(shù)的概念,(derivative),第二章 導(dǎo)數(shù)與微分,5,例,直線運動的瞬時速度問題,一質(zhì)點作直線運動,已知路程 s 與時間 t 的,試確定t0時的瞬時速度v(t0).,

3、這段時間內(nèi)的平均速度,等于質(zhì)點在每個時刻的速度.,解,若運動是勻速的,平均速度就,一、引例,關(guān)系,質(zhì)點走過的路程,自由落體運動,6,此式既是它的定義式,又指明了它的計算,它越近似的,定義為,并稱之為t0時的瞬時速度v(t0).,瞬時速度是路程對時間的變化率.,若運動是非勻速的,平均速度,是這段,時間內(nèi)運動快慢的平均值,越小,表明 t0 時運動的快慢.,因此, 人們把 t0時的速度,注,方法,7,例,割線的極限位置,對于一般曲線如何定義其切線呢?,曲線的切線斜率問題,若已知平面曲線,如何作過,的切線呢.,初等數(shù)學(xué)中并沒有給出曲線切線的定義.,過該點的切線.,我們知道與圓周有唯一交點的直線,即為圓

4、周,但此定義不適應(yīng)其它曲線.,如,與拋物線有唯一交點的直線不一定是切線.,切線位置.,?,曲線上點,法國,數(shù)學(xué)家費馬在1629年提出了如下的定義和求法,P.de Fermat 1601-1665,從而圓滿地解決了這個問題.,8,割線的極限位置切線位置,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,處切線的斜率.,已知曲線的方程,確定點,如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,極限位置即,C在點M處的切線.,如圖,19,割線MN的斜率為,切線MT的斜率為,20,就其實際意義來說各不相同,關(guān)系上確有如下的共性:,但在數(shù)量,1. 在問題提法上,都是已知一個函數(shù),求y關(guān)于x在x0處的變化

5、率.,2. 計算方法上,(1) 當(dāng)y隨 x均勻變化時,用除法.,(2) 當(dāng)變化是非均勻的時,需作平均變化率的,上述兩例,分別屬于運動學(xué)、幾何學(xué)中的問題,極限運算:,21,定義,函數(shù),與自,平均變化率.,二、導(dǎo)數(shù)的定義,22,中的任何一個表示,存在,如,平均變化率的極限:,或,函數(shù)在一點 處的變化率,(derivative),或有導(dǎo)數(shù).,可用下列記號,則稱此極限值為,23,處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.,特別當(dāng)(1)式的極限為,有時也說在x0處導(dǎo)數(shù)是正(負)無,要注意,導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式:,當(dāng)極限(1)式不存在時,就說函數(shù) f (x)在x0,在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計算時,正(負)無窮時,窮大,但這

6、時導(dǎo)數(shù)不存在.,24,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明,或,如果 x0= 0,可以寫成,特別是,(1) 點導(dǎo)數(shù)是因變量在點x0處的變化率,它反映了,因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.,(2) 如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間 I 內(nèi)的每點處都可,導(dǎo),就稱函數(shù) f (x)在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo).,25,記作,即,或,(3) 對于任一,都對應(yīng)著 f (x)的一個確定的,導(dǎo)數(shù)值.,這個函數(shù)叫做原來函數(shù)f (x)的,導(dǎo)函數(shù).,26,例,用導(dǎo)數(shù)表示下列極限,解,解,27,原式,是否可按下述方法作:,設(shè),存在, 求極限,解: 原式,練習(xí),28,右導(dǎo)數(shù),4. 單側(cè)導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù),又分別可以解釋為曲線,點的左切線的斜率與右切

7、線的斜率.,從幾何上,(left derivative),(right derivative),29,例 求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù),因為f -(0) f +(0),解,所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo),單側(cè)導(dǎo)數(shù),30,定理,31,處的可導(dǎo)性.,此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在,分段點,如果,在開區(qū)間,內(nèi)可導(dǎo),都存在,32,例,解,三、求導(dǎo)舉例(幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)),步 驟,即,33,例,解,即,同理可得,自己練習(xí),34,例,解,更一般地,如,即,35,例,解,即,36,例,解,即,37,1.幾何意義,特別地:,即,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,38,39,例,解,得切線斜率

8、為,所求切線方程為,法線方程為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即,即,40,練習(xí),設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0,解,于是所求切線的方程可設(shè)為,已知點(0 4)在切線上 所以,解之得x04,于是所求切線的方程為,則切線的斜率為,41,2.物理意義,非均勻變化量的瞬時變化率.,路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度;,電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度;,為物體的線(面,體)密度.,變速直線運動,交流電路,非均勻的物體,質(zhì)量對長度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù),42,該點必連續(xù).,證,定理,如果函數(shù),則函數(shù)在,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,在點x處可導(dǎo),即,函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,所以,43,如,該定理的逆定理不一定成立.,注,連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件

9、,不是可導(dǎo)的充分條件.,44,例,解,45,連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù),這是因為函數(shù)在點x=0處導(dǎo)數(shù)為無窮大,46,練習(xí),為了使 f(x) 在x0處可導(dǎo),解,首先函數(shù)必須在x0處連續(xù).,由于,故應(yīng)有,又因,應(yīng)如何選取a,b ?,47,從而,當(dāng),f(x) 在x0處可導(dǎo).,48,導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限;,導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).,判斷可導(dǎo)性,不連續(xù),一定不可導(dǎo).,連續(xù),直接用定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,六、小結(jié),49,思考題,50,思考題解答,51,練習(xí)題,存在 , 則,2. 已知,則,1. 設(shè),3. 設(shè),存在,

10、 且,求,問a 取何值時,在,都存在 , 并求出,4. 設(shè),52,解: 因為,3. 設(shè),存在, 且,求,所以,53,問a 取何值時,在,都存在 , 并求出,解:,故,時,此時,在,都存在,顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .,4. 設(shè),54,作業(yè),習(xí)題2-1(85頁),6. 7. 11. 14. 15. 17. 18.,55,Newton(1642 1727),偉大的英國數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文,學(xué)家和自然科學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)上的卓越,貢獻是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671,年完成流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)一書 (1736年出版).,他,還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .,