1、第六章 矩陣特征值問題,本章先引出矩陣特征值與特征向量的概念, 利用線性方程租的求解方法,提出矩陣的特征值與特征向量的有效計算方法, 并給出矩陣對角化的條件, 介紹實對稱矩陣對角化的方法.,本章的主要內(nèi)容,6.1 矩陣的特征值與特征向量 6.2 相似矩陣與矩陣對角化 6.3 實對稱矩陣的對角化,1. 矩陣的特征值與特征向量的定義,3. 矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),6.1 矩陣的特征值與特征向量,2. 矩陣的特征值與特征向量的計算,1、基本概念,定義 設(shè) A 是 n 階矩陣，如果數(shù) l 和 n 維非零向量 x 滿足 Ax = l x， 那么數(shù) l 稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A

2、 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量 注 特征值和特征向量只針對方陣而言 例,則 l = 1 為矩陣 的特征值；,為對應(yīng)于l = 1 的特征向量.,2、特征值與特征向量的計算,已知,所以齊次線性方程組有非零解.,特征方程,特征多項式,特征方程 | AlI | = 0 特征多項式 f(l)=| AlI | ( l 為未知數(shù)的一元 n 次多項式),求特征值、特征向量的方法:,求出即為特征值;,把得到的特征值代入上式,求齊次線性方程組,的非零解 x,即為所求特征向量.,特征值就是特征方程的根,注 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣有 n 個特征值(重根按重數(shù)計算),稱集合 1 , , n 為矩陣A的譜(spectr

3、um).,將|1| , |1| , , |n|的最大值稱為A的譜半徑,記作(A),即,例,解,例,解,解,第一步：寫出矩陣A的特征方程,求出特征值.,例 求矩陣,的特征值和特征向量.,特征值為,第二步：對每個特征值,代入齊次方程組,求非零解.,齊次線性方程組為,系數(shù)矩陣,解,例 求矩陣,的特征值和特征向量.,特征值為,得基礎(chǔ)解系,是對應(yīng)于,系數(shù)矩陣,解,例 求矩陣,的特征值和特征向量.,特征值為,得基礎(chǔ)解系,是對應(yīng)于,齊次線性方程組為,性質(zhì)1 設(shè) n 階方陣A的n個特征值為,則,矩陣A的主對角元素之和稱為矩陣A的跡.,3、特征值和特征向量的性質(zhì),若A的特征值是, X是A的對應(yīng)于的特征向量,性質(zhì)2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常數(shù)),(m是正整數(shù)),證,再繼續(xù)施行上述步驟 m - 2 次, 就得,若A的特征值是, X是A的對應(yīng)于的特征向量,性質(zhì)2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常數(shù)),(m是正整數(shù)),(3)若A可逆,則A-1的特征值是-1 ,的特征值是,且x仍然是矩陣,分別對應(yīng)于,的特征向量.,證,若A的特征值是, X是A的對應(yīng)于的特征向量,性質(zhì)2,(1) kA的特征值是k;,(k是任意常數(shù)),(m是正整數(shù)),(3)若A可逆,則