1、一維定態(tài) 問題,13-4 一維定態(tài)問題,求解定態(tài)薛定諤方程，就是在已知勢函數(shù)的條件下，求出體系可能有的能量值和波函數(shù)。,一、無限深勢阱,質(zhì)量為m的粒子在外場中作一維運動，,勢能函數(shù)為：,定態(tài)薛定諤方程為：,當(dāng) x a 時，,求解定態(tài)薛定諤方程,令,代入薛定諤方程得：,此方程的通解為：,由于阱壁無限高，所以,由式（1）得 B = 0,波函數(shù)為：,由式（2）得,于是,即:,由此得到粒子的能量,稱為本問題中能量E 的本征值.,勢阱中的粒子其能量是量子化。,當(dāng) n = 1, 粒子具有最低能量,n叫作量子數(shù),稱為基態(tài)能級,與 E 相對應(yīng)的本征函數(shù)，即本問題的解為：,式中常數(shù)可由歸一化條件求得。,最后得到

2、薛定諤方程的解為：,得到,1 勢阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微觀世界特有的現(xiàn)象，經(jīng)典粒子處在勢阱中能量可取連續(xù)的任意值。電子(m=9.110-31千克)在寬為a=10的勢阱中運動，有En=0.38n2eV, En=0.75neV, 量子化明顯；若a=1cm,則En=0.7510-14eV ,量子化不明顯。,討論,2 能量為En的粒子在x-x+d x內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的概率,幾率密度分布,例題：在阱寬為a 的無限深勢阱中,一個粒子的狀態(tài)為,多次測量其能量。問,每次可能測到的值和相應(yīng)概率？,能量的平均值？,解：已知無限深勢阱中粒子的,則,多次測量能量(可能測到的值

3、),能量的平均值,概率各1/2,二、方勢壘的穿透 隧道效應(yīng),在經(jīng)典力學(xué)中,若 ,粒子的 動能為正,它只能在 I 區(qū)中運動。 即粒子運動到勢壘左邊緣就被 反射回去，不能穿過勢壘。,在量子力學(xué)中, 無論粒子能量是大于還是 小于 都有一定的幾率穿過勢壘，也有 一定的幾率被反射。,我們下面只就 時，討論薛定諤方程的解。,勢壘的勢場分布寫為：,在三個區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應(yīng)遵從的 薛定諤方程分別為：,定態(tài)薛定諤方程 的解又如何呢？,令：,定態(tài)解的含時部分：,三個區(qū)間的薛定諤方程化為：,若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波 反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)， 在III區(qū)只有透射波。粒子在

4、處的幾率要大 于在處出現(xiàn)的幾率。,其解為：,根據(jù)邊界條件：,時、空異號 為右行波,求出解的形式畫于圖中。,定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：,隧道效應(yīng),當(dāng) 時，勢壘的寬度約50nm 以上時， 貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應(yīng)在 實際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。, 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM,由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于 表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖?而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度越為1nm。,只要將原子線度的極細(xì)探針 以及被研究物質(zhì)的表面作為 兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的 距離非常接近時，它們的表 面電子云就可能重疊。,若在樣品與針尖 之

5、間加一微小電 壓Ub電子就會穿 過電極間的勢壘 形成隧道電流。,隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電 流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣 品表面的起伏。,Scanning tunneling microscopy,因為隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制針尖 高度不變，通過隧道電流的變化可得到表面電子態(tài)密度的分布；,使人類第一次能夠?qū)崟r地觀 測到單個原子在物質(zhì)表面上的排 列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān) 的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué) 和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的 意義和廣闊的應(yīng)用前景。,利用STM可以分辨表面上 原子的臺階、平臺和原子 陣列?？梢灾苯永L出表面 的三維圖象,48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.,隧道電流I與樣品和針尖間距離S的關(guān)系,利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)