1第一章事件與概率（一次半）基礎(chǔ)班（8次學(xué)時8324小時）概率論它是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)科學(xué)。簡史起源于賭博。17世紀法國PASCAL和FERMAT解決MERE（公平賭博）問題等并提出了排列與組合的新知識。18世紀早期JBERNOULLI提出了概率論歷史上第一個極限定理（貝努里大數(shù)定理），19世紀初LAPLACE提出了古典概率定義。20世紀30年代KOLMOGOROV建立了概率的公理化定義（19世紀末CANTOR集合論和20世紀30年代LEBESGUE測試論）。歷史上GAUSS、DEMOIRVE、CHEBESHEV、LIAPUNOV、BOREL、KHINCHINE、MARKOV、KPEARSON、FISHER、CRAMER、WIENER、DOOB、ITO、許寶祿、RAO等人亦對概率統(tǒng)計發(fā)展作出了重要貢獻。11隨機事件、樣本空間、例子，稱滿足、條件的試驗為隨機試驗，記為E，基本事件ABC（樣本點）用E表示隨機事件用“A,B,”表示樣本空間（必然事件）用S表示。REMARK（1）發(fā)生，EI出現(xiàn)了；（2）S引入意義。AAI,12事件的關(guān)系與運算（兩種語言刻劃）一、六種關(guān)系10,12,0,1234,50,234,510,78,910,2,SABCABC例觀查某電話呼叫臺接到的呼叫次數(shù)的隨機試驗求之間的關(guān)系二、四個運算性質(zhì)REMARK（1）兩個事件互斥（互不相容）兩個事件互為對立事件；（2）ABAAB；B（3）事件的假設(shè)與事件的相互表示是學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本功。例1某人向一目標射擊三次，AI表示第I次命中（I1,2,3）,BJ表示命中J次（J0,1,2,3）,用AI表示BJ。例2設(shè)A,B,C為E中三個事件，用之表示（1）僅C發(fā)生；（2）A,B,C至少有一個發(fā)生；（3）A,B,C僅有兩個發(fā)生；（4）A,B,C中不多于兩個發(fā)生；（5）A,B,C中不多于（或至多）一個發(fā)生；（6）A,B,C中不少于兩個發(fā)生。13古典概率P（A）事件A發(fā)生的可能性大小數(shù)值。它是抽象集函數(shù)且是客觀存在的。例子（42個）定義（古典概型E）SAP例子例1（電話號碼）從09中有重復(fù)抽取5個數(shù)組成五位數(shù)的電話號碼，求（1）的概率；（2）的概率；“五個號碼全相同A“2五個號碼全不相同A（3）的概率；8五個號碼中有兩個例2（抓鬮問題）某袋中有6個白球，4個黑球，依次一個接一個摸出，求A“第次摸得白球”概率。（實用范圍競賽分組，兩種手法）。K例3（分配問題）現(xiàn)有N個房子，N個人，每個房子足以容納N個人，每人以等概率進入每個房子，今將N個人隨機分配到N個房子中，求A“指定N個房子各一人”概率；B“恰有N個房子各有一人”的概率；求C“某一指定房子恰有K人”概率。（分配原則；實用范圍分房、分球、分信、生日問題）。例4（超幾何概率與二項概率）袋中10個產(chǎn)品，其中6個正品，4個次品，從中按兩種方式（不放回和有收回），任取3個產(chǎn)品，求其中恰有2個正品A之概率。（實用產(chǎn)品檢驗。）THEOREM古典概率滿足7條。利用古典概率性質(zhì)計算概率的例子例5（電話號碼）從09中抽取5個數(shù)隨機組成電話號碼，求五個數(shù)的電話號碼中至少有二個數(shù)相同A之概率。例6某袋中有180件產(chǎn)品，其中次品8件，從中任取4件，求A“次品數(shù)超過1”概P（A）0010。例7從0,1,2,9等10個數(shù)字中任意選出三個不同數(shù)字，B1不含0；B2不含5。求A1“三個數(shù)中不含0和5”；A2“三個數(shù)中不含0或5”；A3“三個數(shù)中含0，但不含5”概率；14幾何概率定義（幾何概型E）SLAP例1（約會問題）甲乙兩人約定在內(nèi)會面，若一人先到，則等小時后即離去，求T,0T此兩人在內(nèi)會面的概率。T,0例2（三角形構(gòu)成問題）將一根為之線段隨機地截為三段，求三線段構(gòu)成一個三角形AA的概率。例3（BUFFON投針問題（1777年）在一個平面上畫一些距離為的平行線，然后再向此A3平面投一根長為的針（，求針與平面相交的概率。LALTHEOREM幾何概率滿足（1）（7）15統(tǒng)計概率與公理化定義例1擲硬幣N次E；定義1（頻率定義）NMAFREMARK（1）N充分大時FNA穩(wěn)定性；（2）不確定性；一般。21AFNN定義2（統(tǒng)計概率）P（A）PAPREMARK（1）適合一切E；（2）無法定P但N很大時。