2017 年課標高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 309 中國 高考數(shù)學母題 (第 102 號 ) 長方體 利用 長方體 模型 ,不僅 可 以巧解線面位置關系問題 ,而且還 可 以妙解其三類內(nèi)接 多 面體問題 ;實質(zhì)上 ,長方體具有 集裝箱功能 ,即 長方體 可以裝載任 何 幾何體 ,因此 ,任 何 幾何體 都可以放置于 長方體 中 ,長方體 具有強大的解題功能 . 母題結(jié)構(gòu) :利用 長方體 模型 解題的 關鍵首先是把題中的幾何體恰當?shù)姆胖玫?長方體 中 ,放置的原則是盡量多的使題中幾何體的 面與 長方體 的面重合 ,且盡可 能 多的使題中幾何體的頂點與 長方體 的頂點重合 ;第二步 ,依托 長方體 模型 的直觀呈 現(xiàn) 功能 ,解決問題 . 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2007年 陜西 高考試題 )已知平面 平面 ,直線 m ,直線 n ,點 A m,點 B n,記點 A,B 之間的距離為 a,點 A 到直線 n 的距離為 b,直線 m 和 n 的距離為 c,則 ( ) (A)b c a (B)a c b (C)c a b (D)c b a 解析 :構(gòu)造 正方體 ,如圖 ,由圖知 c b (D). 點評 :以 正方體中的 頂 點為頂點的多面體有多種 ,正方體模型的解題功能在解決這些 幾何體 問題上 可 得到充分體現(xiàn) . 同 類 試題 : 1.(2015 年 四川 高考試題 )如圖 ,四邊形 為正方形 ,它們所在的平面互相垂直 ,動點 M 在線 段 ,E、 F 分別為 中點 M 與 成的角為 ,則 最大值為 . 2.(2006年 北 京 高考試題 )平面 的斜線 于點 B,過定點 且交 于點 C,則動點 ) (A)一條直線 (B)一個圓 (C)一個橢圓 (D)雙曲線的一支 面體 子題類型 :(2015 年 浙 江高考試題 )如圖 ,三棱錐 ,C=D=3,C=2,點 M,N 分別 是 C 的中點 ,則異面直線 M 所成的角的余弦值是 . 解析 :把 三棱錐 長方體中 ,如圖 ,由 N,由 , , N=2 2 87. 點評 :以長方體 的頂點為頂點的 多面體中有三類特殊的四面體 :直角四面體、等腰四面體和“鱉 臑 ” ; 同 類 試題 : 3.(2010 年 江 西 高考試題 )如圖 ,在三棱錐 ,三條棱 B,兩垂直 ,且 B別經(jīng)過 三條棱 B,截面面積依次為 2, 2, . 4.(2006 年 全國 高考 理 科 試題 )如圖 ,平面 平面 ,A ,B ,兩平面 、 所成的角分別 為4和6,過 A、 B 分別作兩平面交線 的垂線 ,垂足為 A 、 B ,則 =( ) (A)2:1 (B)3:1 (C)3:2 (D)4:3 子題類型 :(1989 年全國高考 試題 )如圖 ,P 是二面角 B 上的一點 ,分別在 , 上引射線 N,如果 50, 00,那么二面 角 . 解析 :在長 方體 取 平面 為 平面 面為平面 線 線 D,由 50, 00 二面 角 00. 點評 :長方體是立體幾何的核心模型 ,高考中存在一類以二面角 為載體的度 量 問題 ,對于該類試 題較簡單 快捷的方法是 依托長方體模型 ,即 使用 模型 解題法求解 . 310 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 2017 年課標高考 母題 同 類 試題 : 5.(1999 年第 十 屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高一試題 ) 60 的二面角 ,二面角內(nèi)一點 P 到 , 的距離分別是1,2,則 P 到棱 l 的距離等于 . 6.(1996 年全國高考試題 )如圖 ,正方形 在平面與正方形 在平面成 600的二面角 ,則異 面直線 F 所成角的余弦值是 . 7.(2009年 江西 高考試題 )如圖 ,正四面體 ,B,x, 則在下列命題中 ,錯誤的為 ( ) (A)(B)直線 面 C)直線 50 (D)二面角 50 8.(2010 年 重慶 高考試題 )到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點 ,在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是 ( ) (A)直線 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 9.(1986年全國高考試題 )在正方形 E、 12現(xiàn)在沿 F 把這個正方形折成一個四面體 ,使 重合后的點記為 在四面體 ) (A) (B) (C) (D) 10.(2010 年 四川 高考試題 )如 圖 ,二面角 大小是 600,線段 ,B l, l 所成的角 為 B 與平面 所成的角的正弦值是 . 11.(2003年 安徽春招 試題 )一個二面角的大小為32,其棱為 三角形 則 ) (A)81(D)8512.(1998 年第 九 屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高一試題 )二面角 大小為 600,A ,B ,C l,且 , ,B 點到 的距離為 1,則直線 平面 所成的角的大小等于 . 構(gòu)造 正方體 如圖 ,不妨設 正方體 的棱 長為 4,取 ,作 ,設 HM=t, 則 2)1(20 t ,232t ,5 ;由 異面直線 F 所 成的角 = 補 角 22)1(2052)1(205)32(=2)1(2053;令t31=x(0bc 2在 長 方體 中 ,作出符合條件的幾何圖 形 (A). 在長 方體 圖 棱 l 的距離 =3212. 在長 方體 圖 =42. 補形為 正方體 直線 直線 450;二面角 50;直線 平面 平行 ;故選 (B). 在 正方體 不 妨設 正方體 的棱長為 1,取 互相垂直的異面直線 建立空 間