1第一章事件與概率（一次半）基礎(chǔ)班（8次學(xué)時(shí)8324小時(shí)）概率論它是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)科學(xué)。簡(jiǎn)史起源于賭博。17世紀(jì)法國(guó)PASCAL和FERMAT解決MERE（公平賭博）問(wèn)題等并提出了排列與組合的新知識(shí)。18世紀(jì)早期JBERNOULLI提出了概率論歷史上第一個(gè)極限定理（貝努里大數(shù)定理），19世紀(jì)初LAPLACE提出了古典概率定義。20世紀(jì)30年代KOLMOGOROV建立了概率的公理化定義（19世紀(jì)末CANTOR集合論和20世紀(jì)30年代LEBESGUE測(cè)試論）。歷史上GAUSS、DEMOIRVE、CHEBESHEV、LIAPUNOV、BOREL、KHINCHINE、MARKOV、KPEARSON、FISHER、CRAMER、WIENER、DOOB、ITO、許寶祿、RAO等人亦對(duì)概率統(tǒng)計(jì)發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)。11隨機(jī)事件、樣本空間、例子，稱(chēng)滿(mǎn)足、條件的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，記為E，基本事件ABC（樣本點(diǎn)）用E表示隨機(jī)事件用“A,B,”表示樣本空間（必然事件）用S表示。REMARK（1）發(fā)生，EI出現(xiàn)了；（2）S引入意義。AAI,12事件的關(guān)系與運(yùn)算（兩種語(yǔ)言刻劃）一、六種關(guān)系10,12,0,1234,50,234,510,78,910,2,SABCABC例觀查某電話呼叫臺(tái)接到的呼叫次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)求之間的關(guān)系二、四個(gè)運(yùn)算性質(zhì)REMARK（1）兩個(gè)事件互斥（互不相容）兩個(gè)事件互為對(duì)立事件；（2）ABAAB；B（3）事件的假設(shè)與事件的相互表示是學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本功。例1某人向一目標(biāo)射擊三次，AI表示第I次命中（I1,2,3）,BJ表示命中J次（J0,1,2,3）,用AI表示BJ。例2設(shè)A,B,C為E中三個(gè)事件，用之表示（1）僅C發(fā)生；（2）A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生；（3）A,B,C僅有兩個(gè)發(fā)生；（4）A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；（5）A,B,C中不多于（或至多）一個(gè)發(fā)生；（6）A,B,C中不少于兩個(gè)發(fā)生。13古典概率P（A）事件A發(fā)生的可能性大小數(shù)值。它是抽象集函數(shù)且是客觀存在的。例子（42個(gè)）定義（古典概型E）SAP例子例1（電話號(hào)碼）從09中有重復(fù)抽取5個(gè)數(shù)組成五位數(shù)的電話號(hào)碼，求（1）的概率；（2）的概率；“五個(gè)號(hào)碼全相同A“2五個(gè)號(hào)碼全不相同A（3）的概率；8五個(gè)號(hào)碼中有兩個(gè)例2（抓鬮問(wèn)題）某袋中有6個(gè)白球，4個(gè)黑球，依次一個(gè)接一個(gè)摸出，求A“第次摸得白球”概率。（實(shí)用范圍競(jìng)賽分組，兩種手法）。K例3（分配問(wèn)題）現(xiàn)有N個(gè)房子，N個(gè)人，每個(gè)房子足以容納N個(gè)人，每人以等概率進(jìn)入每個(gè)房子，今將N個(gè)人隨機(jī)分配到N個(gè)房子中，求A“指定N個(gè)房子各一人”概率；B“恰有N個(gè)房子各有一人”的概率；求C“某一指定房子恰有K人”概率。（分配原則；實(shí)用范圍分房、分球、分信、生日問(wèn)題）。例4（超幾何概率與二項(xiàng)概率）袋中10個(gè)產(chǎn)品，其中6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中按兩種方式（不放回和有收回），任取3個(gè)產(chǎn)品，求其中恰有2個(gè)正品A之概率。（實(shí)用產(chǎn)品檢驗(yàn)。）THEOREM古典概率滿(mǎn)足7條。利用古典概率性質(zhì)計(jì)算概率的例子例5（電話號(hào)碼）從09中抽取5個(gè)數(shù)隨機(jī)組成電話號(hào)碼，求五個(gè)數(shù)的電話號(hào)碼中至少有二個(gè)數(shù)相同A之概率。例6某袋中有180件產(chǎn)品，其中次品8件，從中任取4件，求A“次品數(shù)超過(guò)1”概P（A）0010。例7從0,1,2,9等10個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同數(shù)字，B1不含0；B2不含5。求A1“三個(gè)數(shù)中不含0和5”；A2“三個(gè)數(shù)中不含0或5”；A3“三個(gè)數(shù)中含0，但不含5”概率；14幾何概率定義（幾何概型E）SLAP例1（約會(huì)問(wèn)題）甲乙兩人約定在內(nèi)會(huì)面，若一人先到，則等小時(shí)后即離去，求T,0T此兩人在內(nèi)會(huì)面的概率。T,0例2（三角形構(gòu)成問(wèn)題）將一根為之線段隨機(jī)地截為三段，求三線段構(gòu)成一個(gè)三角形AA的概率。例3（BUFFON投針問(wèn)題（1777年）在一個(gè)平面上畫(huà)一些距離為的平行線，然后再向此A3平面投一根長(zhǎng)為的針（，求針與平面相交的概率。