FNTHEOREM滿足1,2,3，利用TH及DEF2，統(tǒng)計概率滿足（1）（7）。FN1933年KOLMOGOROV公理化定義（13）三個推論補充例1（1）R個人生日全不同概率；（2）教室里4個人至少有兩人生日在同一個月概率；例26個人中生日在星期幾等可能，求其生日在一星期中某兩天但不在同一天A概率；例3從編號為110任取三個，求（1）最小號碼為5這一事件A的概率；（2）最大號碼為5這一事件B的概率；例4若A1,A2,A3同時發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，則；31IIP例5若，P（AB）0P（AC），P（BC），求41CP81；CBP例6設(shè)P（A）P，P（B）Q，求RBA。,BAA第二章條件概率與獨立性（一次半）21條件概率乘法定理4發(fā)生的條件下，B發(fā)生的條件概率。AP例1袋1（4個白球，2個黑球）；袋2（4個黑球，2個白球），擲硬幣一次E，若出現(xiàn)正面（H），從袋1中任取一球；否則（T），從袋2中任取一球，A表示任取一球為黑球。求已知H信息條件下A發(fā)生的概率（兩件事幾何概率條件頻率條件統(tǒng)計概率）。定義（P（B）0）比值為記。BPREMARK（1）；（2）一般意義。STHEOREM1條件概率滿足三條公理（P（B）0），由之推出4,5,6,7；THEOREM2設(shè)P（A），P（B）0，則，ABPA；BTHEOREM3設(shè)P（A1AN1）0，則。11211NNNA例1某包裝了器皿今扔三次，第一次扔下器皿損壞的概率為04；若第一次未損壞，第二次扔下器皿損壞的概率為06；若第二次未損壞，第三次扔下器皿損壞的概率為09，求A“器皿損壞”概率（0976）；例2某袋中有10個球，其中6黑4白，從中任取3個，求第三次取到白球概率和第三次才取到白球概率。189501422全概率公式例1某袋中有10個球，其中6白4黑，甲,乙,丙三人依次摸一球，求甲,乙,丙三人分別摸到白球的概率。THEOREM1設(shè)A1,AN,是可數(shù)無窮多個互斥事件，且01,2IPA，AS，則有；1IS1III例2甲袋（3個白球，2個黑球）；乙袋（4個白球，4個黑球），從甲袋任取2個，放入乙袋，再從乙袋任取一球，A表示取到白球，求；AP513例3某袋中15個乒乓球，其中9個新球，第一次比賽時任取3個，然后放入原袋中，求第二次比賽時取出三個新球A的概率（0089）；23BAYES公式1763年英國牧師BAYES論機遇理論中一個問題的解決（普賴斯），BAYES曾師從5DMOIRVE；例1發(fā)射臺發(fā)出“”,“”信號比例為53，由于干擾，發(fā)出“”,“”信號的失真率分別為，求接受到“”信號時亦發(fā)出“”信號概率；3152THEOREM2BAYES條件同TH1,PB0,則1IIIJJJABPBAPP（AI）先驗概率，專門科學(xué)知識，后驗概率。IBPJ例2上節(jié)例2中若已知A發(fā)生條件下，A1發(fā)生的概率。2615例3設(shè)某袋中有MN枚硬幣，其中M枚為次品（兩面均為國徽），從中任取一枚，擲R次均得到國徽，求它是正品這一事件的概率。24獨立性一般，特殊，即P（AB）P（A）P（B）BPABA定義1（兩個事件獨立）REMARK（1），（2）TH1TH2定義2（三個事件獨立）ABC滿足1,2,3,4則稱兩兩獨立（123）REMARK1一般地，由（1）（2）（3）成立推不出（4）成立；（BERNSTAIN反例）2）一般地，由（4）成立推不出（1）（2）（3）全成立例11BERNSTEIN反例2若一個均勻?qū)ΨQ色子若1點紅,白,黑,2點紅,3點紅,黑,4點紅,白,5點白,6點黑或紅1234黑136白145用A,B,C分別表示色子出現(xiàn)紅,白,黑事件,問A,B,C是否相互獨立為什么例2幾何概型E,M1,M2,M3是否兩兩獨立為什么定義3（N個事件獨立性（N2）CCNNN1032例3甲、乙、丙三人各自向一飛機射擊一次，他們命中飛機的概率分別為04,05,07若飛機中一彈而被擊落的概率為02；若飛機中兩彈而被擊落的概率為06；若飛機中三彈必然被擊落。求飛機被擊落的概率。例4（可靠性問題），每個同類型的元件可靠性為R，N個元件是否正常工作相互獨立，試求下面兩個系統(tǒng)（1）（2）的可靠性并比較兩個系統(tǒng)的可靠性1N1N21例5（圖書館借書）某考生想借一本書，決定到三個圖書館去借，對每個圖書館而言，有NN116無此書概率相等；若有，能否借到的概率亦相等，假設(shè)這三個圖書館采購、出借圖書相互獨立，求該考生能借到書的概率。25二項概率公式和泊松近似公式定義1（N次重復(fù)獨立E）定義2（N重貝努里E）REMARK貝努里EA成功失敗；N重貝努里E；11INICPP轉(zhuǎn)化條件。