電大小抄高等數(shù)學(xué)（1 ）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一)第一章 函數(shù)理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy中符號 f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會判斷兩個函數(shù)是否相等。兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。若對任意 x，有 )(xff，則 )(f稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y軸對稱。若對任意 ，有 ，則 稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形?；境醯群瘮?shù)是指以下幾種類型：常數(shù)函數(shù)： cy冪函數(shù)： )(為 實(shí) 數(shù)x指數(shù)函數(shù)： 1,0a對數(shù)函數(shù)： loga三角函數(shù)： xcot,tncs,i反三角函數(shù)： xrrr了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會把一個復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。如函數(shù) )1(arctn2exy可以分解 ， ， ， 。分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù)，而第四個函數(shù)是常uye2vwarctn1數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。會列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題設(shè) ，則 fx() 。)0(1)(2xxf解：設(shè) ，則 ，得tt tttf 2211)(故 。xf21)(函數(shù) 的定義域是 。xf5)ln(解：對函數(shù)的第一項(xiàng)，要求 且 ，即 且 ；對函數(shù)的第二項(xiàng)，要求 ，即020)2ln(2x305x。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?。5x 5,3),函數(shù) 的定義域?yàn)?，則 的定義域是 。)(xf1,lxf解：要使 有意義，必須使 ，由此得 定義域?yàn)?。ln1)(lnfe,1函數(shù) 的定義域?yàn)?。392y解：要使 有意義，必須滿足 且 ，即 成立，解不等式方程組，得出x092x3x3x電大小抄，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?。3x或 ),3(,(設(shè) ，則函數(shù)的圖形關(guān)于 對稱。2)(xaf解： 的定義域?yàn)?，且有),()(2)() xfaxf xxxx 即 是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于 軸對稱。y二、單項(xiàng)選擇題下列各對函數(shù)中，（ ）是相同的。A. ； B. fxgx()ln,()ln2；xgxf)(,)(2C. lnln3； D. 11解：A 中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同, ， B, D 三個選項(xiàng)中的每對函數(shù)的定義域都不同，所以 A B, D 都不是2正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng) C 中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng) C 正確。設(shè)函數(shù) fx()的定義域?yàn)?(,)，則函數(shù) fx() 的圖形關(guān)于（ ）對稱。A.y x； B. x 軸； C.y 軸； D.坐標(biāo)原點(diǎn)解：設(shè) ，則對任意 有fF )()()()()()( xFfxfffxf 即 是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。選項(xiàng) D 正確。)(3設(shè)函數(shù) 的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù) 是（ ）fx() xfA.單調(diào)減函數(shù)； B.有界函數(shù)；C.偶函數(shù)； D.周期函數(shù)解：A, B, D 三個選項(xiàng)都不一定滿足。設(shè) ，則對任意 有)()(xfxFx )()()()( xFfxfxfffF 即 是偶函數(shù)，故選項(xiàng) C 正確。函數(shù) （ ）)1,0()(axfA.是奇函數(shù)； B. 是偶函數(shù)；C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)； D.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。)(1)1()( xfaxaxxf 所以 B 正確。若函數(shù) ，則 （ ）2)1(xf fA. ； B. ；2xC. ； D. 。)(1解：因?yàn)?2)(1222 xx所以 )()(xf則 ，故選項(xiàng) B 正確。2第二章 極限與連續(xù)電大小抄知道數(shù)列極限的“ N”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有：有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；有限個無窮小量的乘積是無窮小量；無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。