1、課題： 正弦定理、余弦定理（2）教學(xué)目的：1掌握正弦定理、余弦定理；2使學(xué)生能初步運(yùn)用它們解斜三角形，并會解決斜三角形的計(jì)算問題教學(xué)重點(diǎn)： 正弦定理、余弦定理的運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)： 正弦定理、余弦定理的靈活運(yùn)用授課類型： 新授課課時(shí)安排： 1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1 正弦定理 ：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即abcsin a=2r（ r 為 abc外接圓半徑）sin bsin c2 正弦定理的應(yīng)用從理論上正弦定理可解決兩類問題：1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角（見圖示）已知a, b 和a

2、, 用正弦定理求b 時(shí)的各種情況 :若 a 為銳角時(shí) :ab sin a無解absina一解 (直角 )bsinaab二解 (一銳 , 一鈍 )ab一解 (銳角 )已知邊 a,b 和accccbbbbaaaaaaaaahbb1 hb2hbach=bsinaa=ch=bsinach=bsinaaba b無解僅有一個(gè)解有兩個(gè)解僅有一個(gè)解ab無解若 a 為直角或鈍角時(shí):a b 一解 (銳角 )3在 rt abc 中(若 c=90 )有： c2a 2b2在斜三角形中一邊的平方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關(guān)系呢？二、講解新課：1余弦定理 ：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角

3、的余弦的積的兩倍第 1頁共 5頁即 a 2b 2c 22bc cos acos ab2c 2a 22bcb 2c 2a 22ac cos bcos bc 2a 2b22cac2a2b22ab cosccosca 2b2c 22ab 問題 對于任意一個(gè)三角形來說，是否可以根據(jù)一個(gè)角和夾此角的兩邊， 推導(dǎo) 如圖在 abc 中， ab 、 bc 、 ca 的長分別為 c 、 a 、 b ac ab bc ac ? ac( abbc) ? ( abbc)b22aab2 ab ? bc bcc22 | ab | ? | bc | cos(180b)2abbcc22ac cos ba 2即 b2c2a 2

4、2ac cos b同理可證 a2b 2c22bc cos a， c2a 2b22ab cosc求出此角的對邊？cab2 余弦定理可以解決的問題利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（ 1）已知三邊，求三個(gè)角；（ 2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角三、講解范例：例 1 在abc中，已知a 7， b10， c6，求 a、b 和 c解：b2c2a2 a 44cos a2bc 0 725，a2b2c2 0 8071， c 36 ,cosc2ab b 180 (a c) 100( sinc c sin a 0 5954, c 36 或 144 ( 舍 ) )a例 2 在abc中，已

5、知 a 2 730， b 3 696，c 82 28，解這個(gè)三角形第 2頁共 5頁解： 由 c 2a 2b 22ab cosc ，得 c 4 297 cos ab 2c2a 2 0 7767， a 392 ,2bc b 180 (a c) 5830( sina a sin c 0 6299 ， a=39 或 141 ( 舍 ) )c例 3abc三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (6 ，5) 、 ( 2， 8) 、 (4 ， 1) ，求 a解法一： |ab| 6 ( 2) 2(5 8) 273b87|bc| ( 2 4)2(8 1)28565a4|ac| (6 4)2(5 1) 22 5321222c-4-224

6、68abacbc2cos a2 abac=365 a 84解法二：ab ( 8， 3) ， ac ( 2， 4) cosa ab? ac = ( 8)( 2)3 ( 4)2abac732 5365, a 84例 4 設(shè) a =(x1, y1)b =(x2, y2)a 與 b 的夾角為（ 0 ），求證： x1x2+ y1y2=| a | b |cos證明：如圖，設(shè)a , b 起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為a， b則 a=(x1, y1)b=(x2 , y2)ab = ba在 abc中，由余弦定理| ba | 2=|a | 2+| b | 22| a |b | cos | ba | 2=|ab | 2=|(x

7、 2-x1, y2-y1)| 2=(x2-x1)2+( y2-y1)2| a |21212， | b |22222=x+y= x +y (x2-x1)2+( y2-y1)2= x12 +y12+ x22+y222| a |b | cos第 3頁共 5頁 x1x2+ y1y2=| a | b |cos即有 a ? b = x1x2+ y1y2=| a | b |cos四、課堂練習(xí) ：1在 abc中， bcosa=acosb，則三角形為 ( )a 直角三角形b 銳角三角形c 等腰三角形d 等邊三角形2在 abc中，若 a2 b2+c2，則 abc為；若 a2=b2+c2，則 abc為；若 a2 b

8、2+c2 且 b2 a2+c2 且 c2 a2+b2，則 abc為3 在 abc中， sina=2cosbsinc，則三角形為4 在 abc中， bc=3， ab=2，且 sin c2 ( 6 1) ，a=sin b5參考答案：1 c2 鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形3 等腰三角形4 120五、小結(jié)余弦定理及其應(yīng)用六、課后作業(yè) ：1 在 abc中，證明下列各式：（1）（ a2 b2c2） tan a（ a2 b2 c2）tan b 0(2)cos 2acos2b11 .222b2aba證明： (1) 左邊（ a2b2 c2） sin a(a 2b2c2 ) sin bcos acos b(

9、a 2b2c 2 )a2bca 2(a 2b 2c2 )b2acb22r b 2c22r a2c22abc(b2c2a2 )a 2c2b22rb2c2a 2a 2c2b2abc (11)0右邊r故原命題得證(2)左邊12sin2a12 sin2 ba 2b 2(112sin 2a2sin 2 ba2b2 )(2r)2sin2a( 2r)2sin2b112211右邊a2b 2( 2r) 2(2r)2a 2b 2故原命題得證2 在 abc中，已知 sin bsin c cos 2 a ，試判斷此三角形的類型2解： sin b sin ccos 2 a , sin bsin c 1cos a22 2sin b sin c 1cos 180（ b c）將 cos （ b c） cos bcos csin bsin c代入上式得cos bcos csin bsin c 1,cos （ bc） 1又 0 b， c ， b c b c 0 b c第 4頁共 5頁故此三角形是等腰三角形3 在 abc中， bcosa acosb 試判斷三角形的形狀解法一：利用余弦定理將角化為邊bcos a acos b , b b 2c2a2a a 2c 2b 22bc2acb2 c2 a2 a2 c2 b2, a2 b2, a b，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)