1高等數(shù)學(xué)習(xí)題冊(cè)參考答案說(shuō)明本參考答案與現(xiàn)在的習(xí)題冊(cè)中的題目有個(gè)別的不同，使用時(shí)請(qǐng)認(rèn)真比對(duì)，以防弄錯(cuò)第一冊(cè)參考答案第一章111圖形為,2,0,2101101TTTTAVTTAVAV2B3，21XFXFXF其中為偶函數(shù)，而為奇函數(shù)F21XFG456,0,4,2,2XXF,、XGFGF6無(wú)界7（1）否，定義域不同；（2）否，對(duì)應(yīng)法則不同；（3）否，定義域不同121（1）；（2）；（3）,0,D,2ZKKXD1,0D23,4BA,0,1,XGF1,XEXFG4（1）；（2）2,1RCSIN2XY02,TALOGKD5（1）；（2）6XF1XF1HRVH,2317（1）；（2）；（3）H2AX1191EA2（1）和都是無(wú)窮間斷點(diǎn)（屬第類）；X（2）和是間斷點(diǎn)，其中1是可去間斷點(diǎn)（極限為）（屬第類）；,0X210是跳躍間斷點(diǎn)（左極限，右極限1）（屬第類）；1是無(wú)窮間斷點(diǎn)（屬第類）；2（3）為無(wú)窮間斷點(diǎn)（屬第類），為跳躍間斷點(diǎn)（屬第類）0X1X（注意，而）；EX1LIM0LIME（4）為無(wú)窮間斷點(diǎn)（屬第類）；2ZK（5）為無(wú)窮間斷點(diǎn)（屬第類）；,0,1LIXNXFX（6），為第類間斷點(diǎn)，LI,01FFX1（注意這類間斷點(diǎn)既不叫無(wú)窮間斷點(diǎn)，也不叫跳躍間斷點(diǎn)，不要亂叫）；，為跳躍間斷點(diǎn)（屬第類）100LIM,LIEXFFX0X3（1）；（2）4（1）；（2）,BA,AB1F0F5證由，得，于是，再由2FFF，LIMLILIM000FXFXFXXX在點(diǎn)連續(xù)F1101在內(nèi)連續(xù)，則；又，則，故選DXF,ALIXFB2；（0是連續(xù)點(diǎn)），,23,210F（3是可去間斷點(diǎn)），582133LIMLILIMXXXXF（2是無(wú)窮間斷點(diǎn)）223（1）；（2）0；（3）（提示原極限，而AEXEXEXLNIMLN00I）；1LNI、XEX21LI1LNI0、XXX（4）（提示原極限，而21EXXE2SINCOL0M）；21COS10COS10COS1LNSINCOL0LIML222XXX注意（3）和（4）都用到了等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，1N（5）1；（6）不存在（左極限，右極限）4（1），；（2）任意，AEBAB1111令，則在上連續(xù)，且，SINXXFXF,00BF若，則就是一個(gè)正根；SIN1BABABAFA若，則由零點(diǎn)定理，在內(nèi)有一正根總之，在0FF,XF內(nèi)有一正根,32作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，且，XFXFF,BA0AFFB，由零點(diǎn)定理，使得，即0F,03由題設(shè)在上連續(xù)，設(shè)分別為在上的最大值和最小,1NMM、XF,1N值，則，于是，由介值定理可知FXFFCMN2，使得，即,1BAXNC21NXFFF4令，則在上連續(xù)若，則FFF,0A0A取，命題成立；設(shè)，則由，而00FAF2AFA，所以，與異號(hào)，于是，由零點(diǎn)定理可知FF，使得，即，命題成立,FFF第一章總復(fù)習(xí)題1230,1,2XXF2SINX,E4證，對(duì)于事先給定的無(wú)論多么小的正數(shù)，都存在正數(shù)，只要AFXLIM0，就必有成立（這就是函數(shù)極限的“定義”）；AXF又，對(duì)中的正數(shù)（因這樣的正數(shù)是任意的），必存在LI00NN自然數(shù)，只要，就必有成立（這就是數(shù)列極限的“定義”）N0XNN但對(duì)任何，所以這時(shí)也就有成立0XN0XN把兩步結(jié)合起來(lái)就是從推回到對(duì)于事先給定的無(wú)論多么小的正數(shù)，（由，從而由）必存在自然數(shù)，只要，（同時(shí)成立）就必有成立AFN故由極限的定義可知XFNLIM附注本題是函數(shù)極限與數(shù)列極限相結(jié)合的題目，抽象且有點(diǎn)難，但提供了一個(gè)重要的求極限的方法，即數(shù)列極限可作為函數(shù)極限的特殊情況來(lái)處理，比如下面（用到了0時(shí)，E1）,AXXEXAALLI1LI1LIM0LN00NNLN1LIMLILI5（1）；（2）；（3）5，321,05316提示因在上連續(xù)，而XFBA，AXMIN,2,FMBDFCK對(duì)在上用介值定理F,7（1）（提示每個(gè)括號(hào)通分，分子因式分解，并與分母約分，再整理得）；2N214（2）（提示給極限式子乘，打開(kāi)括號(hào)得，并利用一個(gè)重要結(jié)果A11A14NA）；0LIMQN（3）（提示分子、分母都利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式1減公比分之首項(xiàng)減去末AB1項(xiàng)乘公比，再利用（2）中的重要結(jié)果）；（4）（提示有理化，分子、分母再同除以或利用重要結(jié)果當(dāng)2N時(shí)，0,0B）；0,LIMLIM00210MKNBANNAABAKMNKK（5）（提示利用重要極限）；T（6）（提示分母就是，再拆分）；2X2SI2（7）（提示有理化，再利用（4）中重要結(jié)果）；BA（8）4（提示分子減1加1并拆分，再利用等價(jià)無(wú)窮小代換0時(shí)，2）；COS1（9）（提示原極限）；EEEXXX220TANLLIMIM、（10）（提示分子因式分解，先分出個(gè)因式并與分母約簡(jiǎn)，再分出個(gè)因21N1式仍可與分母約簡(jiǎn)，聰明的人一下子就可分出因式）；121X（11）（提示令，則原極限，再利用重要極限）2XT2COSINL0TTT8提示把根號(hào)進(jìn)行放縮得不等式，并注意NNNAAAA21（會(huì)推證嗎），再用夾逼定理（或叫夾擠準(zhǔn)則，俗稱“兩頭夾”）1LIMN第二章261（1）；（2）；（3）；COS2IXYY12XYEYYX（4）（兩端取對(duì)數(shù)）；（5）（兩端取對(duì)數(shù)或利LNXLN用一個(gè)重要公式若，則）XGFLXFXGGFFY；（6）（利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法）1211222XXXX2（1）；（2）3Y123324YXY53（提示令，則原方程變?yōu)锳RCTN2XYFYXXYVU,ARCTN、，兩端對(duì)求導(dǎo)得，再解出）UFYFXYV2114提示求出一、二、三階導(dǎo)數(shù)，代入左端化簡(jiǎn)5切線方程；法線方程152Y125X6（1）；（2）7（1）；（2）T31COSTA1TF8（提示第二個(gè)方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，解出ETT0DYEYTD，并代入之中再約簡(jiǎn)）EETT22TXYD9在時(shí)刻，甲船所走路程，乙船所走路程，TS401S302兩船間的距離為，TTTTD532兩船間的距離增加的速度為10設(shè)，則由木桿勻速前移知（為常數(shù)），YOPXN,CTXD由題圖知，即，從而AMNOATXMNOATYD可見(jiàn)為常量，即點(diǎn)前移的速度是勻速的TYD271（1）增量為009，微分為01；（2）增量為00099，微分為001評(píng)注結(jié)果表明愈小，則愈接近，這就是微分的數(shù)量特征；XYD、微分的幾何特征是“以直代曲”2（1）；（2）；（3）；（4）CX3CX2COS1CEXCX2ARCTN13（1）；（2）；（3）；（4）DAD42D4（1）；（2）；XD13LNSITTT5325LN32（3）5XSECTA8210第二章總復(fù)習(xí)題1A、E2在處可導(dǎo)必連續(xù)由連續(xù)有，求極限得XF002SINLIMLI00FXBEXAX；由可導(dǎo)有所以，1B,2LIM,1,01SINXFAFF、263由存在，則存在且相等而，0F0FF、XFXXFF00LIMLI0，LIMLILIM000FFXFXXFFXXF要使，只有F4（1）；（2）（提示221XAXLN12XXXEYLN，再利用指數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；或者利用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法）；XL（3）則時(shí)，；時(shí)，；,1EFXXXEF11XEF時(shí)，則在處不可導(dǎo)1LIM1LI1FFXEXX（4）；（5）,；TETTT222SINCO4SINCOI（6）（提示分母因式分解，并拆分，再求導(dǎo)）61510010XX5，G1SIN1LIMLI20XGX時(shí)，012COSIN6，0LILI,010FFFXXX所以，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，從而必在處連續(xù)XF評(píng)注2、3、4（3）、5、6都涉及函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，特別是分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的定義以及左右導(dǎo)數(shù)的概念起到關(guān)鍵的作用，務(wù)必要高度注意7（1）由，得XYFYF20F當(dāng)時(shí)，由已知并由導(dǎo)數(shù)定義，得0YXF，YFFK00LIMLIKXXFYFXFY2LIM0故對(duì)一切，皆可導(dǎo)，且,XK2（2）由，知，再由，得KF2CKXF2FF第三章331023、XXEXF211112、XXNN34（1）（提示分母的，從而只需276XXF6SI把分子的展開(kāi)到階）；（2）（提示把分子的和都展開(kāi)到SIN3CO2XE7階）4X341（1）單減，單增；（2）單增，單減,021,1X,43AX,43AX2（1）證利用拉格朗日中值定理令，則EFEFEF000證利用單調(diào)性令，則1EFX1X當(dāng)時(shí)，從而單調(diào)減；而當(dāng)時(shí)，從0XF0XF而單調(diào)增故對(duì)一切，即要證的不等式成立FF評(píng)注雖抽象，但更簡(jiǎn)潔；雖通俗，但稍顯麻煩（2）令1SEC2IN,2SECO,2TANSIXXFF當(dāng)時(shí)，單調(diào)增單調(diào)增，20X0F0FFXF故當(dāng)時(shí)，即要證的不等式成立（好好體會(huì)推理過(guò)程）F評(píng)注本題與（1）和下面的（3）的不同之處在于需兩次利用單調(diào)性（3）參考上題方法或用泰勒公式利用單調(diào)性方法令，則31TANXXF，TANT1SEC222XXF當(dāng)時(shí)，所以，單調(diào)增，故當(dāng)時(shí)，00FF20FF利用泰勒公式令，則，XFTANF2SEC，XXTSEC2，1TAN4T3SECAN322XF（很麻煩），X234SECT8T8T1、0420TA431XXRXFFFFF當(dāng)時(shí)，故成立204F31TAN評(píng)注對(duì)本題而言，似乎簡(jiǎn)單一些