LALTHEOREM幾何概率滿(mǎn)足（1）（7）15統(tǒng)計(jì)概率與公理化定義例1擲硬幣N次E；定義1（頻率定義）NMAFREMARK（1）N充分大時(shí)FNA穩(wěn)定性；（2）不確定性；一般。21AFNN定義2（統(tǒng)計(jì)概率）P（A）PAPREMARK（1）適合一切E；（2）無(wú)法定P但N很大時(shí)。FNTHEOREM滿(mǎn)足1,2,3，利用TH及DEF2，統(tǒng)計(jì)概率滿(mǎn)足（1）（7）。FN1933年KOLMOGOROV公理化定義（13）三個(gè)推論補(bǔ)充例1（1）R個(gè)人生日全不同概率；（2）教室里4個(gè)人至少有兩人生日在同一個(gè)月概率；例26個(gè)人中生日在星期幾等可能，求其生日在一星期中某兩天但不在同一天A概率；例3從編號(hào)為110任取三個(gè)，求（1）最小號(hào)碼為5這一事件A的概率；（2）最大號(hào)碼為5這一事件B的概率；例4若A1,A2,A3同時(shí)發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，則；31IIP例5若，P（AB）0P（AC），P（BC），求41CP81；CBP例6設(shè)P（A）P，P（B）Q，求RBA。,BAA第二章條件概率與獨(dú)立性（一次半）21條件概率乘法定理4發(fā)生的條件下，B發(fā)生的條件概率。AP例1袋1（4個(gè)白球，2個(gè)黑球）；袋2（4個(gè)黑球，2個(gè)白球），擲硬幣一次E，若出現(xiàn)正面（H），從袋1中任取一球；否則（T），從袋2中任取一球，A表示任取一球?yàn)楹谇颉Ｇ笠阎狧信息條件下A發(fā)生的概率（兩件事幾何概率條件頻率條件統(tǒng)計(jì)概率）。定義（P（B）0）比值為記。BPREMARK（1）；（2）一般意義。STHEOREM1條件概率滿(mǎn)足三條公理（P（B）0），由之推出4,5,6,7；THEOREM2設(shè)P（A），P（B）0，則，ABPA；BTHEOREM3設(shè)P（A1AN1）0，則。11211NNNA例1某包裝了器皿今扔三次，第一次扔下器皿損壞的概率為04；若第一次未損壞，第二次扔下器皿損壞的概率為06；若第二次未損壞，第三次扔下器皿損壞的概率為09，求A“器皿損壞”概率（0976）；例2某袋中有10個(gè)球，其中6黑4白，從中任取3個(gè)，求第三次取到白球概率和第三次才取到白球概率。189501422全概率公式例1某袋中有10個(gè)球，其中6白4黑，甲,乙,丙三人依次摸一球，求甲,乙,丙三人分別摸到白球的概率。THEOREM1設(shè)A1,AN,是可數(shù)無(wú)窮多個(gè)互斥事件，且01,2IPA，AS，則有；1IS1III例2甲袋（3個(gè)白球，2個(gè)黑球）；乙袋（4個(gè)白球，4個(gè)黑球），從甲袋任取2個(gè)，放入乙袋，再?gòu)囊掖稳∫磺?，A表示取到白球，求；AP513例3某袋中15個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新球，第一次比賽時(shí)任取3個(gè)，然后放入原袋中，求第二次比賽時(shí)取出三個(gè)新球A的概率（0089）；23BAYES公式1763年英國(guó)牧師BAYES論機(jī)遇理論中一個(gè)問(wèn)題的解決（普賴(lài)斯），BAYES曾師從5DMOIRVE；例1發(fā)射臺(tái)發(fā)出“”,“”信號(hào)比例為53，由于干擾，發(fā)出“”,“”信號(hào)的失真率分別為，求接受到“”信號(hào)時(shí)亦發(fā)出“”信號(hào)概率；3152THEOREM2BAYES條件同TH1,PB0,則1IIIJJJABPBAPP（AI）先驗(yàn)概率，專(zhuān)門(mén)科學(xué)知識(shí)，后驗(yàn)概率。IBPJ例2上節(jié)例2中若已知A發(fā)生條件下，A1發(fā)生的概率。2615例3設(shè)某袋中有MN枚硬幣，其中M枚為次品（兩面均為國(guó)徽），從中任取一枚，擲R次均得到國(guó)徽，求它是正品這一事件的概率。24獨(dú)立性一般，特殊，即P（AB）P（A）P（B）BPABA定義1（兩個(gè)事件獨(dú)立）REMARK（1），（2）TH1TH2定義2（三個(gè)事件獨(dú)立）ABC滿(mǎn)足1,2,3,4則稱(chēng)兩兩獨(dú)立（123）REMARK1一般地，由（1）（2）（3）成立推不出（4）成立；（BERNSTAIN反例）2）一般地，由（4）成立推不出（1）（2）（3）全成立例11BERNSTEIN反例2若一個(gè)均勻?qū)ΨQ(chēng)色子若1點(diǎn)紅,白,黑,2點(diǎn)紅,3點(diǎn)紅,黑,4點(diǎn)紅,白,5點(diǎn)白,6點(diǎn)黑或紅1234黑136白145用A,B,C分別表示色子出現(xiàn)紅,白,黑事件,問(wèn)A,B,C是否相互獨(dú)立為什么例2幾何概型E,M1,M2,M3是否兩兩獨(dú)立為什么定義3（N個(gè)事件獨(dú)立性（N2）CCNNN1032例3甲、乙、丙三人各自向一飛機(jī)射擊一次，他們命中飛機(jī)的概率分別為04,05,07若飛機(jī)中一彈而被擊落的概率為02；若飛機(jī)中兩彈而被擊落的概率為06；若飛機(jī)中三彈必然被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。例4（可靠性問(wèn)題），每個(gè)同類(lèi)型的元件可靠性為R，N個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立，試求下面兩個(gè)系統(tǒng)（1）（2）的可靠性并比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性1N1N21例5（圖書(shū)館借書(shū)）某考生想借一本書(shū)，決定到三個(gè)圖書(shū)館去借，對(duì)每個(gè)圖書(shū)館而言，有NN116無(wú)此書(shū)概率相等；若有，能否借到的概率亦相等，假設(shè)這三個(gè)圖書(shū)館采購(gòu)、出借圖書(shū)相互獨(dú)立，求該考生能借到書(shū)的概率。