THEOREM1（二項概率），K0,1,2,N推論KNNQ01NKP例1從一批次品為30任取5件；求（1）恰有2個次品概率（0309）；（2）至少有2個次品概率（0472）。例2昆蟲產(chǎn)卵K個卵的概率為；各個孵化為蟲的概率為P；各個卵是否孵化為蟲相KE互獨立。求該昆蟲下一代有條蟲的概率。例3某數(shù)字傳輸器512103個0或1/秒，由于干擾，每傳送一次產(chǎn)生誤碼的概率為P107,求10秒內(nèi)產(chǎn)生一個誤碼概率（030）N充分大，P很小，P,A稀有事件。這是一個計算的復(fù)雜性問題，這類問題是21AP世紀數(shù)學(xué)乃至是計算領(lǐng)域的重要問題（陳省生大師）。1837年法國人POSSION解決了上述具體問題。THEOREM2N重貝努里E，NPN（常數(shù)）,成功概率為PN,則對KREMARKEKPNLIMNP10,例4（保險問題）某保險公司有2500人參加保險，每人交納保險費12元/年，假定每人在一年內(nèi)死亡的概率為P0002，若一人在一年內(nèi)死亡，其家屬可領(lǐng)喪葬費2000元。求（1）保險公司虧本A之概率0000069；（2）公司獲利不少于10000元B之概率（0986305）。補充例1考試時有四道選擇，每題附4個答案，其中一個正確，一個考生隨意地選擇每題答案，求他至少答對三道A的概率；25613431C例2設(shè)10件產(chǎn)品有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件中有一件是不合格品，7求另一件亦不合格的概率5154212216421APAPC例3從52張撲克牌中任取5張，求在至少有3張黑桃條件下，5張均為黑桃的概AP24931例4證若A，B，C獨立，則及AB都與C獨立。第三章隨機變量及其布31隨機變量的概念與賭博有聯(lián)系S可能為數(shù)值集合亦可能不是，怎樣利用數(shù)學(xué)分析中函數(shù)來刻劃事件的概率，需要引入概念；隨機試驗結(jié)果的函數(shù)（一般有兩類一類隨機試驗的結(jié)果直接是VR數(shù)值；另外一類隨機試驗的結(jié)果不是數(shù)值（需要引入映射才可與數(shù)值對應(yīng)）。）例1擲硬幣一次E，S正面，反面建立XER正面1反面0（X1）“正面”；（X0）“反面”XSH對應(yīng)1,例2擲硬幣兩次E，S（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）X表示出現(xiàn)正面次數(shù)XS0,1,2單質(zhì)對應(yīng)定義ESE，都有唯一實數(shù)X（E）與之對應(yīng)，則稱X（E）為隨機變量，記VXRREMARKX為定義于S上一個函數(shù)；值域通常含兩個OR兩個以上數(shù)集。事件A的示性函數(shù)稱為A之A,01；，E“1“VRA為可用示性函數(shù)表述事件的6種關(guān)系A(chǔ)ABBAABBA1032離散型VXRE0,00,11,01,1X01128定義1（分布列）PI滿足（1），（2）反之，亦成立（3）AIIPX例1（幾何分布）在相繼獨立貝努里E中，每次成功概率均為P，求首次成功所需貝努里試驗的次數(shù)X分布；并求當時5,64X例2某袋中有AB件球，其中A個白球，B個黑球，從中任取R個，求白球個數(shù)X的分布列；三個特殊分布（1）兩點分布（貝努里分布）；（2）二項分布；（3）泊松分布；33分布函數(shù)例1向（A,B）內(nèi)擲一隨機點，幾何概型E，求落點坐標X的分布。，用離散型隨機變量分布列的BAX,0XXP2121,XBAX辦法無法描述其概率分布。需考慮隨機變數(shù)在一個區(qū)間上的取值的概率問題，何區(qū)間利用HALMOS測度論1221XXHALMOS測度論PXPXX定義設(shè)X為，稱，,為X分布函數(shù)，記VRFXRVRXFFDREMARK（1）F（X）是R上實函數(shù)；（2）REALANALYSIS；VRFDP例1解0,1,XAXAXBB例2設(shè)X分布列為VR求F（X）FDREMARK（1）；1,2KPXXKIPF（2）反問題已知離散型X的分布函數(shù)，可求其分布列。VR補充定理已知X的分布函數(shù)，則有VRXLIMAFAPTATX0123P489例3設(shè)X為并且X一切可能值有VRFD2,1850,14,XXFVRK求X分布列。0KPXVRF（X）滿足（1）FDXF（2）是單調(diào)不減的（3）01（4）反之，亦有。上右連續(xù)的函數(shù)。