，但對(duì)而言，得到泰勒公式（實(shí)際上是麥克勞林公式）后，其結(jié)果卻更顯而易見(jiàn)擅長(zhǎng)泰勒公式（或麥克勞林公式）的同學(xué)建議用，其它幾個(gè)題目也有類似的情況總之，此類方法要好好掌握（4）參考（1）題方法或用泰勒公式，而414321LXXX（介于0與之間），故4143XXR32LN3原不等式化為，設(shè)，則所以，當(dāng)ALNLXFLNXF時(shí)，E，從而單調(diào)減，故，即原不等式成立0XFXFALL評(píng)注把要證的不等式先等價(jià)轉(zhuǎn)化再利用單調(diào)性的方法會(huì)大大簡(jiǎn)化84不一定，例如，在內(nèi)單增，但在XFSIN,XFCOS1內(nèi)不單調(diào),5單增，單減；，無(wú)極小512X,51202524MAX512FF6函數(shù)處處連續(xù)，有一個(gè)駐點(diǎn)和兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；FY32AXYAX為極小值，也是最小值；為極大值，但無(wú)最大值0AF340F7在上函數(shù)單減，故最大，最小1,4F18令，則應(yīng)有，XBXF2LN0BF0142BFA求得，；而極小，極大361F29提示因函數(shù)處處可導(dǎo)，而可導(dǎo)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)但當(dāng)CXXF3，即時(shí)無(wú)零點(diǎn)03422ACCAAC351時(shí)，凸；時(shí)，凹；拐點(diǎn)1,0X,1X7,12，各有兩個(gè)拐點(diǎn)382K23,0,CBA4，的點(diǎn)，不存在的點(diǎn)；TY4320YTYT有三個(gè)拐點(diǎn)，,1,04,13361其圖形如下所示2點(diǎn)處曲率半徑有最小值,2LN234（1）鉛錘漸近線兩條和；水平漸近線一條；X1Y（2）鉛錘漸近線；斜漸近線E1XY第四章411（1）；（2）；XEX2COS3CXX322,（3）；（4）C4121LNY2（1）；（2）；（3）123447；XXARCTN39（4）；（5）；（6）；CX72LN1CXARCSIN2RT3CEX15LN1（7）；（8）；（9）；（10）COTXSETANXCOSIXTA421（1）；（2）；CXLN414CBAXNN121（3）；（4）；（5）；ARCSITXLN10LNRCOS2（6）；（7）；（8）2CX2SI2ARCTXE12（1）；（2）；（3）；X23O942（4）；（5）X1LN33331；CX4ARCSIN221（6）提示令（只需即可），則SIT20T原式（很巧妙）DDCOSIN21COSINS1COINTTTTCXXT1LARISL221、第五章511提示把區(qū)間等份，每份長(zhǎng)都是，每個(gè)小區(qū)間都取右端N,0N1,1NINI點(diǎn)，則AAAAXANNIL1LLMLIMLD111附注其中利用了分解式（上式中）；2NNBBNB利用了等價(jià)無(wú)窮小代換0時(shí)，1ALNA2（1）極限中的和式相當(dāng)于把區(qū)間等份，每份長(zhǎng)都是，每個(gè)小區(qū)間,0N1,1NI都取右端點(diǎn)，函數(shù)在所取點(diǎn)處的值再乘以小區(qū)間的長(zhǎng)度并,2NIXF把它們加起來(lái)的結(jié)果（這種和有個(gè)名稱，叫“積分和”），于是，按定義原極限；10DX（2）同理，極限中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的積分和，于是，按定義XFSIN1,0原極限另外，該極限式子又可變?yōu)?，暫不管，而這10SINXNI1SLM1極限中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的積分和，所以，仍按定義又有XFSIN,0原極限（同一式子導(dǎo)致兩種不同的表示說(shuō)明“會(huì)看看門道”的道理）01DI3（1）不可積，無(wú)界；（2）可積，連續(xù)4（1）；（2）0DSINX12DX10521（1）（提示在上，再利用定積分的估值不等211052D2X1,02152X式性質(zhì)）；（2）（提示在上，42DEE2,0，再利用定積分的估值不等式性質(zhì)，注意下限大，而上限?。?41EEX2（1）反證法若存在一點(diǎn)，使，則由題設(shè)可知，必有，,0BAX0XF0XF又因連續(xù)，從而存在的一個(gè)鄰域，在這鄰域內(nèi)F,于是，就有；但另一方面，又由題設(shè)可知D0XF，矛盾故對(duì)一切，都有，即在00BAXF,BAX0XF上，,BA（2）證由題設(shè)可知存在一點(diǎn)，使，從而存在的一個(gè)鄰域,0BAX0F0，在這鄰域內(nèi)于是，就有，故,0XFD0XFDD0XBAF（3）這是（1）的直接推論3提示先對(duì)定積分用“積分中值定理”再取極限也可以“兩頭夾”01SINSI1SINI010NXX531（1）0；（2）；（3）；（4）；（5）TE0D2F0,2XEXEYCOS2（1）；（2）8123XXCOSSINCOSINCOS223（1）2（連續(xù)用兩次洛必達(dá)法則，還可先把分母等價(jià)無(wú)窮小代換后再用洛必達(dá)法則）；（2）提示時(shí)，所以，0IN12XEXART原極限；01LNIMLIDLIM20N021L022XTXXX、（3）原極限；LIDLILI022200XXTXXTXEEE、注意在極限的運(yùn)算過(guò)程中，極限為1的變量式子直接“抹掉了”（想想合法嗎）21X（4）原極限LIM1D0AFXFTFAXX、4（1）原式；（2）原式；4SIN201D210X（3）原式；（4）原