25二項(xiàng)概率公式和泊松近似公式定義1（N次重復(fù)獨(dú)立E）定義2（N重貝努里E）REMARK貝努里EA成功失?。籒重貝努里E；11INICPP轉(zhuǎn)化條件。THEOREM1（二項(xiàng)概率），K0,1,2,N推論KNNQ01NKP例1從一批次品為30任取5件；求（1）恰有2個(gè)次品概率（0309）；（2）至少有2個(gè)次品概率（0472）。例2昆蟲(chóng)產(chǎn)卵K個(gè)卵的概率為；各個(gè)孵化為蟲(chóng)的概率為P；各個(gè)卵是否孵化為蟲(chóng)相KE互獨(dú)立。求該昆蟲(chóng)下一代有條蟲(chóng)的概率。例3某數(shù)字傳輸器512103個(gè)0或1/秒，由于干擾，每傳送一次產(chǎn)生誤碼的概率為P107,求10秒內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)誤碼概率（030）N充分大，P很小，P,A稀有事件。這是一個(gè)計(jì)算的復(fù)雜性問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題是21AP世紀(jì)數(shù)學(xué)乃至是計(jì)算領(lǐng)域的重要問(wèn)題（陳省生大師）。1837年法國(guó)人POSSION解決了上述具體問(wèn)題。THEOREM2N重貝努里E，NPN（常數(shù)）,成功概率為PN,則對(duì)KREMARKEKPNLIMNP10,例4（保險(xiǎn)問(wèn)題）某保險(xiǎn)公司有2500人參加保險(xiǎn)，每人交納保險(xiǎn)費(fèi)12元/年，假定每人在一年內(nèi)死亡的概率為P0002，若一人在一年內(nèi)死亡，其家屬可領(lǐng)喪葬費(fèi)2000元。求（1）保險(xiǎn)公司虧本A之概率0000069；（2）公司獲利不少于10000元B之概率（0986305）。補(bǔ)充例1考試時(shí)有四道選擇，每題附4個(gè)答案，其中一個(gè)正確，一個(gè)考生隨意地選擇每題答案，求他至少答對(duì)三道A的概率；25613431C例2設(shè)10件產(chǎn)品有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件中有一件是不合格品，7求另一件亦不合格的概率5154212216421APAPC例3從52張撲克牌中任取5張，求在至少有3張黑桃條件下，5張均為黑桃的概AP24931例4證若A，B，C獨(dú)立，則及AB都與C獨(dú)立。第三章隨機(jī)變量及其布31隨機(jī)變量的概念與賭博有聯(lián)系S可能為數(shù)值集合亦可能不是，怎樣利用數(shù)學(xué)分析中函數(shù)來(lái)刻劃事件的概率，需要引入概念；隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)（一般有兩類(lèi)一類(lèi)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果直接是VR數(shù)值；另外一類(lèi)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是數(shù)值（需要引入映射才可與數(shù)值對(duì)應(yīng)）。）例1擲硬幣一次E，S正面，反面建立XER正面1反面0（X1）“正面”；（X0）“反面”XSH對(duì)應(yīng)1,例2擲硬幣兩次E，S（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）X表示出現(xiàn)正面次數(shù)XS0,1,2單質(zhì)對(duì)應(yīng)定義ESE，都有唯一實(shí)數(shù)X（E）與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)X（E）為隨機(jī)變量，記VXRREMARKX為定義于S上一個(gè)函數(shù)；值域通常含兩個(gè)OR兩個(gè)以上數(shù)集。事件A的示性函數(shù)稱(chēng)為A之A,01；，E“1“VRA為可用示性函數(shù)表述事件的6種關(guān)系A(chǔ)ABBAABBA1032離散型VXRE0,00,11,01,1X01128定義1（分布列）PI滿(mǎn)足（1），（2）反之，亦成立（3）AIIPX例1（幾何分布）在相繼獨(dú)立貝努里E中，每次成功概率均為P，求首次成功所需貝努里試驗(yàn)的次數(shù)X分布；并求當(dāng)時(shí)5,64X例2某袋中有AB件球，其中A個(gè)白球，B個(gè)黑球，從中任取R個(gè)，求白球個(gè)數(shù)X的分布列；三個(gè)特殊分布（1）兩點(diǎn)分布（貝努里分布）；（2）二項(xiàng)分布；（3）泊松分布；33分布函數(shù)例1向（A,B）內(nèi)擲一隨機(jī)點(diǎn)，幾何概型E，求落點(diǎn)坐標(biāo)X的分布。，用離散型隨機(jī)變量分布列的BAX,0XXP2121,XBAX辦法無(wú)法描述其概率分布。需考慮隨機(jī)變數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的取值的概率問(wèn)題，何區(qū)間利用HALMOS測(cè)度論1221XXHALMOS測(cè)度論P(yáng)XPXX定義設(shè)X為，稱(chēng)，,為X分布函數(shù)，記VRFXRVRXFFDREMARK（1）F（X）是R上實(shí)函數(shù)；（2）REALANALYSIS；VRFDP例1解0,1,XAXAXBB例2設(shè)X分布列為VR求F（X）FDREMARK（1）；1,2KPXXKIPF（2）反問(wèn)題已知離散型X的分布函數(shù)，可求其分布列。