是RXF例4設(shè)X求A,BVRFD0,0,23XEBA34連續(xù)型X例1（上節(jié)例1）定義其它,01BXABXF定義設(shè)隨機變數(shù)X，其VR滿足若存在一個非負的函數(shù)為,XFFFD，XTRX則稱X為連續(xù)型，PDFFXRFX滿足（1）FX0；（2）；反之，也成立。1DXF（3）；211XXXP12XF（4）是R上；（5）若FX在點連續(xù)，則；FFC000XF（6）；（7）FX在點連續(xù)時，則FX在此點函數(shù)值大小表0,XX明在點附近取值概率的大小。VXR010例2設(shè)XPDF為求（1）A；（2）FX；（3）VR0,2XAEXFP1X2。例3設(shè)XPDF求FXVR其它,0212,XXFFD三個特殊分布（1）均勻分布（定義，幾何概率）；FD（2）指數(shù)分布（定義，背景）；（3）正態(tài)分布（背景、定義、圖象、應(yīng)用）分位數(shù)。例4（測量問題刻化）測量某一距離產(chǎn)生的隨機誤差的概率密度為MX；求在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過30米的RXEXF,02132概率。例5電子管使用壽命XN（1600,），若求范圍；296012XP例6若XN，求K1,06826,K2,09544,K3,09973。2,UKUXP35X函數(shù)分布VR定義（背景物理、數(shù)學(xué)、工程）FC一、離散型X函數(shù)的分布R例1求Y12X1和Y2X22之分布；二、連續(xù)型X函數(shù)分布VR兩個方法（1）方法YGXFYYFDFCD用X表示Y之分布YGPYFYORUYFY（2）公式法兩個TH1,TH2簡述之X012345P6911例2設(shè)X為連續(xù)型PDFFXX,YAXB,，則Y之PDF；VR0AABYFYFXY1應(yīng)用XN（），YAXB，則Y之PDFFYY且YN（A。2,2,例3設(shè)XN（0,1），YX2，求Y之PDF0,0,21YEYFYY例4設(shè)XU（0，1），（1）求YEX的PDF；YF（2）求YLN2其它,01EYYPDFY其它,021YEFY第四章多維及分布VR41多維定義，分布函數(shù)，邊緣分布函數(shù)VR背景整體刻劃分布之間關(guān)系定義1（N維）N2；VR定義2（二維分布函數(shù)），幾何意義FX,YFX,Y滿足（1），（2），（3），F(xiàn)DF（4），（5）反之，亦成立；定義3（邊緣分布函數(shù)）。REMARK與F（X,Y）之間關(guān)系。F42離散型（X，Y）VR分布列（PIJ）PIJ滿足三條，反之，亦成立REMARKXYIJIJP,例1某袋有10件產(chǎn)品，其中2件一級品，7級二級品，1件次品，從中任取3件，X,Y分別表示取到一級品，二級品個數(shù)，求（X,Y）分布列及聯(lián)合分布列。例2將一硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，試寫出（X,Y）的分布列及邊緣分布列。43連續(xù)型（X,Y）VR定義1（二維連續(xù)型定義，PDF）,YXF性質(zhì)（1）；0,YXF12（2）；1,DXYF（3）。GXDYFYXP,（4）若處連續(xù)，則；,0YXF在,0,20YXFFYX定義2（邊緣概率密度）例1設(shè)（X,Y）PDF為VR其它,00,YXCEYXFY例2設(shè)（X,Y）PDF為其它,020,1,3,2YXYXYF求（1）；（2）。7651YXP,YFFD兩個特殊分布（1）二維均勻分布（有限區(qū)域G）；（2）二維正態(tài)（X,Y）之PDF為21212122211EXP,YXXYXFREMARK（1）；,21NYXYX,（2）表示X與Y相關(guān)系數(shù)；其中；1,0,2121（3）（X與Y獨立）；則稱0,NYX44獨立性VR意義（X,Y）為二維，是否獨立刻劃聯(lián)合分布與邊VRRYX,“,“YX緣分布聯(lián)系。定義1（X與Y獨立）VR例1設(shè)（X，Y）求X與Y是否獨立其它,00,1,43YXEYXFFDYX（1）；C（2）；,YFXYX（3）；,XF（4）。