式11D32X3825當(dāng)時(shí)，；,X2310T11當(dāng)時(shí)，（這一步是關(guān)鍵）2,1XXTTX1102D612故顯然，在內(nèi)連續(xù)（顯然嗎）,6123,06當(dāng)時(shí)，；,XD00XXTTF當(dāng)時(shí)，；0COS1SIN221當(dāng)時(shí)，,XXTTTF00I1故,1,COS2XX7先用一次洛必達(dá)法則得，因分子極限為0，所以分母極限也一定是0BAXCOSLIM20（想想為什么），從而；這時(shí)分母，再一次取極限得XS1214A8提示當(dāng)時(shí)，只需證分子即可于是，若令,BAX2DAXTFFF，則，XTFFGDXFXFFFG因在內(nèi)，所以，在內(nèi)，從而在內(nèi),0,B0,BA0AG571（1）（連續(xù)兩次分部積分，并注意會(huì)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，再移項(xiàng)求解）；（2）2P2收斂；發(fā)散；當(dāng)時(shí)，K1K1K，112LN2LN2LNDKKKKXX而函數(shù)當(dāng)時(shí)取得它在內(nèi)的最小值0FLX,0MINF，所以，當(dāng)，即時(shí)廣義積分的值最小12LNL2LN12LN13左，右CXCXE2IMCTCTCTEE2DD，應(yīng)有，所以TCE41241241225第五章總復(fù)習(xí)題1（1）A；（2）C；（3）提示是奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分；的第一部分積分為0，第二部分0MP積分為負(fù)，所以，；而的第一部分積分為0，第二部分積分為正0PN（很容易算出，等于幾呢），所以，故選D；（4）提示，則，而極限XXTFTTFF0202DXTFF0D2121000D2LIMD2LILIMKXKXXKXTFTFF201LIKXF、才會(huì)存在，故選C；LI3FF、（5）提示如圖所示，由題設(shè)可知的圖形在軸的上方XF單調(diào)下降且是凹的，是下邊小矩形的面積，最??；是2S3S梯形的面積，最大；而是陰影的面積，介于其間，故選B；1（6）提示利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)若，則對(duì)任意的常數(shù)，積分TFTTFA與無(wú)關(guān)，現(xiàn)在的，可知TTATFTF0DAESIN2T，SIN0I20SIN2DDDTETTEXFTTT對(duì)第二個(gè)積分令換元而化為，UT0SISINUTU故可知為正常數(shù)，故選A；SI10NSITEXTT（7）提示先通過(guò)換元把被積函數(shù)符號(hào)中的“拿出來(lái)”，再求導(dǎo)2XFX、2DD10202TXUXXTTFTFT，故選A（評(píng)注本題的關(guān)鍵是換元）2211XUU2（1）0；（2）；（3）0；（4）0；（5）0；ASEC（6）；（7）；（8）；（9）；（10）XF3SINCO32INX3LN1233（1）證（積分中值定10100DDDDXFXFF理）0F證10100XFXFXFX評(píng)注兩種證法僅是考慮問(wèn)題出發(fā)點(diǎn)不同的核心是積分中值定理與單調(diào)性的結(jié)合；的核心是積分的不等式性質(zhì)與單調(diào)性的結(jié)合（2）提示分部積分，得原式00SINDSINDXFXXFX；2SIDSIN0SIN0FFF評(píng)注本題的特點(diǎn)是含有“積不出”的積分，但并不影響要求的定積分XT0I（3）32L3（提示令，則原積分，再拆分）；ET212301DT（4）（特點(diǎn)是參數(shù)方程，但含有變限積分）；2TF（5）令，則，由及XUUTXD1XT0XUF01DAXF0LIM13連續(xù)知，；由XF0FAF0LIMLILIM10D00FXFXTF、，知在點(diǎn)處連續(xù)；1TFXX00LILI；時(shí)，且因2D2AFTFX、020DXTFF，LIMLILIMD0D002020AXTFFXXTFFX、故可知在點(diǎn)處連續(xù)，從而處處連續(xù)評(píng)注本題是屬于對(duì)變限積分所定義的函數(shù)的可導(dǎo)性的研究的題目核心是導(dǎo)數(shù)的定義（6）（提示先放縮分母得不等式，2NINIIINI111SSS而左端的極限（利用定積分），21101DSISILIMSILIMSINLINNNX右端的極限（利用定積分），再利用夾逼定理）；20DIILIXN評(píng)注本題是利用夾逼準(zhǔn)則和定積分相結(jié)合的方法而求和式極限的題目，加大了難度（7）首先，因分子極限為0，所以，分母極限也一定是0，于是得；由洛必達(dá)法0B則得，可知；進(jìn)而知；201LN0COSLIMCOSIM3XAXAX、1A21C（8）原式，第一個(gè)積分令，則212DDXXT，0112TX，所以，4T；221002112DDD22TTTX而對(duì)第二個(gè)積分令，則，所以，X3301412TX23042312TX23201LNTTT，故原式LN3LN評(píng)注本題中所作的兩個(gè)換元雖有相似，但卻本質(zhì)不同，因此，相當(dāng)于兩個(gè)不同的積分（9）提示NNKNNNKXFFXFFXFFA11111DDD，因單調(diào)減，則，N1NFN14從而，所以，即單調(diào)減；0D1NFXFN1NAN另一方面，對(duì)一切，D111FXFKFXFKFANN，即有下界01NFFFKNA綜上單調(diào)遞減有下界，故由單調(diào)有界準(zhǔn)則（或原理）可知存在NALIM評(píng)注上述分析推到過(guò)程中，積分的不等式性質(zhì)起到關(guān)鍵