VR補(bǔ)充定理已知X的分布函數(shù)，則有VRXLIMAFAPTATX0123P489例3設(shè)X為并且X一切可能值有VRFD2,1850,14,XXFVRK求X分布列。0KPXVRF（X）滿(mǎn)足（1）FDXF（2）是單調(diào)不減的（3）01（4）反之，亦有。上右連續(xù)的函數(shù)。是RXF例4設(shè)X求A,BVRFD0,0,23XEBA34連續(xù)型X例1（上節(jié)例1）定義其它,01BXABXF定義設(shè)隨機(jī)變數(shù)X，其VR滿(mǎn)足若存在一個(gè)非負(fù)的函數(shù)為,XFFFD，XTRX則稱(chēng)X為連續(xù)型，PDFFXRFX滿(mǎn)足（1）FX0；（2）；反之，也成立。1DXF（3）；211XXXP12XF（4）是R上；（5）若FX在點(diǎn)連續(xù)，則；FFC000XF（6）；（7）FX在點(diǎn)連續(xù)時(shí)，則FX在此點(diǎn)函數(shù)值大小表0,XX明在點(diǎn)附近取值概率的大小。VXR010例2設(shè)XPDF為求（1）A；（2）FX；（3）VR0,2XAEXFP1X2。例3設(shè)XPDF求FXVR其它,0212,XXFFD三個(gè)特殊分布（1）均勻分布（定義，幾何概率）；FD（2）指數(shù)分布（定義，背景）；（3）正態(tài)分布（背景、定義、圖象、應(yīng)用）分位數(shù)。例4（測(cè)量問(wèn)題刻化）測(cè)量某一距離產(chǎn)生的隨機(jī)誤差的概率密度為MX；求在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30米的RXEXF,02132概率。例5電子管使用壽命XN（1600,），若求范圍；296012XP例6若XN，求K1,06826,K2,09544,K3,09973。2,UKUXP35X函數(shù)分布VR定義（背景物理、數(shù)學(xué)、工程）FC一、離散型X函數(shù)的分布R例1求Y12X1和Y2X22之分布；二、連續(xù)型X函數(shù)分布VR兩個(gè)方法（1）方法YGXFYYFDFCD用X表示Y之分布YGPYFYORUYFY（2）公式法兩個(gè)TH1,TH2簡(jiǎn)述之X012345P6911例2設(shè)X為連續(xù)型PDFFXX,YAXB,，則Y之PDF；VR0AABYFYFXY1應(yīng)用XN（），YAXB，則Y之PDFFYY且YN（A。2,2,例3設(shè)XN（0,1），YX2，求Y之PDF0,0,21YEYFYY例4設(shè)XU（0，1），（1）求YEX的PDF；YF（2）求YLN2其它,01EYYPDFY其它,021YEFY第四章多維及分布VR41多維定義，分布函數(shù)，邊緣分布函數(shù)VR背景整體刻劃分布之間關(guān)系定義1（N維）N2；VR定義2（二維分布函數(shù)），幾何意義FX,YFX,Y滿(mǎn)足（1），（2），（3），F(xiàn)DF（4），（5）反之，亦成立；定義3（邊緣分布函數(shù)）。REMARK與F（X,Y）之間關(guān)系。F42離散型（X，Y）VR分布列（PIJ）PIJ滿(mǎn)足三條，反之，亦成立REMARKXYIJIJP,例1某袋有10件產(chǎn)品，其中2件一級(jí)品，7級(jí)二級(jí)品，1件次品，從中任取3件，X,Y分別表示取到一級(jí)品，二級(jí)品個(gè)數(shù)，求（X,Y）分布列及聯(lián)合分布列。例2將一硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫(xiě)出（X,Y）的分布列及邊緣分布列。43連續(xù)型（X,Y）VR定義1（二維連續(xù)型定義，PDF）,YXF性質(zhì)（1）；0,YXF12（2）；1,DXYF（3）。GXDYFYXP,（4）若處連續(xù)，則；,0YXF在,0,20YXFFYX定義2（邊緣概率密度）例1設(shè)（X,Y）PDF為VR其它,00,YXCEYXFY例2設(shè)（X,Y）PDF為其它,020,1,3,2YXYXYF求（1）；（2）。7651YXP,YFFD兩個(gè)特殊分布（1）二維均勻分布（有限區(qū)域G）；（2）二維正態(tài)（X,Y）之PDF為21212122211EXP,YXXYXFREMARK（1）；,21NYXYX,（2）表示X與Y相關(guān)系數(shù)；其中；1,0,2121（3）（X與Y獨(dú)立）；則稱(chēng)0,NYX44獨(dú)立性VR意義（X,Y）為二維，是否獨(dú)立刻劃聯(lián)合分布與邊VRRYX,“,“YX緣分布聯(lián)系。定義1（X與Y獨(dú)立）VR例1設(shè)（X，Y）求X與Y是否獨(dú)立其它,00,1,43YXEYXFFDYX（1）；C（2）；,YFXYX（3）；,XF（4）。10P13離散型（X，Y）X與獨(dú)立VRJI,JIP連續(xù)型（X，Y）X與獨(dú)立二元函數(shù)亦為（X，Y）之PDFYFXYXVR,YFXYF例2設(shè)（X，Y）分布列為VR問(wèn)（1）必須滿(mǎn)足什么（2）若X與Y獨(dú)立則,例3設(shè)（X，Y）之PDF為問(wèn)X與Y是否獨(dú)立其它,00,1,43YXEYXFY例4設(shè)（X，Y）之PDF為問(wèn)X與Y是否獨(dú)立81,F其它例5設(shè)二維為FDVR,2ARCTN2ARCTN,YCXBAYXF其中A，B，C為常數(shù)，,求（1）A，B，C（2）YFXYFXYXYX,（3）X與Y獨(dú)立嗎為什么（4）PN維獨(dú)立性概念類(lèi)似,1NXVR45（X，Y）函數(shù)分布問(wèn)題提法已知（X，Y）分布，求之，為一個(gè)二元的連續(xù)函數(shù),YXGZ,YXGZ分布1、和的分布（1）離散型和分布VR例1設(shè)X與Y獨(dú)立，ZXY，求Z之分布；,21PYXY123169182314（2）連續(xù)型和分布已知（X，Y）PDFFX,Y，ZGX,Y，求Z之PDFVR分布函數(shù)法ZZDUXGPZZFFD,DYFXZFZ,若則卷積公式獨(dú)立，與YXYXZZF例2設(shè),，X與Y獨(dú)立，求ZXY之PDFFZZ；10UE例3XN（0，1），Y與X獨(dú)立同分布，ZXY，求Y之PDFFZZ推廣形式；2、瑞利分布（RAYLEIGH）若X，Y獨(dú)立且同分布，求，,02NX2YX0,0,2ZEZFZ3、MAXX,Y及MINX,Y之分布提法MMAXX,Y，NMINX,Y，X,Y之FXX,FYY且X與Y獨(dú)立；求M，N之分FD布函數(shù)。