10P13離散型（X，Y）X與獨立VRJI,JIP連續(xù)型（X，Y）X與獨立二元函數(shù)亦為（X，Y）之PDFYFXYXVR,YFXYF例2設(shè)（X，Y）分布列為VR問（1）必須滿足什么（2）若X與Y獨立則,例3設(shè)（X，Y）之PDF為問X與Y是否獨立其它,00,1,43YXEYXFY例4設(shè)（X，Y）之PDF為問X與Y是否獨立81,F其它例5設(shè)二維為FDVR,2ARCTN2ARCTN,YCXBAYXF其中A，B，C為常數(shù)，,求（1）A，B，C（2）YFXYFXYXYX,（3）X與Y獨立嗎為什么（4）PN維獨立性概念類似,1NXVR45（X，Y）函數(shù)分布問題提法已知（X，Y）分布，求之，為一個二元的連續(xù)函數(shù),YXGZ,YXGZ分布1、和的分布（1）離散型和分布VR例1設(shè)X與Y獨立，ZXY，求Z之分布；,21PYXY123169182314（2）連續(xù)型和分布已知（X，Y）PDFFX,Y，ZGX,Y，求Z之PDFVR分布函數(shù)法ZZDUXGPZZFFD,DYFXZFZ,若則卷積公式獨立，與YXYXZZF例2設(shè),，X與Y獨立，求ZXY之PDFFZZ；10UE例3XN（0，1），Y與X獨立同分布，ZXY，求Y之PDFFZZ推廣形式；2、瑞利分布（RAYLEIGH）若X，Y獨立且同分布，求，,02NX2YX0,0,2ZEZFZ3、MAXX,Y及MINX,Y之分布提法MMAXX,Y，NMINX,Y，X,Y之FXX,FYY且X與Y獨立；求M，N之分FD布函數(shù)。1,ZZFZNYXM推廣到N維情形。例4設(shè)電子儀器由兩個相互獨立的電子管裝置及組成，方式有兩種1L2（A）,串聯(lián)；（B）,并聯(lián)，,壽命分別在，1L21L22FDYX,0,0XEXFX其中試在兩種方式下，分別求出儀器壽命ZPDF。,1YYY0,例5設(shè)二維（X,Y）在上服從均勻分布，試求邊長為VR1,2,YXYXGX和Y的矩形面積SPDFFS。46條件分布條件分布列條件概率密度例1設(shè)在D上服從二維均勻分布問,XYFXFYY并求其條件分布問X與是否獨立YX12YXY2X15其它,0212,XXFX其它,012YYFY例22,01,2,3XYYFXY已知，求其條件分布，問X與Y獨立嗎其它其它,0,132XXFX其它,02613YYFY；20,6|,10|XYYFXY1,2,21XFYYZ其它，均為0例3已知PDFYX,YX,其它,0YXEY求（1），（2）的條件概率密其它,0EXFXX0,YEFY,XY度且問與Y是否獨立VR例4某袋中有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取兩件，令表示第分別與Y一次和第二次取到次品的個數(shù)，求（1）（2）已知的分布列；,YX3已知。的條件分布列；條件下，（YX0的條件分布列條件下，（X1例5設(shè)隨機變量的概率YIPX,103的概率分布為相互獨立，與密度為記（1）求（2）求其他,0,1YFYYXZZZFZZ的概率密度第五章隨機變量的數(shù)字特征16意義與作用（1），（2），（3）51數(shù)學(xué)期望一、定義1離散型期望之定義定義1；VR2連續(xù)型期望之定義定義2；例1，求；例2，求；,PBXEX,PNBNPEX例3，求；例4，求；PBAU2BA例5，求；例6，求；1,2UNU例7取卡片例子。二、函數(shù)期望TH51TH52VR例1，求，；,2UNXXEXA例2設(shè)在國際市場上每年對我國某種出口商品需求量是X（噸），它在2000，4000上VR服從均勻分布，每售一噸掙外匯3萬元，若囤積一噸，需浪費保管費1萬元，問需組織多少貨源，才能使國家收益最大例3上均勻分布，求EX，E（3X2Y），EXY。,AUYX例4設(shè)X，Y獨立同分布，XU0，2，求。3/4,MAX3/2,INYXEYX三、期望性質(zhì)（1）ECC；（2）ECXCEX；（3）；VRNII11（4）若相互獨立，則。NX,1INIEXEX11例1XB（N,P），求；1IIE例2R個人底層，樓層N層，X電梯停次數(shù)，求EX，R10，N10，EX65；例3X,Y獨立，求。5,0,025YEYFXXFYX其它52方差期望定義意義與不足2,RREXER定義（DX），均方差，標準差D方差性質(zhì)（1）DC0；（2）DCXC2DX，C為常數(shù)；（1/3，1/3，1/12）17（3）DXEX2EX2；（4）X1,XN獨立，則；NIINIIDX11（5）常數(shù)A使。0DP例1X（0,1），求DXPQ；例2XB（N,P），求DX（NPQ）兩種方法；例3XP，求DX；例4XU（A,B），求；補充一個結(jié)論。21ABDX例5XE，求；例6，求；2DX,2UN2例7在長為線段上，任取兩點，求兩點間距離期望與方差；例8設(shè)X,Y是兩個獨立同分布，求VR21,0NX21,YXDE53協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差引入逆否命題定義1（COVX,Y），5條性質(zhì)不足與意義（1）其大小依賴于計量單位；（2）它與X,Y取值有關(guān)，也與X,Y和其自身期望的偏差有關(guān)，難以精確刻劃X,Y關(guān)系。定義2（相關(guān)系數(shù)）DYX,COVTH1滿足（1）；（2）使。