作用（10）222222D1D1D1DAUAUAUUXAAFFFXF、而上式右端第二個(gè)積分2222ATATAFT、（恰與第一個(gè)積分相等）UTF1D1DAXAF1D2AUF2AXF2評(píng)注通過(guò)兩次不同的換元才最終達(dá)到目的是本題的特點(diǎn)第六章651由虎克定律（為彈簧伸長(zhǎng)厘米數(shù)），由時(shí)，即，KXF5X10FK5得，于是，故（克厘米）20K202D10150XW2如圖所示，沙堆母線AB的方程為，即HYRXHYR沙的比重公斤/米3對(duì)應(yīng)于薄層，則D,，YVWY1DD22故35001RRHH3（1）（噸）；60D8,86XFXF（2）設(shè)應(yīng)升米，則，160D812,DHXFH于是，應(yīng)有，故（米）1024（1）AB的線密度為，（為引力常數(shù)）；LMD2ALKMMXALK（2）引力分解為兩個(gè)分力，由對(duì)稱性，XFD,02，XALKXALKMFYDCOSDD2321522234DLAKMMXALKFLY6612（M/S）232011DEXY12D3021TTV3MTITII第六章總復(fù)習(xí)題1；23XY3,1,2961DYA2；,4A24210221DCOSSINAA23（提示曲線處的切線L41XY6,LTXY、方程為，即題設(shè)中所指的N1TXT1N1T面積為28DLNL2XTSST、6L16TT令，求得唯一駐點(diǎn)為，從而曲線上的點(diǎn)為）042T6,4T4LN,4（提示拋物線與圓3LN21XY32Y的右交點(diǎn)為，如圖由對(duì)稱性，所求的弧長(zhǎng)為1,A）0220DDD2SLO5（提示橢圓繞直線旋轉(zhuǎn)所得的34,ABBY立體與把橢圓向上平移個(gè)單位再繞軸旋轉(zhuǎn)所得的立體X一樣大小如圖所示所求的體積為AYV21DAXAXBB2D12）A0244228412ABAB6（提示因拋物線過(guò)原點(diǎn)，如圖0,35C0C由題意，得圖中陰影的面積為；2310294DBXA此陰影繞軸旋轉(zhuǎn)所得的立體的體積為X由得，并代入的表D31251102BXBAV394AV達(dá)式而轉(zhuǎn)化為求的最小值問(wèn)題，令，可得唯一駐點(diǎn)，從而）V52B167提示與曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的21XY,P曲線方程，是從以及1X12和中消去和而得到的，即P21Y42XXY設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，12、則所圍面積為3312DXYS令右端相等，得，解之得，并令判別式大于21Y、02P、0解得，時(shí)，取最大值9P31921PS8如圖所示，設(shè)球的比重，半徑為，則對(duì)應(yīng)于R薄層上的體積微元上的功的微元為D,XVD,D222XRGXYGVWRX20S/M8943R9如圖所示，水深處寬為的面積微元上YA所受的壓力微元為，XGFD2D；XGF51620N0設(shè)壓力加倍時(shí)閘門下降,則MH2H，即，其中為水的比重3851638定積分應(yīng)用總評(píng)住對(duì)所有專業(yè)而言，面積、體積和弧長(zhǎng)應(yīng)是最基本的；力學(xué)、物理方面的應(yīng)用因?qū)I(yè)而異；限于篇幅，未涉及經(jīng)濟(jì)和其它方面的應(yīng)用第二冊(cè)參考答案第一章131（1）B；（2）C；（3）C；（4）A2（1）證，對(duì)于事先給定的無(wú)論多么小的正數(shù)（簡(jiǎn)記為），AXNLIM0都存在自然數(shù)（記為），只要，就必有不等式成立，從而對(duì)任一NNNAXN自然數(shù)，當(dāng)（即）時(shí)，不等式仍成立，故由數(shù)列極KKK限的定義可知XKNLI（2）證，時(shí)，這時(shí)也必有AN,0AN，故反例，則ANNANLIM1存在，但不存在（即發(fā)散）1LILIMNLIN1（3）證，時(shí)，成0NXN,0NX0X立，故LIN17（4）證，（取21212312323NNN,01N整）只要（從而），必有成立，故N232LIMN3證數(shù)列有界，使得對(duì)一切，都有成立；NX0MNMXN又，時(shí)，0LIMYNN,NY0于是，對(duì)中的，當(dāng)時(shí)，同時(shí)成立，所以這時(shí)，故MNNYXX0LINX141（1）分析因?yàn)?，而，所以可設(shè)，2242XXX31X于是，對(duì)于給定的，為了，5042則只要即可，于是有如下的證明5證對(duì)于事先給定的無(wú)論多么小的正數(shù)，取，只要，就必5X有成立，所以，42X4LIM2X（2）分析因?yàn)?，而，所以可設(shè)，106231于是，對(duì)，為了32X0，只要即可，從而證明如下X2X證，只要，就必有003成立，故21622106LIM2XX評(píng)注以上的證法就是函數(shù)極限的“論證法”，雖然抽象，但很嚴(yán)密，望認(rèn)真體會(huì)2（1）證，取，只要，就1122XX2X必有成立，故1LI0X（2）證，?。ǎ?，則當(dāng)34322XX34X時(shí)，必有成立，故當(dāng)時(shí)，X12XLIM12X0197評(píng)注（2）的證法就是函數(shù)時(shí)極限的“論證法”，望認(rèn)真體會(huì)F、3（1），所以，不存在；10,10FLI0FX（2），所以，不存在；而F1LIXF40,1,、XXF151無(wú)窮小B、C；無(wú)窮大A、D；非無(wú)窮小與無(wú)窮大E、F182無(wú)界但非無(wú)窮大（因?yàn)橐环矫?