1,ZZFZNYXM推廣到N維情形。例4設(shè)電子儀器由兩個(gè)相互獨(dú)立的電子管裝置及組成，方式有兩種1L2（A）,串聯(lián)；（B）,并聯(lián)，,壽命分別在，1L21L22FDYX,0,0XEXFX其中試在兩種方式下，分別求出儀器壽命ZPDF。,1YYY0,例5設(shè)二維（X,Y）在上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為VR1,2,YXYXGX和Y的矩形面積SPDFFS。46條件分布條件分布列條件概率密度例1設(shè)在D上服從二維均勻分布問(wèn),XYFXFYY并求其條件分布問(wèn)X與是否獨(dú)立YX12YXY2X15其它,0212,XXFX其它,012YYFY例22,01,2,3XYYFXY已知，求其條件分布，問(wèn)X與Y獨(dú)立嗎其它其它,0,132XXFX其它,02613YYFY；20,6|,10|XYYFXY1,2,21XFYYZ其它，均為0例3已知PDFYX,YX,其它,0YXEY求（1），（2）的條件概率密其它,0EXFXX0,YEFY,XY度且問(wèn)與Y是否獨(dú)立VR例4某袋中有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取兩件，令表示第分別與Y一次和第二次取到次品的個(gè)數(shù)，求（1）（2）已知的分布列；,YX3已知。的條件分布列；條件下，（YX0的條件分布列條件下，（X1例5設(shè)隨機(jī)變量的概率YIPX,103的概率分布為相互獨(dú)立，與密度為記（1）求（2）求其他,0,1YFYYXZZZFZZ的概率密度第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征16意義與作用（1），（2），（3）51數(shù)學(xué)期望一、定義1離散型期望之定義定義1；VR2連續(xù)型期望之定義定義2；例1，求；例2，求；,PBXEX,PNBNPEX例3，求；例4，求；PBAU2BA例5，求；例6，求；1,2UNU例7取卡片例子。二、函數(shù)期望TH51TH52VR例1，求，；,2UNXXEXA例2設(shè)在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品需求量是X（噸），它在2000，4000上VR服從均勻分布，每售一噸掙外匯3萬(wàn)元，若囤積一噸，需浪費(fèi)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)需組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大例3上均勻分布，求EX，E（3X2Y），EXY。,AUYX例4設(shè)X，Y獨(dú)立同分布，XU0，2，求。3/4,MAX3/2,INYXEYX三、期望性質(zhì)（1）ECC；（2）ECXCEX；（3）；VRNII11（4）若相互獨(dú)立，則。NX,1INIEXEX11例1XB（N,P），求；1IIE例2R個(gè)人底層，樓層N層，X電梯停次數(shù)，求EX，R10，N10，EX65；例3X,Y獨(dú)立，求。5,0,025YEYFXXFYX其它52方差期望定義意義與不足2,RREXER定義（DX），均方差，標(biāo)準(zhǔn)差D方差性質(zhì)（1）DC0；（2）DCXC2DX，C為常數(shù)；（1/3，1/3，1/12）17（3）DXEX2EX2；（4）X1,XN獨(dú)立，則；NIINIIDX11（5）常數(shù)A使。0DP例1X（0,1），求DXPQ；例2XB（N,P），求DX（NPQ）兩種方法；例3XP，求DX；例4XU（A,B），求；補(bǔ)充一個(gè)結(jié)論。21ABDX例5XE，求；例6，求；2DX,2UN2例7在長(zhǎng)為線段上，任取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間距離期望與方差；例8設(shè)X,Y是兩個(gè)獨(dú)立同分布，求VR21,0NX21,YXDE53協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差引入逆否命題定義1（COVX,Y），5條性質(zhì)不足與意義（1）其大小依賴(lài)于計(jì)量單位；（2）它與X,Y取值有關(guān)，也與X,Y和其自身期望的偏差有關(guān)，難以精確刻劃X,Y關(guān)系。定義2（相關(guān)系數(shù)）DYX,COVTH1滿(mǎn)足（1）；（2）使。BA,11BXYP定義3（不相關(guān)）若0，則稱(chēng)X與Y不相關(guān)TH2與下面一條件等價(jià)（1）COVX,Y0；（2）DXYDXDY；0REMARK1若X與Y獨(dú)立可推出X與Y不相關(guān)，但X與Y不相關(guān)也的方差存在，與YX推不出（見(jiàn)下面的反例）。特別當(dāng)X與Y獨(dú)立二維正態(tài)變量（X，Y）時(shí)或者均為二值隨機(jī)變量時(shí)，X與Y獨(dú)立0（2）表明X與Y無(wú)線性依賴(lài)關(guān)系，但有別的函數(shù)關(guān)系；18反例XN（0,1），YX2，則而且X與Y不獨(dú)立；0XY2定義4（K階原點(diǎn)矩，中心矩）例1設(shè)X1,X2,X3為三個(gè)兩兩不相立的，3,1,IEVRI3,21IDI求；321321,X1,例2設(shè)X,Y,Z為三個(gè)，且VREXEY1，EZ1，DXDYDZ1，若WXYZ，21,0XZYYZ求EW，DW（1，3）；例3某箱中裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別有80，10，10件從中隨機(jī)取一件，記（I1,2,3）其它等品若抽到,0IXI求（1）（X1，X2）聯(lián)合分布，邊緣分布；（2）；3/21X例4已知XN（1，32），YN（0，42），且，設(shè)，Y2YZ求（1）DZ，EZ；（2）。