BA,11BXYP定義3（不相關(guān)）若0，則稱X與Y不相關(guān)TH2與下面一條件等價（1）COVX,Y0；（2）DXYDXDY；0REMARK1若X與Y獨立可推出X與Y不相關(guān)，但X與Y不相關(guān)也的方差存在，與YX推不出（見下面的反例）。特別當X與Y獨立二維正態(tài)變量（X，Y）時或者均為二值隨機變量時，X與Y獨立0（2）表明X與Y無線性依賴關(guān)系，但有別的函數(shù)關(guān)系；18反例XN（0,1），YX2，則而且X與Y不獨立；0XY2定義4（K階原點矩，中心矩）例1設(shè)X1,X2,X3為三個兩兩不相立的，3,1,IEVRI3,21IDI求；321321,X1,例2設(shè)X,Y,Z為三個，且VREXEY1，EZ1，DXDYDZ1，若WXYZ，21,0XZYYZ求EW，DW（1，3）；例3某箱中裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別有80，10，10件從中隨機取一件，記（I1,2,3）其它等品若抽到,0IXI求（1）（X1，X2）聯(lián)合分布，邊緣分布；（2）；3/21X例4已知XN（1，32），YN（0，42），且，設(shè)，Y2YZ求（1）DZ，EZ；（2）。,XZ54大數(shù)定律引言事件頻率穩(wěn)定性可處理為大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果。在概率論中，這類平均結(jié)果的穩(wěn)定性有關(guān)結(jié)論，統(tǒng)稱為大數(shù)定律。例1分析天平；（2）。NIPIUX1NIDINAPXAF11、切此曉夫不等式TH1對，若方差DX存在，則對有VR0OR成立。DEP2EP2REMARK鑰匙；粗略估計；例1給定，利用切氏不等式估計；09,XX30例2若DX0004，利用切氏不等式估計概率。20X2、大數(shù)定律TH2（貝努里大數(shù)定律）定義序列獨立VRXNTH3（切此曉夫大數(shù)定律）稱滿足（I），（II），服從大數(shù)定律。NX19推論（獨立同分布序列，）VR2,IIDXUETH4（KHINCHINE大數(shù)定律）設(shè)獨立同分布序列，具有有限期望NVR,21IUEXI則對有011LIM0LIM1NIINNIINUXPORUXP55中心極限TH獨立和的極限分布問題。正態(tài)分布地位與作用中心極限TH及條件VRNII1TH1（獨立同分布的中心極限TH）LINDBERGLEVY近似TH2（DEMOIRVELAPLACE）近似推論1N充分大時12PQNPNYP推論2N充分大時；NANBAN例1獨立同分布，XIP003，用中心極限TH，計算P（Z3）50,I501IIXZ（01103）；例2重復(fù)擲硬幣N100次，設(shè)每次出現(xiàn)正反概率各為，求YN為正2605NP面次數(shù)。例3辛欽大數(shù)定理應(yīng)用的例子。例4LINDBERGLEVY的例子設(shè)相互獨立，則據(jù)LINDEBERGVRNX,1NIIXS1LEVY中心極限，當充分大時，近似服從正態(tài)分布，只要（）（C）THNNSN,1（A）有相同數(shù)學(xué)期望；（B）有相同方差；（C）服從同指數(shù)分布；（D）服從同一離散型分布。第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念61總體與樣本、統(tǒng)計量20一、基本問題概率論中問題的討論，常常從已給的X出發(fā)研究X的種種性質(zhì)，VRVR這進而事先假設(shè)X的分布，數(shù)字特征已知。但在實際問題中，人們事先并不知道事件VR概率，X的概率分布和數(shù)字特征，對它們進行估計與推斷構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計的基本問題。數(shù)理統(tǒng)計例1從2000個產(chǎn)品中隨機地抽檢一個產(chǎn)品，結(jié)果可能合格，也可能不合格，X表示合格品個數(shù)，（X1）合格；（X0）不合格；但是P事先未知即B1,P未定。問題怎樣求出或近似求出P值若人們根據(jù)以往生產(chǎn)經(jīng)驗，提出假設(shè)“H0P065”，那么，是同意這個假設(shè)還是否定這個假設(shè)呢應(yīng)該用什么方法檢驗（U檢驗,X2檢驗，T檢驗，F(xiàn)檢驗）。統(tǒng)計的基本手法（統(tǒng)計推斷）從總體中隨機抽取一小部分進行觀察（OR試驗），然后用觀察得到的資料（OR數(shù)據(jù)）為出發(fā)點，以概率論的理論為基礎(chǔ)對上述問題進行估計或推斷稱之為統(tǒng)計推斷。二、三個基本概念1、總體它是一個概率分布OR服從某個概論分布的X有限總體，無限總體。