1、（數(shù)學專題六） 指數(shù)與對數(shù)佛山一中 李向明一、內(nèi)容提要指數(shù)丞數(shù)和對數(shù)至數(shù)的增減性由于受到底是否大于1 的影響，往往須要分類討，所以，這類問題是培養(yǎng)、也是考查考生分類討論能力的一個很好的載體；解對表方程要求驗報，那只對含有參數(shù)的方程的根的討論如果不考慮相應的問題就容易造成錯誤。本專題除了復習一般的指數(shù)對數(shù)問題以外，將主要圍繞上述這些問題展開，幫助考生進一步認識這些問題，并掌握解決這些問題的方法。二、典型例題例 1、已知 n N， n1 ，比較 log n (n1) 與 log 1 (n2)的大小。n解： log n (nn 1n1n2，1) = log n (n *) = 1log nn1+ 1

2、 log1nnlog ( n 1)( n 2)n2log (n 1)n2n2= log (n 1) ( n 1) * = 1n而 log (n 1)n log (n 1) (n 2)n111（ n N， n1）log( n1)log (n 1) ( n2) 。u例 2、求至數(shù)1|1x| | x 3|y的單調(diào)區(qū)間。24解：設u | 1 x | x 3 |，則當 x-1 時， u=-2x+2；當 -1x0，a 1， t0，試比較1 log a t與 log a t1的大小。22解：設 M log at 11 log a tlog at1=log a 1( t1 )222t2t（ 1）當 t=1 時

3、，Mlog 1 0，logt11 logta22a 。第1頁共 4頁（ 2）當 t1 時，由平均值不變式，有1 ( t1 ) 1 于是2t（ 2.1）當 a1 時， Mlog a 10 log a t 11 loga t22（ 2.2）當 0abc0，求證 a 2a * b 2b * c2 ca bc * b c a * c a b。證明：a 2a * b 2b * c2 ca2 a bc * b2b ca * c2 c a b = aa bbb ccc aab c * bc a * c a bb* c*a用差比較法是“與 0 比較”，用商比較法則是“與1 比較”；用商比較法還要注意作為分母的

4、那個式子的符號， 如本例中 a b 1 * b ca * c ab0 是必須聲明的， 若小于 0，則要改變不等號方向。例 5、關于 x 的方程 ( x1)log 4a log 1 (3x) 有解，求實數(shù) a 的取值范圍。2log 2 alog 2 (3x)即 log 2 ( x1)log 2 (3x)1log2a解：原方程即 log 2 ( x 1)212變形為 log 2 ( x1) * (3x)log 2a故有 x24x 3a0由 =164(3a) 44 a 0得 |a|1即-1a1，此時，方程的兩根為444 a21ax1, 22符號 1x1,2 3 要求，所求的 a 的取值范圍是 0a1

5、。0 a1 后，忽視了“此對” 之說明：1 解此題的一個潛在的錯誤是在第一次得到后的一段討論。我們知道，因為解對數(shù)方程時，常常針用到非等價變形，所以，第2頁共 4頁解對數(shù)方程要求有驗根的步驟，這里的一段時討論起的就是“驗根”的作用。忽視了就可能導致錯誤（見練習 10）。2、本例在解到式后。還可采用數(shù)形結(jié)合法繼續(xù)：設y1x24x3, y2a在同一直角坐極系的內(nèi)畫出它們的國象，由圖可見，當且僅當 a=1 時，方程有一解： x=2，符合 1x3；當 0a2，求證：log a (a1) * log a ( a 1)1證明： a2,log a (a1)0, log a (a1)0且 log a (a1)

6、log a (a1)1y2a log a (a1) * log a (a1)log a (a 1) log a ( a1)21 log a1 log a a 2(a 21)1012322y1x 24xlog a (a1) * log a ( a 1)1。說明：兩個時數(shù)和積、 商往往不好處理， 但兩個同底的對數(shù)的和、 差卻較易處量。這里利用了平均值不等式巧妙地把積的問題較化為和的問題，值及借鑒。三、鞏固練習1、已知 1ab0，a 1，x0，y0 時，比較log a * log a 與log axyyx6、若 ab0，求證： a a* bba b * ba7、設 0x0，a1, 比較 | log

7、a (1x) | 與 | log a (1x) | 的大小。8、討論丞數(shù) f ( x)a|x| |x1| (a0) 的單調(diào)區(qū)間。第3頁共 4頁9、求證： lg 99 * lg 101 410、設 aR，討論關于 x 的方程 lg( x 1)lg(3x) lg( ax)的實數(shù)解的數(shù)目。四、練習答案或提示：、 logaalogbbloga logb 。 、（ ，。 、 xlg 3。 、 x25。1baba20 13lg 3lg 249y5、 log a1 log a 1log ax * log ay 。 6、提示：用商比較法。xyyx7、 | log a (1 x) | | log a (1x) | 。提示：差比較法和商比較法均可。8、當 0a1 時，在 (,0) 上丞數(shù)是減丞數(shù)，在 0，1）上丞數(shù)是常數(shù)丞數(shù)，在 1,丞數(shù)是增丞數(shù)。 9、提示：lg 99* lg101lg 99 lg 101lg 99 * 101lg 9999lg 100004222222x110、提示：先確定范圍x3，并把方程變形為 ( x 1)(3x)a x，xa即 x24x 3xa 畫出 yx2