,XZ54大數(shù)定律引言事件頻率穩(wěn)定性可處理為大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果。在概率論中，這類(lèi)平均結(jié)果的穩(wěn)定性有關(guān)結(jié)論，統(tǒng)稱(chēng)為大數(shù)定律。例1分析天平；（2）。NIPIUX1NIDINAPXAF11、切此曉夫不等式TH1對(duì)，若方差DX存在，則對(duì)有VR0OR成立。DEP2EP2REMARK鑰匙；粗略估計(jì)；例1給定，利用切氏不等式估計(jì)；09,XX30例2若DX0004，利用切氏不等式估計(jì)概率。20X2、大數(shù)定律TH2（貝努里大數(shù)定律）定義序列獨(dú)立VRXNTH3（切此曉夫大數(shù)定律）稱(chēng)滿(mǎn)足（I），（II），服從大數(shù)定律。NX19推論（獨(dú)立同分布序列，）VR2,IIDXUETH4（KHINCHINE大數(shù)定律）設(shè)獨(dú)立同分布序列，具有有限期望NVR,21IUEXI則對(duì)有011LIM0LIM1NIINNIINUXPORUXP55中心極限TH獨(dú)立和的極限分布問(wèn)題。正態(tài)分布地位與作用中心極限TH及條件VRNII1TH1（獨(dú)立同分布的中心極限TH）LINDBERGLEVY近似TH2（DEMOIRVELAPLACE）近似推論1N充分大時(shí)12PQNPNYP推論2N充分大時(shí)；NANBAN例1獨(dú)立同分布，XIP003，用中心極限TH，計(jì)算P（Z3）50,I501IIXZ（01103）；例2重復(fù)擲硬幣N100次，設(shè)每次出現(xiàn)正反概率各為，求YN為正2605NP面次數(shù)。例3辛欽大數(shù)定理應(yīng)用的例子。例4LINDBERGLEVY的例子設(shè)相互獨(dú)立，則據(jù)LINDEBERGVRNX,1NIIXS1LEVY中心極限，當(dāng)充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布，只要（）（C）THNNSN,1（A）有相同數(shù)學(xué)期望；（B）有相同方差；（C）服從同指數(shù)分布；（D）服從同一離散型分布。第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念61總體與樣本、統(tǒng)計(jì)量20一、基本問(wèn)題概率論中問(wèn)題的討論，常常從已給的X出發(fā)研究X的種種性質(zhì)，VRVR這進(jìn)而事先假設(shè)X的分布，數(shù)字特征已知。但在實(shí)際問(wèn)題中，人們事先并不知道事件VR概率，X的概率分布和數(shù)字特征，對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)與推斷構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題。數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1從2000個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)地抽檢一個(gè)產(chǎn)品，結(jié)果可能合格，也可能不合格，X表示合格品個(gè)數(shù)，（X1）合格；（X0）不合格；但是P事先未知即B1,P未定。問(wèn)題怎樣求出或近似求出P值若人們根據(jù)以往生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，提出假設(shè)“H0P065”，那么，是同意這個(gè)假設(shè)還是否定這個(gè)假設(shè)呢應(yīng)該用什么方法檢驗(yàn)（U檢驗(yàn),X2檢驗(yàn)，T檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn)）。統(tǒng)計(jì)的基本手法（統(tǒng)計(jì)推斷）從總體中隨機(jī)抽取一小部分進(jìn)行觀察（OR試驗(yàn)），然后用觀察得到的資料（OR數(shù)據(jù)）為出發(fā)點(diǎn)，以概率論的理論為基礎(chǔ)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行估計(jì)或推斷稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)推斷。二、三個(gè)基本概念1、總體它是一個(gè)概率分布OR服從某個(gè)概論分布的X有限總體，無(wú)限總體。正態(tài)總VR體。2、樣本從總體X中隨機(jī)抽檢N個(gè)個(gè)體，則得X的一組觀察值，稱(chēng)此E為隨機(jī)NX,1抽樣，簡(jiǎn)稱(chēng)抽樣。N為樣本容量。若離開(kāi)特定的某次抽樣即將抽樣結(jié)果一般化，則抽得結(jié)果為N個(gè)，稱(chēng)VR這N個(gè)為來(lái)自總體X的一個(gè)容量為N樣本OR（）為來(lái)自總體XVRN,1X,1的樣本。N維（）之分布為樣本的分布，對(duì)應(yīng)樣本值（）為樣本點(diǎn)，,1NXFFDNX,1樣本點(diǎn)之全體，稱(chēng)之為樣本空間。