正態(tài)總VR體。2、樣本從總體X中隨機抽檢N個個體，則得X的一組觀察值，稱此E為隨機NX,1抽樣，簡稱抽樣。N為樣本容量。若離開特定的某次抽樣即將抽樣結(jié)果一般化，則抽得結(jié)果為N個，稱VR這N個為來自總體X的一個容量為N樣本OR（）為來自總體XVRN,1X,1的樣本。N維（）之分布為樣本的分布，對應(yīng)樣本值（）為樣本點，,1NXFFDNX,1樣本點之全體，稱之為樣本空間。簡單隨機樣本3、統(tǒng)計量定義（三個定語）例構(gòu)造統(tǒng)計量與非統(tǒng)計量，總體已知22,，UNX未知；NIIUXF121/,1IFX01P1PP試驗設(shè)計（研究怎樣抽樣）統(tǒng)計推斷估計問題與假設(shè)檢驗問（未知參數(shù)，概率分布OR已知概率分布）為相互獨立；NX,1與總體X同分布。,I21；213NIIXFNIIUXF124幾個重要統(tǒng)計量樣本均值樣本方差K階原點矩（AK）樣本二階中心矩2SK階中心矩（BK）S2順序統(tǒng)計量最小（大）順序統(tǒng)計量X1,XN樣本中位數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)NXMNN,21,12經(jīng)驗分布函數(shù)62三大分布（X2分布，T分布，F(xiàn)分布）抽樣分布TH一、三大分布1X2分布定義X2變量性質(zhì)若X2X2N，則有（1）EX2N,DX22N；（2）X2分布之可加性；（3）N很大時，451,0,22NNNXORN（4）X2N上側(cè)分位數(shù)。2T分布定義（1）T變量PDFFT曲線近假標準正態(tài)PDF曲線（N30）；（2）T分布上側(cè)分位數(shù)。YX02NPTT022,21NF3F分布定義（1）FN1,N2上側(cè)分位數(shù)；（2）分位數(shù)性質(zhì)；,1,122NFN例,8,0521N8053508950F二、抽樣分布前提總體為正態(tài)總體，（）為來自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本。NX,1THEOREM1（樣本均值分布）設(shè)為總體一個樣本，則，NX,1,2UN,2NUN推論。,0NNUXTH2（樣本方差）設(shè)為總體一個樣本，則樣本方差S2與獨立，且NX,1,2UX（略）。2122XSNTH3設(shè)為總體一個樣本，與S2分別為樣本均值和方差，則NX,1,UNX。2,STXUTH4設(shè)和分別是來自總體和，它們相互獨立，11,N2,NY,21UN,2則其中，分別為121TSUYXW1212NSSSW21,兩個樣本的方差（利用TH1,X2可加性TH2，T分布定義）。TH5設(shè)和分別是總體和兩個樣本，它們相互11,NX2,NY,21UN,2獨立，則23，其中分別是兩個樣本方差（利用TH2）1,2121NFS21,S例1、設(shè)X1,X2,X3,X4是來自N0,4的簡單的隨機樣本，求常數(shù)A,B使得XX22。2432XBA例2、設(shè)是分布容量為NM的樣本，求下列統(tǒng)計量之MNN,11,0N概率分布（1）；（2）；21TNXYMIIII,12MNFNXYMIINII例3設(shè)是來自的樣本，1,NX,2NIIX1，求統(tǒng)計量；NIIS1221NTSXTN例4設(shè)總體中抽取一容量為16的樣本，均未知，,2N2,（1）求；（2）；0412SP2DS例5已知,求服從何分布。NTT第七章參數(shù)估計總體分布類型已知或未知條件下，怎樣用樣本估計參數(shù)與特征。兩類點估計和區(qū)間估計71點估計估計量統(tǒng)計量；估計值；估計量與估計值估計點估計。一、矩估計定義點估計時，若可把未知參數(shù)用總體矩函數(shù)表,1MKEXK示為，則可用樣本矩估計總體矩，進而用,1MHNIKIKXA1,K24樣本矩的函數(shù)作為未知參數(shù)的估計。,1MAH二、極大似然估計（MLE）1離散總體似然函數(shù)。ORLNXXPXLIINIMN,111連續(xù)總體XFXMIIN,1112求偏導(dǎo)OR定義方式，解之得0IL,I,11NMXOR利用定義得之例1設(shè)總體X均值和方差未知，求矩估計；EU2DX2,例2設(shè)總體為來自總體X一個樣本，NXPN,1求未知參數(shù)N,P矩估計S2例3設(shè)總體，為其子樣，求的極大似然估計；PXNX,1X例4設(shè)總體，未知，求的最大似然估計；,2UN2,2,U2SU例5已知總體，是取自X的一個樣本，求的矩估計和極大,21UNX,121,似然估計，（1）；（2）。