，在的過(guò)程中，總有這樣的，XNNX使得可以大于你事先給定的任何大數(shù)（只要適當(dāng)大即NXFCOS0M可），當(dāng)時(shí)，無(wú)界（從而也在內(nèi)無(wú)界）；但另一方面，在F,的過(guò)程中，也總有這樣的，使得2NN，它卻不比任何正數(shù)大，當(dāng)時(shí)，不是0CS22NXFXXF無(wú)窮大）3時(shí)，為無(wú)窮?。粫r(shí)，為無(wú)窮大0XFXXF4為無(wú)窮大（）；為無(wú)窮小（）,B,5FAB、161（1）（提示通分并分子求和，再利用總復(fù)習(xí)題7（4）中的重要結(jié)果）；2（2）（提示分子分母同除以，再利用總復(fù)習(xí)題7（2）中的重要結(jié)果）；B1NB（3）（提示等比數(shù)列前項(xiàng)和公式并利用總復(fù)習(xí)題7（2）中的重要結(jié)果）42（1）（提示分母因式分解并約簡(jiǎn)分式再取極限）；6（2）（提示分子簡(jiǎn)化整理并與分母約簡(jiǎn)再取極限）；X（3）（提示通分，分子因式分解并與分母約簡(jiǎn)分式再取極限）3AAANFFNNNNLLIMLI2LIM2112112122171（1）（2）；（3）8；（4）；（5）；,0NAA2SICOSI（6）22（1）；（2）原極限；（3）；E11LIM01EXX2E（4）原極限220101LIXX3提示（1）先放縮分母得不等式，再利用夾逼定理（或夾逼準(zhǔn)則，俗稱“兩頭夾”）；（2）分兩步先證數(shù)列單增有上界（這是關(guān)鍵），再利用單調(diào)有界準(zhǔn)則NX（或單調(diào)有界原理）可知極限存在；最后再利用極限的唯一性，通過(guò)對(duì)遞推公式兩端取極限，得極限值滿足的一個(gè)方程而解出要求的極限181（1）時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮??；0XXSIN（2）時(shí)，是比要高階的無(wú)窮?。?X1（3）是比要高階的無(wú)窮?。ㄊ堑?階無(wú)窮?。?；ITANIXSINTA（4）同階但非等價(jià)的無(wú)窮?。ㄒ话愕?，時(shí)，）021NAX123（1）；（2）；（3）4,2BK5KK194（1）；（2）；（3）（注0時(shí)，BA21SINTANARCSINARCTANLN1E1A1/LNAK1K1，務(wù)必記住嗷）第二章211；0XF00LIMXFX2（1）；（2）；（3）；（4）0XF30XF3；24Y4；,9393、3939YXY、5左導(dǎo)數(shù)，1LIM01LI0LIM00XXEEXFFXX右導(dǎo)數(shù)；LILILI11000XXFFXX因?yàn)?，所以，?dǎo)數(shù)不存在6在點(diǎn)處連續(xù)；、02LIMLI0,1N,0XXFFFXF020,LILI02001NFXFFXXXF、7在點(diǎn)處可導(dǎo)，則必在點(diǎn)處連續(xù)于是，XF由在點(diǎn)處連續(xù)，則；而FFF；BBAXXFX0LIMLIM020300由在點(diǎn)處可導(dǎo)，則；而FFFXXX00023LILIA8（1）由函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，得，要使此式成立，；SN1F0N（2）由函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，可知極限必存在，則XXNX1SILIM0IL0，即，此時(shí)上式極限存在且為零，即；0N1NF（3）由導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，,COSSI12XXFXN則，要使此式成立，則，即0ILIM10FXXNX02N220221（1）；（2）；312SINCOXXXX2179（3）；（4）；7LL124XEE2SEC3OSIN（5）；（6）6215LNCOTSXX2COS1INT2（1）；（2）；,6E15,23A（3）；（4）NAA21634切點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足解得，5T,YX,LOG,XYAE1EYX231（1）；（2）；（3）；（4）1232XX1SINTXCOT6E2（1）；（2）；321X21AX（3）；4SIN3CO4COS3SIN4COSIN1NXX（4）；EEXII12TA2TA11（5）；（6）322112122TANECXXXE3（1）；（2）；FFFF（3）；（4）COSSINI22XFXXXF4由，可知，所以，0ATFT0FLIMLI000FATXFAFTTT526由題知，三條曲線段定義了分段函數(shù)而此函數(shù)一階,1,12XCBXEF可導(dǎo)，則在和處可導(dǎo)，從而也必連續(xù)0X1由在連續(xù)有，則；0LIMLI20FCXAEXXC由在連續(xù)有，即，則；11LI21B1BA0BA由在可導(dǎo)有，則，從而0XXCBAXEXX002LILI24211（1）；XCH（2）；S2XE（3）；24X（4）CHS2（1）；（2）；（3）；5EXTANLSIXE21（4）；（5）；（6）X1AROS1SIN134,XF、02,COSXXF、251（1）；（2）；（3）53X624XEX（提示取，利用公式CCCH90SH6003,SHXVU）；（4）NKKVUUVXEO2（1）（2）；,2,MNXYNM21SIN1X（3）（4）1,L112NXN611NNXX3（1）；（2）42FFLL21FFX45,30,8,3,0DPCPBAP第三章311D2有四個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間上用羅爾定理，可知XF4,2,1、方程在區(qū)間內(nèi)各至少有一個(gè)實(shí)根，從而有