求極限有幾種典型的類型（1 ） axaxakkxkx 21)(limli 22020 （2 ） 100102 )(lili00bxx （3 ） mnbaxbxbaammnnx 0110li熟練掌握兩個重要極限：lisnx0m()xx1e （或 li()xx01e）重要極限的一般形式：lisn()()x0li()()fxfx1e （或 lim()(gxgx01e）利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如 31sinlm31sinl3sinl 000 xxxx 3122e)1(li)1(2li12lim)2(li xxxxx理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會對函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。間斷點(diǎn)的分類：已知點(diǎn) 是的間斷點(diǎn)，0x若 在點(diǎn) 的左、右極限都存在，則 稱為 的第一類間斷點(diǎn)；)(f 0x)(f若 在點(diǎn) 的左、右極限有一個不存在，則 稱為 的第二類間斷點(diǎn)。x理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結(jié)論。電大小抄典型例題解析一、填空題極限 limsnx021 。解： 01sinlm1il)sin(lisinl 00020 xxxxxx注意： （無窮小量乘以有界變量等于無窮小量）1，其中 =1 是第一個重要極限。1silmsilsilm000xxx xil0函數(shù) 的間斷點(diǎn)是 。1in)(xf解：由 是分段函數(shù)， 是 的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在 處的連續(xù)性。0)(xf 0x因?yàn)?1(lisinl0xx所以函數(shù) 在 處是間斷的，)(f又 在 和 都是連續(xù)的，故函數(shù) 的間斷點(diǎn)是 。,),( )(xf0x設(shè) ，則 f 。232f解： ，故)(xf 20184)() 2x函數(shù) 的單調(diào)增加區(qū)間是 。1ln2y二、單項(xiàng)選擇題函數(shù) 在點(diǎn) 處（ ）fx()six0A.有定義且有極限； B.無定義但有極限；C.有定義但無極限； D.無定義且無極限解： 在點(diǎn) 處沒有定義，但)(xf（無窮小量 有界變量=無窮小量）01sinlm0xx 故選項(xiàng) B 正確。下列函數(shù)在指定的變化過程中，（ ）是無窮小量。A. e1x,()； B. si,()x；C. ln,1； D. x10,解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以 sinlmx而 A, C, D 三個選項(xiàng)中的極限都不為 0，故選項(xiàng) B 正確。電大小抄三、計(jì)算應(yīng)用題計(jì)算下列極限： 1243lim2xx xx)13(lim（4） 50)()(x xsin1l0解： 6)(21432 x=lim2x81li 4313e)1(lim)31(li)3(li)13(li xnxnxnn 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為 155102)(x分母的最高次項(xiàng)為 ，由此得152x 38)(2li15xx（4）當(dāng) 時，分子、分母的極限均為 0，所以不能用極限的除法法則。求解時先有理化根式在利用除法法則和第一0個重要極限計(jì)算。)1(3sinlm)1(3sin1lm3sin1l 000 xxxxx= 6123li 0x2.設(shè)函數(shù)0sin1)(xabxf問（1） 為何值時， 在 處有極限存在？ba,)(xf（2 ） 為何值時， 在 處連續(xù)？解：（1）要 在 處有極限存在，即要 成立。)(f0)(lim)(li00xffxx因?yàn)?bxxx )1sinlmli0所以，當(dāng) 時，有 成立，即 時，函數(shù)在 處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極1b)(li)(li00xffxx1b0x限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時 可以取任意值。a（2 ）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是)(lim)(li 000 fffxx于是有 ，即 時函數(shù)在 處連續(xù)。ab11bx)(li0fx電大小抄第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時候要側(cè)重以下幾點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計(jì)算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。在點(diǎn) 處可導(dǎo)是指極限)(xf0 xffx)(lim00存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限 0)(li0fx函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲線 上點(diǎn) 處切線的斜率。)(xf0)(0xf xy)(,0xf曲線 y在點(diǎn) ,(x處的切線方程為 )()(00ffy函數(shù) )f在 0點(diǎn)可導(dǎo)，則在 0點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，在 0點(diǎn)不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法（1 ）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（2 ）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（3 ）隱函數(shù)求導(dǎo)方法（4 ）對數(shù)求導(dǎo)方法（5 ）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時，求導(dǎo)時采用取對數(shù)求導(dǎo)法，例如函數(shù) ，求 。