1、【鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)】 一、選擇題一、選擇題 1. 設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為（1，2，1） ， （-1，1，2） ，則下列向量中是平面的法向 量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，- 1，-1） 2. 如圖，是正方體，則與所成角的余弦值是 1111 ABCDABC D 11 1111 4 AB B E =D F= 1 BE 1 DF （ ） A B 17 15 2 1 CD 17 8 2 3 3. 如圖，是直三棱柱，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)， 111 ABCABC90BCA 11 DF、 1111 ABAC、 若，則與所成角的余弦值是（

2、） 1 BCCACC 1 BD 1 AF AB 10 30 2 1 CD 15 30 10 15 4. 若向量與的夾角的余弦值為，則( )(12)a，(21 2)b， 8 9 A B C或D2 或222 2 55 2 55 5. 在三棱錐中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，PABC、ABBC 1 2 AB=BC=PAOD、ACPC、 底面，則直線與平面所成角的正弦值（ ）OPABCODPBC A B 6 21 3 38 C D 60 210 30 210 6.（2015 秋 湛江校級(jí)期末）在正四棱錐 SABCD 中，O 為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P 為側(cè) 棱 SD 的中點(diǎn)，且 SO=OD，則直線 BC 與平面 P

3、AC 的夾角是（ ） A30 B45 C60 D75 7. 在三棱錐中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，PABC、ABBC 1 = 2 AB BCPAOD、ACPC、 底面，則直線與平面所成角的正弦值是（ ）OPABCODPBC A B C D 21 6 8 3 3 210 60 210 30 二、填空題二、填空題 8若平面的一個(gè)法向量為，直線 的一個(gè)方向向量為，則 與所成330n、l111=b、l 角的余弦值為 _ 9正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所 1111 ABCDABC DEF、 1 ABCC、EF 11 AC 成角的大小是_. 10. 已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長等于 2 的等邊三角

4、形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為 . 11. 如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等 腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF ，則平面和平面的夾角余弦BDFABD 值是_. 三、解答題三、解答題 12. 如圖，點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，.P 1111 ABCDABC D 1 D B60PDA （）求與所成角的大小；DP 1 C C （）求與平面所成角的大小.DP 11 A ADD 13. 如圖，四棱錐的底面是菱形，其對(duì)角線，F(xiàn)ABCD ABCD 2AC 2BD AE 都與平面垂直，求平面與平面的夾角大小.CF

5、 ABCD 1AE 2CF ABFADF 14. 如圖（1） ，在 Rt中，90，3，6，分別是，ABCCBCACDE、AC 上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使ABDEBC2DE、ADEDE 1 A DE ，如圖（2） 1 A CCD (1)求證：平面； 1 A CBCDE (2)若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大?。籑 1 A DCM 1 A BE (3)線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？說明理由BCP 1 A DP 1 A BE 15(2016 浙江理)如圖，在三棱臺(tái) ABC-DEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB90， BEEFFC1，BC2，AC3 ()求證：EF平面 ACFD；

6、()求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值. 【答案與解析答案與解析】 1.【答案】B 【解析】排除法. 平面的法向量與平面內(nèi)任意直線的方向向量垂直，即它們的數(shù)量積為零. 排除 A，C，D，選項(xiàng)為 B. 2.【答案】A 【解析】設(shè)正方體的棱長為 1，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則DD-xyz 11 31 (1,1,0),(1,1),(0,0,0),(0,1) 44 BEDF 所以， 1 31 (1,1)(1,1,0)(0,1) 44 BE ， 1 11 (0,1)(0,0,0)(0,1) 44 DF ， 1 17 4 BE ， 1 17 4 DF ， 11 1115 0 0() 1

7、 1 4416 BEDF 所以， 11 11 11 cos, 15 15 16 . 171717 44 BEDF BE DF BEDF 因此， 1 BE與 1 DF所成的角的余弦值是 15 17 3.【答案】A 【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)建立的空間直角坐標(biāo)系，C 則 111 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,1,1 ,ABCAB 由中點(diǎn)公式可知， 11 1 11 101 2 22 DF 、 ， 11 111 101 222 BDAF 、 . 11 1 -1 30 4 cos 1035 24 BDAF A 、 4.【答案】C 【解析】由可得，即，cos=a ba bab

8、A、 2 5510840 25520 即或.2= 2 55 = 5.【答案】D 【解析】 . 22214214 ,0,0 ,0,0 ,0,00 0.,0, 222244 OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABa AaBaCaPDaa 平面， ， 以為原點(diǎn)，射線為非負(fù)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 設(shè)，則 ， 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 cos,. 30 210 sincos, 30 210 . 30 ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n ODPBC 可求得平面的法向量 設(shè)與平面所成的角為， 則 與平面所成角

9、的余弦值為 6.【答案】A 【解析】如圖，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 OA 為 x 軸，OB 為 y 軸，以 OS 為 z 軸，建立空間直角 坐標(biāo)系 Oxyz。 設(shè) OD=SO=OA=OB=OC=a， 則 A（a，0，0） ，B（0，a，0） ，C（a，0，0） ，(0,) 2 2 a a P 則，(2 ,0,0),(,),( , ,0) 2 2 a a CAaAPaCBa a 設(shè)平面 PAC 的一個(gè)法向量為，n 則，0,0n CAn AP ，可取， 20 220 ax ayaz (0,1,1)n ， 2 1 cos, 2| | 22 CB na CB n CBn a ，,60CB n 直線 BC

10、 與平面 PAC 的夾角為 9060=30 故選 A。 7.【答案】D 【解析】 . 222 ,0,0 ,0,0 ,0,0 . 222 0,0,. OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABaAaBaCa OPhPh 平面， ， 以為原點(diǎn)，射線為非負(fù)軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 設(shè)，則 設(shè)，則 2 , 7 , 2 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 cos,. 30 210 sincos, 30 . PAa ha ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n 可求得平面的法向量 設(shè)與平面所成的角為， 則 8.【答案】 3 3

11、 【解析】 由，知 與所成角的余弦值為 22 (3,3,0) (1,1,)6 cos 3 331 1 1 n,bl . 63 1 93 9.【答案】30 【解析】 以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖所示） ，設(shè) B（2，0，0） ， 則 E（1，0，0） ，F(xiàn)（2，2，1） ，C1（2，2，2） ，A1（0，0，2） ， ，(1,2,1)EF 11 (2,2,0)AC ， 11 11 11 (1,2,1) (2,2,0)3 cos, 2| |6 2 2 EF AC EF AC EFAC z y x P O D C B A . 11 cos,30EF AC 10.【答案】 3 4 【解析】本題考查了

12、立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角. 過 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，連結(jié) SE，過 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，連 BF，正三角形 ABC， E 為 BC 中點(diǎn)， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC， ABF 為直線 AB 與面 SBC 所成角，由正三角形邊長 3， 3AE ，AS=3， SE=2 3，AF= 3 2， 3 sin 4 ABF . 11.【答案】 3 11 11 【解析】 因?yàn)锳BE 為等腰直角三角形，AB=AE， 所以 AEAB. 又因?yàn)槠矫?ABEF平面 ABCD，AE平面 AB

13、EF， 平面 ABEF平面 ABCD=AB， 所以 AE平面 ABCD. 所以 AEAD. 因此，AD，AB，AE 兩兩垂直，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系 A-xyz. 設(shè) AB=1，則 B（0，1，0） ，D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ). 因?yàn)?FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90. 從而， 1 1 (0, ) 2 2 F. 所以， 設(shè)平面 BDF 的一個(gè)法向量為 1 n ，并設(shè) 1 n =（x，y，z）. ，1 10BD= 、 3 1 0 2 2 BF= 、 ， 由 得 0 0. n BD n BF A

14、 A 、 0 31 0. 22 x y yz 、 取 y=1，則 x=1，z=3.從而 1 n113 （，）. 由 AE平面 ABCD 可知，平面 ABD 的一個(gè)法向量為 ， 0 01AE= 、 設(shè)平面和平面的夾角為，則BDFABD . 1 0033 11 coscos 1111 n AE= 、 12.【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為單位長，則DDxyzDA =，=. 連結(jié)，在平面 BB1D1D 內(nèi)，延長 DP，交于點(diǎn) H，BD 11 B D 11 B D 設(shè)=( m 0 )， 由條件知 = 60. 由=|cos ， 可得 2m =. 解得 m =.所以=. （）因?yàn)?cos=

15、， 所以=，即與所成的角的大小是 45.DP 1 CC （）因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量是， 又 cos=， 所以=. 即與平面所成角的大小為 60.DP 11 A ADD 注意：由于點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線D1B上且PDA=60，直接設(shè)點(diǎn)P的 坐標(biāo)則會(huì)出現(xiàn)多個(gè)變量，因?yàn)樗蟮膬蓡柖际乔笈cDP相關(guān)的角度問題，因此根據(jù)點(diǎn)P的位 置特征只確定DP所在的直線的位置即可，因此出現(xiàn)上面解法. 顯然盡管求解過程是用向量 的坐標(biāo)方法，但空間想象與思辨論證的要求并沒有降低，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生全面的幾何方法的 考查. 13.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)平面的法向量為，ABF

16、 則由得 令，得. 同理，可求得平面的法向量.ADF 因?yàn)?，所以平面與平面垂直.ABFADF 所以平面與平面的夾角.ABFADF 2 14.【解析】 15.【解析】 ()延長 AD，BE，CF 相交于一點(diǎn) K，如圖所示 因?yàn)槠矫?BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 BFAC 又因?yàn)?EFBC，BEEFFC1，BC2， 所以BCK 為等邊三角形，且 F 為 CK 的中點(diǎn)，則 BFCK 所以 BF平面 ACFD ()方法一： 過點(diǎn) F 作 FQAK，連結(jié) BQ 因?yàn)?BF平面 ACK，所以 BFAK，則 AK平面 BQF，所以 BQAK 所以，BQF 是二面角 B-AD-F 的平面角 在 RtACK 中，AC3，CK2，得 3 13 13 FQ 在 RtBQF 中，得 3 13 3 13 FQBF， 3 cos 4 BQF 所以，二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值為 3 4 方法二： 如圖，延長 AD，BE，CF 相交于一點(diǎn) K，則BCK 為等邊三角形 取 BC 的中點(diǎn) O，則 KOBC，又平面 BCFE平面 ABC，所以，KO平面 ABC 以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以射線 OB，OK 的方向?yàn)?x，z 的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 由題意得 ，(1 0 0)( 1 0 0)(0 03)BCK