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本3、統(tǒng)計(jì)量定義（三個(gè)定語(yǔ)）例構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量與非統(tǒng)計(jì)量，總體已知22,，UNX未知；NIIUXF121/,1IFX01P1PP試驗(yàn)設(shè)計(jì)（研究怎樣抽樣）統(tǒng)計(jì)推斷估計(jì)問(wèn)題與假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)（未知參數(shù)，概率分布OR已知概率分布）為相互獨(dú)立；NX,1與總體X同分布。,I21；213NIIXFNIIUXF124幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差K階原點(diǎn)矩（AK）樣本二階中心矩2SK階中心矩（BK）S2順序統(tǒng)計(jì)量最?。ù螅╉樞蚪y(tǒng)計(jì)量X1,XN樣本中位數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)NXMNN,21,12經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)62三大分布（X2分布，T分布，F(xiàn)分布）抽樣分布TH一、三大分布1X2分布定義X2變量性質(zhì)若X2X2N，則有（1）EX2N,DX22N；（2）X2分布之可加性；（3）N很大時(shí)，451,0,22NNNXORN（4）X2N上側(cè)分位數(shù)。2T分布定義（1）T變量PDFFT曲線近假標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)PDF曲線（N30）；（2）T分布上側(cè)分位數(shù)。YX02NPTT022,21NF3F分布定義（1）FN1,N2上側(cè)分位數(shù)；（2）分位數(shù)性質(zhì)；,1,122NFN例,8,0521N8053508950F二、抽樣分布前提總體為正態(tài)總體，（）為來(lái)自正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。NX,1THEOREM1（樣本均值分布）設(shè)為總體一個(gè)樣本，則，NX,1,2UN,2NUN推論。,0NNUXTH2（樣本方差）設(shè)為總體一個(gè)樣本，則樣本方差S2與獨(dú)立，且NX,1,2UX（略）。2122XSNTH3設(shè)為總體一個(gè)樣本，與S2分別為樣本均值和方差，則NX,1,UNX。2,STXUTH4設(shè)和分別是來(lái)自總體和，它們相互獨(dú)立，11,N2,NY,21UN,2則其中，分別為121TSUYXW1212NSSSW21,兩個(gè)樣本的方差（利用TH1,X2可加性TH2，T分布定義）。TH5設(shè)和分別是總體和兩個(gè)樣本，它們相互11,NX2,NY,21UN,2獨(dú)立，則23，其中分別是兩個(gè)樣本方差（利用TH2）1,2121NFS21,S例1、設(shè)X1,X2,X3,X4是來(lái)自N0,4的簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本，求常數(shù)A,B使得XX22。2432XBA例2、設(shè)是分布容量為NM的樣本，求下列統(tǒng)計(jì)量之MNN,11,0N概率分布（1）；（2）；21TNXYMIIII,12MNFNXYMIINII例3設(shè)是來(lái)自的樣本，1,NX,2NIIX1，求統(tǒng)計(jì)量；NIIS1221NTSXTN例4設(shè)總體中抽取一容量為16的樣本，均未知，,2N2,（1）求；（2）；0412SP2DS例5已知,求服從何分布。NTT第七章參數(shù)估計(jì)總體分布類(lèi)型已知或未知條件下，怎樣用樣本估計(jì)參數(shù)與特征。兩類(lèi)點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)71點(diǎn)估計(jì)估計(jì)量統(tǒng)計(jì)量；估計(jì)值；估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)點(diǎn)估計(jì)。一、矩估計(jì)定義點(diǎn)估計(jì)時(shí)，若可把未知參數(shù)用總體矩函數(shù)表,1MKEXK示為，則可用樣本矩估計(jì)總體矩，進(jìn)而用,1MHNIKIKXA1,K24樣本矩的函數(shù)作為未知參數(shù)的估計(jì)。,1MAH二、極大似然估計(jì)（MLE）1離散總體似然函數(shù)。ORLNXXPXLIINIMN,111連續(xù)總體XFXMIIN,1112求偏導(dǎo)OR定義方式，解之得0IL,I,11NMXOR利用定義得之例1設(shè)總體X均值和方差未知，求矩估計(jì)；EU2DX2,例2設(shè)總體為來(lái)自總體X一個(gè)樣本，NXPN,1求未知參數(shù)N,P矩估計(jì)S2例3設(shè)總體，為其子樣，求的極大似然估計(jì)；PXNX,1X例4設(shè)總體，未知，求的最大似然估計(jì)；,2UN2,2,U2SU例5已知總體，是取自X的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)和極大,21UNX,121,似然估計(jì)，（1）；（2）。SX3221NX三、鑒定估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)三條（無(wú)偏性、有效性和一致性）定義1（無(wú)偏性）設(shè)為之估計(jì)量，若，則稱(chēng)為，表明,1NXE（1）圍繞擺動(dòng)，用估計(jì)時(shí)無(wú)系統(tǒng)誤差；0E（2）N很大時(shí)大數(shù)定律。