xy2)1(y在求導(dǎo)時直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時會麻煩一些，而且容易出錯。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即212321)( xx再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有23213xy這樣計(jì)算不但簡單而且不易出錯。又例如函數(shù) ，求 。32xy顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對數(shù)得 )2ln(31)l(2lnxxy兩端求導(dǎo)得 )()1(xy整理后便可得 )2(6823x若函數(shù)由參數(shù)方程電大小抄)(tyx的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式 )(dtx能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握微分運(yùn)算法則微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似 vud)(dv)0(2一階微分形式的不變性 uyxyuxdd微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)就n要先求函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)。1n第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解一、填空題設(shè)函數(shù) 在 鄰近有定義，且 ，則 。)(xf01)0(,)(ff xf)(lim0解： )(limli00 xfxx故應(yīng)填 1。曲線 在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率是 。y解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線 在 處切線的斜率是 ，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是)(xf0)(0xf21)(,2233 xx故應(yīng)填 。1設(shè) fx()245，則 f() 。解： ，故 3724)( xxf故應(yīng)填 3742二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù) ，則 （ ）。2)(xf2)(lim2xfxA. ； B.2 ； C.4； D 不存在x2解：因?yàn)?，且 ，)(li2ff2)(xf電大小抄所以 ，即 C 正確。42)(xf設(shè) ，則 （ ）。1)(fA. ； B. ； C. ； D. xx121x21x解：先要求出 ，再求 。)(f)(f因?yàn)?，由此得 ，所以xf12)(f即選項(xiàng) D 正確。3設(shè)函數(shù) ，則 （ ）)2(1)(xf )0(fA.0； B.1；C.2； D. 解：因?yàn)?，其中的三項(xiàng)當(dāng) 時為 0，)1()2(1)()()()( xxxf x所以 2010f故選項(xiàng) C 正確。4曲線 yxe在點(diǎn)（ ）處的切線斜率等于 0。A. (,)； B. (,)； C. (,)1； D. (,)10解： ，令 得 。而 ，故選項(xiàng) C 正確。10x)y5 sin2，則 （ ）。A. cox； B. cos2； C. 2xcos； D. 22xcos解： )(y故選項(xiàng) C 正確。三、計(jì)算應(yīng)用題設(shè) xsin2ta，求 2dxy解：由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 lncosi2x由此得 xyx d2)lsco(d2in22 設(shè) ，其中 為可微函數(shù)，求 。)(exf(fy解 e) xf= ()( fxfx= )()(fx= effxxf求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡。3.設(shè)函數(shù) yx()由方程 yxeln確定，求 dyx。解：方法一：等式兩端對 求導(dǎo)得 2eyxy整理得電大小抄xyxye22方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端 yyy de)(d)e(d右端 2)(d)(lnxyxy由此得 2ddeyxyx整理得 xyxed224.設(shè)函數(shù) yx()由參數(shù)方程 ty21確定，求 dyx。解：由參數(shù)求導(dǎo)法 txyt12d5設(shè) ，求 。xyarctn)1(2y解 1arctn21)(2 xxrtrt(第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一 、 填 空 題1.函數(shù) 的單調(diào)增加區(qū)間是 .)1ln(2xy解： ，當(dāng) 時 .故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 .0y )0,(2.極限 .x1lim解：由洛必達(dá)法則 1li)(lnili 111 xx3.函數(shù) 的極小值點(diǎn)為 。e2xf解： ，令 ，解得駐點(diǎn) ，又 時， ； 時， ，所以)()x 0)(f 0x0)(xf0)(xf是函數(shù) 的極小值點(diǎn)。0xe1xf電大小抄二、單選題1.函數(shù) 在區(qū)間 上是（ ）12xy2,A） 單調(diào)增加 B）單調(diào)減少 C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加解：選擇 D，當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；所以在區(qū)間 上函數(shù) 先單調(diào)減少再單調(diào)xy200)(xf0)(xf 2,12xy增加。2. 若函數(shù)