1、簡(jiǎn)易邏輯,一、命題的有關(guān)概念,1.命題,可以判斷真假的語(yǔ)句.,“非 p”形式的復(fù)合命題與 p 的真假相反;,2.邏輯聯(lián)結(jié)詞,“或”、“且”、“非”.,3.簡(jiǎn)單命題,不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.,4.復(fù)合命題,含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.,5.復(fù)合命題真值表,“p 或 q”形式的復(fù)合命題當(dāng) p 與 q 同時(shí)為假時(shí)為假, 其它情形為真;,“p 且 q”形式的復(fù)合命題當(dāng)p 與q同時(shí)為真時(shí)為真, 其它情形為假.,二、命題的四種形式,逆否命題: 若q, 則p.,原命題: 若 p, 則 q;,逆命題: 若 q, 則 p;,否命題: 若p, 則q;,注: 互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假.,三、反證法,1.一般步驟,反設(shè):

2、 假設(shè)命題的結(jié)論不成立, 即假設(shè)結(jié)論的反面成立;,歸謬: 從假設(shè)出發(fā), 經(jīng)過(guò)推理論證, 得出矛盾;,結(jié)論: 由矛盾判定假設(shè)不正確, 從而肯定命題的結(jié)論正確.,2.命題特點(diǎn),結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn);,結(jié)論是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;,結(jié)論涉及“存在或不存在”，“有限或無(wú)限”等形式;,結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明.,3.特殊結(jié)論的反設(shè),4.引出矛盾的形式,由假設(shè)結(jié)論 q 不成立, 得到條件 p 不成立;,由假設(shè)結(jié)論 q 不成立, 得到結(jié)論 q 成立;,由假設(shè)結(jié)論 q 不成立, 得到一個(gè)恒假命題;,分別由假設(shè)與條件推得的兩個(gè)結(jié)論矛盾.,典型例題,用反證法證明下列各題:,1

3、.某班有 49 位學(xué)生, 證明: 至少有 5 位學(xué)生的生日同月.,2.若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 與 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一個(gè)方程有實(shí)根.,證: 假設(shè)至多有 4 位學(xué)生的生日同月, 即:,生日在 1, 2, , 12 月的學(xué)生人數(shù)都不超過(guò) 4 人.,則該班學(xué)生總數(shù) m412=48人,與該班有 49 位學(xué)生的條件矛盾,假設(shè)不成立.,至少有 5 位學(xué)生的生日同月.,1.某班有 49 位學(xué)生, 證明: 至少有 5 位學(xué)生的生日同月.,證: 假設(shè)這兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根, 則 10 且 20, 從而有:,1+20.,又1+2=(p12-

4、4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2),=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20,與 1+20 矛盾.,即 1+20,假設(shè)不成立.,故這兩個(gè)方程至少有一個(gè)有實(shí)根.,2.若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 與 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一個(gè)方程有實(shí)根.,與式相加得 -4a-2 ,與式相加得 -6a-4 ,顯然與矛盾,假設(shè)不成立.,a, b, c 三數(shù)均小于 1,證: 假設(shè) a, b, c 中至多有一個(gè)數(shù)不小于 1, 這包含兩種情況:,即 0a1, 0b1, 0c1, 則:,與已知條件矛盾;,也與已知條件矛盾.

5、,a, b, c 中恰有兩數(shù)小于 1, 不妨設(shè) 0a1, 0b1, 而 c1,假設(shè)不成立.,a, b, c 中至少有兩個(gè)不小于 1.,課堂練習(xí),3.方程 x2 -mx+4=0 在-1, 1上有解, 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.,1.證: 設(shè)三個(gè)方程的判別式分別為1, 2, 3,由 1+2+3=b2 -ac+c2 -ba+a2 -cb,即 1+2+3 0.,故所述三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.,1, 2, 3 中至少有一個(gè)非負(fù).,即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2. ,又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,與式矛盾.,假設(shè)不成立.,3.方程 x2 -mx+4=0 在-1, 1上有解, 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.,解: 先考慮 x2 -mx+4=0 在-1, 1上無(wú)解時(shí) m 的取值范圍.,包含兩種情況: 方程 x2 -mx+4=0 無(wú)實(shí)數(shù)解;,方程有實(shí)數(shù)解, 但解不在 -1, 1 上.,設(shè) f(x)=