且恰有三個(gè)實(shí)根0XF4,32,1、34，即，再解出14XEEXXEX5作輔助函數(shù)則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，,LIM,BXFAFXFBAF,BA,BA且，于是，由羅爾定理可知存在，使得A,0FF6用反證法令，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則由CXF23F102X羅爾定理可知存在，使得但1,0,21XF在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，矛盾F60227設(shè)，則，從而在上為常函數(shù)，所以，XXFARCOSRSIN0FXF1,，即對(duì)一切，都有201,2ARCOSRSIN8（1）設(shè)，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得FTB,ARCTRTN21BBFB（2）時(shí)，在上滿足拉格朗日中值定理的條件，則XLX,0（其中），即0FFXXX1LN而下面是屬于單調(diào)性的證法令，當(dāng)時(shí)，從而F1L00F時(shí)，單調(diào)增；又，故當(dāng)時(shí)，XXFF9過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程為，,A,BF1FAXAYBF令，則連續(xù)兩次應(yīng)用羅爾定理可知1FFDFBA存在，使得,0FF10因不為常函數(shù)，不妨設(shè)（可類似去證），XFCCF由拉格朗日中值定理，則AFF0F11設(shè)在取得最大值，則也是極大值，所以必有（想想為什F1,0CCF么）由拉格朗日中值定理；,011CCFF1,122FFF，上兩式取絕對(duì)值并相加，得MF012構(gòu)造輔助函數(shù)（想想咋來(lái)的），則6721XXF，連續(xù)兩次用羅爾定理，可知存在，使得4104,0，即，3F31F321（1）0；（2）1；（3）；（4）1；（5）；（6）22E212提示左極限右極限函數(shù)值，連續(xù)3，則CXCECXEXX1LIM1LNI422、14都是未定式，但根本不能用洛必達(dá)法則，因?yàn)椴淮嬖?，不符合使用的條件LI0GF5顯然，并非所有的未定式都可用洛必達(dá)法則求極限，除了題4中的情形以外，還有幾種情形也不能使用洛必達(dá)法則重要極限堅(jiān)決不要用洛必達(dá)法則，因?yàn)槿粲玫腦SINL話，將會(huì)犯邏輯上嚴(yán)重的“惡性循環(huán)”的錯(cuò)誤（想想為什么）；對(duì)而言，X21LIM從邏輯上講能用，但可惜啥也得不到，因?yàn)槌霈F(xiàn)了“奇特的循環(huán)現(xiàn)象”，因而一般不用類似的極限還有，比如等等（注意與上題的區(qū)別）XXELIM第三章總復(fù)習(xí)題231提示令，因?yàn)?，則XGFF0XFBFX2提示取，在上用柯西定理，得21,2012FF3提示取，在上用柯西定理LNBA4提示求及的極值，并討論的情況為極小，0XXEEF21為極大2F5提示，由于，則單調(diào)減少，F(xiàn)F,A0XFXF從而，則，因而一定有根；ALIMX又，則單調(diào)減少，故的根唯一0XFXFF6提示令，則，所以是2EX2442XEXEX的唯一駐點(diǎn)F當(dāng)時(shí)，因，單調(diào)增，又因?yàn)椋現(xiàn)F0LIAFX，所以在內(nèi)有唯一實(shí)根；LIM0XF0X,當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)減，LI0FLIMF20XF2時(shí)，單調(diào)增，所以，在內(nèi)若，則無(wú)根；若XF,242AFE0F，則有唯一根；若，則有兩個(gè)42AEXFX根7提示由泰勒公式，則202100FXF，,4122BAAFFABB2F記，兩式相減并取絕對(duì)值即得結(jié)論,MAX1FFF8提示設(shè)，因是可導(dǎo)的極小值點(diǎn)，所以由泰勒0,0X0X0XF公式，221021XFFFF分別取，得，X、0F當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，2108201XF0821XF所以，至少存在一點(diǎn)，使得,8F第四章431（1）；（2）；CXEX2CXX121LN（3）；（4）X2COS8SIN1LARCT6注意上面四題務(wù)必要恰當(dāng)?shù)倪x擇和UVD（5）（提示無(wú)需換元，先“湊”再直接分部積分得XXARSI原式）；2DRSINXXXD12ARCSIN122124（6）（先令換元，再分部積分）；CEXX332XT（7）（連續(xù)分部積分兩次出現(xiàn)循環(huán)，移項(xiàng)除2再加C）；XLNSILCO（8）（連續(xù)分部積分兩次出現(xiàn)循環(huán)，移項(xiàng)求解，別忘加E4C5415C）2由題設(shè)知，且，故2COSINOSXXFXFCOSDFFXS2IND441（1）（拆分）；（2）（拆CXX12LNCXX3123161ARCTNL2分）；（3）（提示分子先“硬湊出”分母的微分（擴(kuò)X31232ARCTNL大了就縮小，縮小了再擴(kuò)大，多了就減，少了就加）（這幾句話是啥意思呢）；剩下的部分再配方）；（4）（提示可作“倒代換”，然后可湊微分，“很巧妙”）CX100LNT12（1）（萬(wàn)能代換）；（2）（同XTARC2ANXTCX31TAN23RC（1）；（3）（原式再拆分）；XSINO5LXSIN2CO5SIDSI（4）（）CX2TANDTATTAD2D222COSCOSIXTTXX3（1）（令，再拆分）；CX1LN133331X（