SX3221NX三、鑒定估計量標準三條（無偏性、有效性和一致性）定義1（無偏性）設(shè)為之估計量，若，則稱為，表明,1NXE（1）圍繞擺動，用估計時無系統(tǒng)誤差；0E（2）N很大時大數(shù)定律。PIN例1總體為X一個樣本則是NKKEXUDXU,21,122S無偏估計，是有偏估計，是U之無偏估計，無偏估計；2SXKU是25例2設(shè)，是來自X一個樣本，求K,2UNXNX,1NIIX1是無偏估計，。NIIK1K定義2（有效性）設(shè)與均之無偏估計若對可,1NX,1''NX能值都有且至少對某個參數(shù)使小于號成立，則稱較有效。'D0'目的選擇較集中估計量。例3若取NINICXX11,證明,均為無偏且較有效。CAUCHNJNINIIBAB121221SHWARZ121212DXCNDXNXCDIIINI較有效。,比XI有效。0,JJI定義3（相合性）稱估計量是未知參數(shù)的相合（一致）估計量，,1NN若，即對有。PN00LIMXPREMARK（1）是，是相合估計；K2S2（2）若為N元，則是相合估計；,MTHFC,1MH,1MH（3）相當廣泛條件下MLE是相合估計；N充分大時值應(yīng)趨于穩(wěn)定在附近。N例4設(shè)總體，未知，是來自樣本,1UXX,1（1）求的矩估計和極大似然估計量；（2）上述兩個估計量是否為無偏估計量，若不是請修正為無偏估計量；（3）問在（2）中兩個無偏估計量哪一個更有效72區(qū)間估計點估計（區(qū)間）局限性。尚未對估計之精度和可靠程度并沒有做明確回答。26參數(shù)的區(qū)間估計由子樣給出參數(shù)的估計范圍，這一隨機區(qū)間包含未知參數(shù)具有固定（指定）的概率（），置信區(qū)間、置信度、置信上（下）限定義1REMARK；0,5隨機區(qū)間，正確含義；,21具體樣本為具體區(qū)間。,21NX721單個正態(tài)總體X參數(shù)區(qū)間估計假設(shè)條件，；,2NNX,12,S1已知，求之置信區(qū)間；2NXUNXU2/2/,2已知，求之置信區(qū)間；SXTNTSXNTSX1,1223求置信區(qū)間。222121,SNSSREMARK（1）區(qū)間估計兩要素置信度與置信區(qū)間選取合適，通常采用增大容量N之辦法；N,（2）對于給定置信度和同一未知參數(shù)，使用同一亦可構(gòu)造不1,1XVTR同的置信區(qū)間（3中使212,0,221X1222NXNP,212NSN722兩個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計假設(shè)，；獨立,21NX,2YYXYXNN21211,1已知；求置信區(qū)間2121221TSTW27，2112/NTNSYXTW2112/NTNSYXW2求置信區(qū)間21,122F,1,2122121NNFSS第八章假設(shè)檢驗81假設(shè)檢驗的基本概念1引言例1某藥廠生產(chǎn)一種抗菌素，已知在正常生產(chǎn)條件下，每瓶抗菌素的某項指標服從均值為230正態(tài)分布，某日開工后，測得5瓶數(shù)據(jù)如下2230，215，220，218，214，問該日生產(chǎn)是否正常用X表示該日生產(chǎn)的一瓶抗菌素某項主要指標，若已知，則問題就是要檢,2NX驗假設(shè)是否成立“23例2檢驗施肥功效，施肥，未施肥小麥產(chǎn)量檢驗,21NX,2Y；“210H例3“X服從正態(tài)”檢驗之，齒輪加工中，其經(jīng)向綜和誤差X共同點先對總體分布中某些參數(shù)或?qū)傮w分布之類型某種假設(shè)，然后據(jù)抽取樣本值作出接受還是拒絕假設(shè)的結(jié)論。2基本概念（1）假設(shè)檢驗的問題（2）統(tǒng)計假設(shè)（3）原假設(shè)（零假設(shè)）與備擇假設(shè)H0（總體分布的假設(shè)）；H1（其它容許假設(shè)備擇假設(shè)）。（4）檢驗在對假設(shè)H0檢驗中，需從樣本出發(fā)，建立一個法則一旦樣本值確,2FTXU定后，利用所制定的法則，即可作出接受或拒絕H0結(jié)論。這個法則亦稱為一個檢驗。（5）顯著性檢驗例1例3僅提出一個統(tǒng)計假設(shè)，而且目的也僅僅是判斷這個統(tǒng)計假設(shè)參數(shù)假設(shè)在總體分布類型已知條件下，關(guān)于總體分布中未知參數(shù)的統(tǒng)計假設(shè)；非參數(shù)假設(shè)在總體分布類型未知情況下，對總體分布類型或總體分布的某些特征提出的統(tǒng)計假設(shè)。28是否成立，并不同時研究其它統(tǒng)計假設(shè)，稱顯著性檢驗。（6）假設(shè)檢驗之基本思想小概率原理依據(jù)以小概率原理作為拒絕假設(shè)H0的依據(jù)。顯著水平（001,005,01