PIN例1總體為X一個(gè)樣本則是NKKEXUDXU,21,122S無(wú)偏估計(jì)，是有偏估計(jì)，是U之無(wú)偏估計(jì)，無(wú)偏估計(jì)；2SXKU是25例2設(shè)，是來(lái)自X一個(gè)樣本，求K,2UNXNX,1NIIX1是無(wú)偏估計(jì)，。NIIK1K定義2（有效性）設(shè)與均之無(wú)偏估計(jì)若對(duì)可,1NX,1''NX能值都有且至少對(duì)某個(gè)參數(shù)使小于號(hào)成立，則稱(chēng)較有效。'D0'目的選擇較集中估計(jì)量。例3若取NINICXX11,證明,均為無(wú)偏且較有效。CAUCHNJNINIIBAB121221SHWARZ121212DXCNDXNXCDIIINI較有效。,比XI有效。0,JJI定義3（相合性）稱(chēng)估計(jì)量是未知參數(shù)的相合（一致）估計(jì)量，,1NN若，即對(duì)有。PN00LIMXPREMARK（1）是，是相合估計(jì)；K2S2（2）若為N元，則是相合估計(jì)；,MTHFC,1MH,1MH（3）相當(dāng)廣泛條件下MLE是相合估計(jì)；N充分大時(shí)值應(yīng)趨于穩(wěn)定在附近。N例4設(shè)總體，未知，是來(lái)自樣本,1UXX,1（1）求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)量；（2）上述兩個(gè)估計(jì)量是否為無(wú)偏估計(jì)量，若不是請(qǐng)修正為無(wú)偏估計(jì)量；（3）問(wèn)在（2）中兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量哪一個(gè)更有效72區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)（區(qū)間）局限性。尚未對(duì)估計(jì)之精度和可靠程度并沒(méi)有做明確回答。26參數(shù)的區(qū)間估計(jì)由子樣給出參數(shù)的估計(jì)范圍，這一隨機(jī)區(qū)間包含未知參數(shù)具有固定（指定）的概率（），置信區(qū)間、置信度、置信上（下）限定義1REMARK；0,5隨機(jī)區(qū)間，正確含義；,21具體樣本為具體區(qū)間。,21NX721單個(gè)正態(tài)總體X參數(shù)區(qū)間估計(jì)假設(shè)條件，；,2NNX,12,S1已知，求之置信區(qū)間；2NXUNXU2/2/,2已知，求之置信區(qū)間；SXTNTSXNTSX1,1223求置信區(qū)間。222121,SNSSREMARK（1）區(qū)間估計(jì)兩要素置信度與置信區(qū)間選取合適，通常采用增大容量N之辦法；N,（2）對(duì)于給定置信度和同一未知參數(shù)，使用同一亦可構(gòu)造不1,1XVTR同的置信區(qū)間（3中使212,0,221X1222NXNP,212NSN722兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)假設(shè)，；獨(dú)立,21NX,2YYXYXNN21211,1已知；求置信區(qū)間2121221TSTW27，2112/NTNSYXTW2112/NTNSYXW2求置信區(qū)間21,122F,1,2122121NNFSS第八章假設(shè)檢驗(yàn)81假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念1引言例1某藥廠生產(chǎn)一種抗菌素，已知在正常生產(chǎn)條件下，每瓶抗菌素的某項(xiàng)指標(biāo)服從均值為230正態(tài)分布，某日開(kāi)工后，測(cè)得5瓶數(shù)據(jù)如下2230，215，220，218，214，問(wèn)該日生產(chǎn)是否正常用X表示該日生產(chǎn)的一瓶抗菌素某項(xiàng)主要指標(biāo)，若已知，則問(wèn)題就是要檢,2NX驗(yàn)假設(shè)是否成立“23例2檢驗(yàn)施肥功效，施肥，未施肥小麥產(chǎn)量檢驗(yàn),21NX,2Y；“210H例3“X服從正態(tài)”檢驗(yàn)之，齒輪加工中，其經(jīng)向綜和誤差X共同點(diǎn)先對(duì)總體分布中某些參數(shù)或?qū)傮w分布之類(lèi)型某種假設(shè)，然后據(jù)抽取樣本值作出接受還是拒絕假設(shè)的結(jié)論。2基本概念（1）假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題（2）統(tǒng)計(jì)假設(shè)（3）原假設(shè)（零假設(shè)）與備擇假設(shè)H0（總體分布的假設(shè)）；H1（其它容許假設(shè)備擇假設(shè)）。（4）檢驗(yàn)在對(duì)假設(shè)H0檢驗(yàn)中，需從樣本出發(fā)，建立一個(gè)法則一旦樣本值確,2FTXU定后，利用所制定的法則，即可作出接受或拒絕H0結(jié)論。這個(gè)法則亦稱(chēng)為一個(gè)檢驗(yàn)。（5）顯著性檢驗(yàn)例1例3僅提出一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)，而且目的也僅僅是判斷這個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)參數(shù)假設(shè)在總體分布類(lèi)型已知條件下，關(guān)于總體分布中未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)；非參數(shù)假設(shè)在總體分布類(lèi)型未知情況下，對(duì)總體分布類(lèi)型或總體分布的某些特征提出的統(tǒng)計(jì)假設(shè)。28是否成立，并不同時(shí)研究其它統(tǒng)計(jì)假設(shè)，稱(chēng)顯著性檢驗(yàn)。（6）假設(shè)檢驗(yàn)之基本思想小概率原理依據(jù)以小概率原理作為拒絕假設(shè)H0的依據(jù)。顯著水平（001,005,01