1、歸納函數(shù)極限的計(jì)算方法1. 預(yù)備知識(shí)1.1函數(shù)極限的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或.2.求函數(shù)極限的方法總結(jié)極限是描述函數(shù)的變化趨勢(shì)，以基于圖形或直觀結(jié)合定義可以求出一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的極限；但是結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的函數(shù)的圖形不易畫出，基于直觀也就無(wú)法得出極限，本著化繁為簡(jiǎn)的思想，產(chǎn)生了極限的四則運(yùn)算法則；由“數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)則”和“迫斂準(zhǔn)則”產(chǎn)生了兩個(gè)重要極限和無(wú)窮小量的性質(zhì)有界函數(shù)與無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量；由中值定理得出了羅必達(dá)法則.以上也是我們求極限的理論依據(jù)，但在個(gè)依據(jù)下求極限又有各自的技巧.2.1依據(jù)函數(shù)極限的

2、迫斂性求極限函數(shù)極限的迫斂性 設(shè)，且在某內(nèi)有，則.例1求極限解：當(dāng)時(shí)，有而,由函數(shù)迫斂性可得同理可得時(shí),，即 注：依據(jù)函數(shù)極限的迫斂性求極限時(shí)，需判斷該函數(shù)的上下范圍，這時(shí)通常用到以下不等式：2.2 依據(jù)極限的四則運(yùn)算求極限依據(jù)極限的四則運(yùn)算法則求極限的題目，除了直接使用極限的四則運(yùn)算法則外，往往還有以下幾種類型：分母極限為0:可先采用“約簡(jiǎn)分式”或“分子、分母有理化”進(jìn)行恒等變形，將分母極限化為非零，然后再運(yùn)用法則：例2 求極限（和都是正整數(shù)）解：原式= =等未定型：因“”不是一個(gè)數(shù)，故該類型的題目不能直接使用運(yùn)算法則，但可以利用“無(wú)窮大量的導(dǎo)數(shù)”、“分式有理化”或“通分”等方法，將其轉(zhuǎn)化為

3、極限存在后，再運(yùn)用法則計(jì)算. 例3求極限解：原式= 2.3 依據(jù)兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要的極限:，.函數(shù)經(jīng)過一定變形，若能出現(xiàn)以下情況：時(shí)，也可采用重要極限來(lái)求.例4 求極限解：原式=例5 求極限解：原式=2.4依據(jù)等價(jià)無(wú)窮小替換求極限求函數(shù)極限，若能恰當(dāng)采用等價(jià)無(wú)窮小的代換，可以起到變難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用.需要記住一些常見的等價(jià)無(wú)窮小, 如當(dāng)時(shí): 例6 求極限解:原式 注:用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限時(shí)，應(yīng)注意只能用分子、分母整個(gè)部分去代換，或是把函數(shù)化成積的形式實(shí)行無(wú)窮小代換，對(duì)極限式的相加相減部分不能隨意替代.2.5 依據(jù)洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則:型不定式極限 若函數(shù)和滿足:(i);(i

4、i)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo), 且(iii)(可為實(shí)數(shù), 也可為或), 則型不定式極限 若函數(shù)和滿足:(i);(ii)在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo), 且(iii)(可為實(shí)數(shù), 也可為或), 則因此函數(shù)為型，通常可采用此法，如下：例7計(jì)算極限解：原式注：“洛必達(dá)法則”是求函數(shù)極限的有力工具，但在運(yùn)用中，由于積、商、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)會(huì)使分子、分母的項(xiàng)數(shù)增加, 導(dǎo)致求極限過程繁瑣，因此用法則求型的極限是不夠的，需綜合運(yùn)用其它方法才能發(fā)揮作用.2.6 依據(jù)麥克勞林展開式求極限一般常見函數(shù)的麥克勞林公式:利用洛必達(dá)法則求型極限時(shí)，其結(jié)果是化成某階導(dǎo)數(shù)的比，而麥克勞林展開式的各項(xiàng)系數(shù)正分別含著各階導(dǎo)數(shù)的值

5、，因此對(duì)型函數(shù)極限也可采用此法.例8 求極限解：原式=注：若本題采用洛必達(dá)法則去做，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過程繁雜.2.7 運(yùn)用函數(shù)的連續(xù)性求極限函數(shù)的連續(xù)性定義: 設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義, 若,則稱在點(diǎn)連續(xù). 若函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都連續(xù), 則稱為上的連續(xù)函數(shù).例9 計(jì)算極限思路：為連續(xù)函數(shù), 為的定義區(qū)間上的一點(diǎn)，則.解：原式=2.8 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)的定義: 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義, 若極限存在, 則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), 并稱該極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù), 記作. 若函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)(對(duì)區(qū)間端點(diǎn), 僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)), 則稱為上的可導(dǎo)函數(shù).例10 計(jì)算思路：對(duì)具有或形式的極限，可由

6、導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)進(jìn)行計(jì)算.解：原式=2.9運(yùn)用定積分的定義求極限定積分的定義: 設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù), 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任意給的正數(shù), 總存在某一正數(shù), 使得對(duì)的任何分割, 以及在其上任意選取的點(diǎn)集, 只要, 就有則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積;數(shù)稱為在區(qū)間上的定積分或黎曼積分, 記作例11 計(jì)算思路：和式極限，利用定積分定義求得極限.解：原式 2.10 運(yùn)用微分中值定理求極限拉格朗日中值定理: 若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.例12：計(jì)算思路：對(duì)函數(shù)在區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式 （其中在區(qū)間內(nèi)）綜上所述，求極限時(shí)，