2）（令，再拆分）；X1ARTLXT（3）（令，再拆分）；CEN2E2（4）（令，再拆分）X153215XT第四章總復(fù)習(xí)題1由，則，所以，5622XEEEF5632XXF，又由，則CXX3D5632C10故為所求C23F2令，代入方程之中，得，即，TXYY22XTT1XT所以于是，XTTTTD,2322111CXYCTXYTTYLN3LNDD3122評(píng)注本題涉及到隱函數(shù)的積分，而隱函數(shù)又很難顯化，通過(guò)恰當(dāng)?shù)倪x擇參數(shù)而化為對(duì)參T數(shù)的積分最終得以解決，有點(diǎn)難253XXXXXINNNNDTADSECTAD1SECTADTA222,DTANDTA2DTAN2TANT1TTT21222312XXXXNNNN即，故NIII1I4（1）（提示拆分得原式，再湊微分）；CEEXRCTXXE2（2）（令）；（3）；X12AOSTSICXLN11（4）（湊微分得原式，再繼續(xù)“湊到位”）；3D231XX（5）（原式）；CXETAN2XEEEXDTANTANTAN2SC22（6）（同44的1（3）；CX2321ARTN4136L（7）（原積分EX2ARCTN5XEIXXXDD221ARCTNARCTN11XXXXEEARCTN1ARCTNARCTN1TARCTND222）；IEEXXX4TA1T1ARCTNT1222（8）（提示原積分COSLSISTNCXDCOTSCTSETIXXDCE2IX2D2，移項(xiàng)除2再加C）；OTLSS（9）,1,1MAXX,1,1MA321XX由原函數(shù)的連續(xù)性可知若記，則C2，C213故1,D,AX21XX（10）原式（或原式）CX21ARCSIN2XD4221D2XX26第五章541（1）；（2）；（3）；（4）；3LN23422145（5）；（6）；（7）0；（8）12E2LN132提示對(duì)等式左端令換元，即可推出右端XT3提示利用可加性，并對(duì)右端第三個(gè)積分令TAAT0TUX換元，再利用周期性可知第三個(gè)積分恰與右端第一個(gè)積分抵消4（1）在左端令換元，即可推出右端2TX（2）記，則由（1）知；又因?yàn)?0COSIN0COSIND,DXIIX21I，所以，22141I評(píng)注利用某種積分關(guān)系式來(lái)“巧妙”的計(jì)算定積分的方法要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，類似的積分還有，比如，可研究例子；00DSINDSINXFXFD2410COS1IN2X，可研究例子；AA2CSXE等等200200INDICOSSIXXXNNN5提示，右端第一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)乘奇函數(shù)TFTFFD為偶函數(shù)，第二個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的原函數(shù)為偶函數(shù)551（1）時(shí)，原式；時(shí)，原式0BBBXEE100BXED；（2）原式；BB10EEEXX211DLNL（3）（提示連續(xù)分部積分兩次出現(xiàn)循環(huán)，再移項(xiàng)求解）；251E（4）（令換元，再分部積分或直接用公式）,15364、MTXSIN2000DCOSIDSINSIXFFFXF0SICODCOXXF，原等式成為，故0SIF5FF30F評(píng)注本題是含有定積分的簡(jiǎn)單積分方程，要求的是未知函數(shù)在一點(diǎn)處的值，盡管并不知道，但通過(guò)分部積分并不影響計(jì)算結(jié)果關(guān)鍵是第一次分出的部分的XF值為0，而第二次分出的部分恰好出現(xiàn)要求的，未積出的積分正好相互抵銷是0F本題的特點(diǎn)273（注意）10SIN221102DD2XXFXXFI01FCOSCS0評(píng)注本題中的函數(shù)是用積不出的變限積分表示的，雖然如此，但通過(guò)20INDXTF分部積分后卻很容易計(jì)算出要求的積分值4提示兩端都對(duì)求導(dǎo)會(huì)發(fā)現(xiàn)相等，從而左右最多相差一常數(shù)；又當(dāng)時(shí)，左右X0X0，所以左右啥也不差，即左右第六章621（1）如圖所示，；3420211D8XA346（2）；D10EXE（3）AY2203SINCOS1ATT2拋物線在點(diǎn)處的法線方程為PX2,2，即，如圖YYP32163212DYAP3兩曲線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖,3DCOSCOS452210214提示RTDEXXESEA5提示由對(duì)稱性，題中的拋物線與拋物線等價(jià)，24XAY其焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的弦為（為弦的斜率），,0AK弦與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，122,1X所圍成的面積為，D312124241XXSKAAXA、令，可知當(dāng)時(shí)，最小00K38S6提示；2421DAAX當(dāng)時(shí)，取最小值，46A16XY7提示，而，令，求得，23602ABBXSB0S61B，從而，（舍）214263281C2BAXGXFV2D3（實(shí)心喇叭形）；7128203DXVX，、Y5648023Y或者利用柱殼法（見(jiàn)題6）（顯然柱殼法簡(jiǎn)單）56420DXY、4如圖所示，所求體積等于圓柱體的體積減去兩個(gè)喇叭的體積，而、VAV22（這是本題的關(guān)鍵）XYAV20、D42SINDCOS1SINCO102202TATATAT，33323STA