2017 年課標高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 441 中國 高考數(shù)學母題 (第 138 號 ) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯 等差數(shù)列 與 等比數(shù)列 是兩個基本的 數(shù)列 模型 ,在解答題中 ,考查 等差數(shù)列 與 等比數(shù)列 的交匯 ,是高考命題的必然選擇 ;等差數(shù)列 與 等比數(shù)列 的交匯有 :等差數(shù)列 中 的等比數(shù)列 、 等比數(shù)列 中 的等差數(shù)列 和 等差與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)換 等 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(等差數(shù)列 中 的等比數(shù)列 )在 公差為 d 的 等差數(shù)列 ,N+,則 數(shù)列 等比數(shù)列 a1=d 0,且 等比數(shù)列 ; ( )(等比數(shù)列 中 的等差數(shù)列 )在 公 比 為 q 的 等比數(shù)列 ,am,ak,差數(shù)列 1+( )(等差與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)換 )數(shù)列 等差數(shù)列 數(shù)列 (M0,M 1)是等比數(shù)列 ;數(shù)列 正項等比數(shù)列 數(shù)列 M0,M 1)是等差數(shù)列 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2005年全國 高考試題 )在等差數(shù)列 ,公差 d 0,a1,己知 a1, , 成等比數(shù)列 ,求數(shù)列 通項 . 解析 :由 a1, a1(d)=(a1+d)2 a1=d an= a1, ,成等比數(shù)列 11 ,3k2=,7,=數(shù)列 以 為首項 ,公比為 3 的等比數(shù)列 n+1. 點評 :對 任意的 等差數(shù)列 ,都至少存在三項 等比數(shù)列 ;解決等差數(shù)列中是否含等比數(shù)列 ,常用方法是基本量法 ,即用 等差數(shù)列 的首項 和公差表示相關(guān)量 . 同 類 試題 : 1.(2015 年 重慶 高考試題 )已知等差數(shù)列 足 ,前 3 項和 9. ( )求 通項公式 ; ( )設(shè)等比數(shù)列 足 b1=a1,b4= n 項和 2.(2014 年江西高考試題 )已知數(shù)列 前 n 項和 3 2 ,n N*. ( )求數(shù)列 通項公式 ; ( )證明 :對任意 n1,都有 m N*,使得 a1,an, 子題類型 :(2011 年湖北高考試題 )成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于 15,并且這三個數(shù)分別加上 2、 5、 13 后成為等比數(shù)列 ( )求數(shù)列 通項公式 ; ( )數(shù)列 前 n 項和為 證 :數(shù)列 5是等比數(shù)列 . 解析 :( )設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為 a,a+d,由 a+a+d=15 a=5 -d,0,8+d;由 (718 +d)=100 d=2 或 去 ) 公比 q=2 bn= 2( )由 25=5 2數(shù)列 5是 首項 =25,公比 =2 的等比數(shù)列 . 點評 :一般情況下 ,等比數(shù)列中 不 含等差數(shù)列 ,但由 等比數(shù)列 ,可構(gòu)造 等差數(shù)列 的問題 ,解決 此類 問題的 常用方法是基本量法 ,即用 等比數(shù)列 的首項和公 比 表示相關(guān)量 ;對于求證不存在的問題則常用反證法 . 442 備戰(zhàn) 高考數(shù)學的一條捷徑 2017 年課標高考 母題 同 類 試題 : 3.(2009 年遼寧高考試題 )等比數(shù)列 前 n 項和為 知 3, ( )求 公比 q; ( )若 ,求 4.(2013 年湖北高考試題 )已知 前 n 項和 ,2,且 a2+a3+18. ( )求數(shù)列 通項公式 ; ( )是否存在正整數(shù) n,使得 2013？若存在 ,求出符合條件的所有 n 的集合 ;若 不存在 ,說明理由 . 子題類型 :(2014 年 四川 高考試題 )設(shè)等差數(shù)列 公差為 d,點 (an,函數(shù) f(x)=2n N*). ( )若 2,點 (函數(shù) f(x)的圖象上 ,求數(shù)列 前 n 項和 ( )若 ,函數(shù) f(x)的圖象在點 (a2,的切線在 x 軸上的截距為 2數(shù)列 的前 n. 解析 :( )由 點 (an,函數(shù) f(x)=2 又等差數(shù)列 公差為 d 等比數(shù)列 公 比 為 2d;由點 (函數(shù) f(x)的圖象上 48a =2d=4 d=2 Sn=( )由 f(x)=2x f (x)=2f(x)的圖象在點 (a2,的切線 :2a 022a 2 an=nn(21 )n -(n+2)(21 )n. 點評 :等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)換揭示了兩個基本數(shù)列模型的本質(zhì)聯(lián)系 ,同時也是等差數(shù)列與等比數(shù)列一個絕妙的交匯點 ,自 然 是高考命 題的一個生長點 . 同 類 試題 : 5.(2011 年 課標 高考試題 )已知 等比 數(shù)列 ,1,公比 q=31. ( )前 n 項和 ,證明 :1 ( )設(shè) bn= +數(shù)列 通項公式 . 6.(2006 年遼寧高考試題 )己知等差 數(shù) 列 前 n 項 和 為 Sn=q(p,q R),n N*. ( )求 q 的 值 ; ( )若 為 18, : 數(shù) 列 前 n 項 和 . 7.(2015 年 北京 高考試題 )已知等差數(shù)列 足 a1+0,. ( )求 通項公式 ; ( )設(shè)等比數(shù)列 足 b2=a3,b3= :第幾項相等？ 8.(2014 年 湖北 高考試題 )已知等差數(shù)列 足 :,且 a1,a2, ( )求數(shù)列 通項公式 ; ( )記 前 n 項和 ,是否存在正整數(shù) n,使得 0n+800？若存在 ,求 n 的最小值 ;若不存在 ,說明理由 ; 9.(2013 年 大綱 高考試題 )等差數(shù)列 前 n 項和為 3= 2,求 通項公式 . 10.(2013 年 福建 高考試題 )已知等差數(shù)列 公差 d=1.前 n 項和為 ( )若 1,a1,求 ( )若 S5 11.(2012 年重慶高考試題 )已知 等差數(shù)列 ,且 a1+,a2+2. ( )求數(shù)列 通項公式 ; ( )記 前 n 項和為 a1,k+2成等比數(shù)列 k 的值 . 12.(2011 年 四川 高考試題 )已知 以 a 為首項 ,q 為公比的等比數(shù)列 ,n 項和 . ( )當 求 q 的值 ; ( )當 求證 :對任意自然數(shù) k,am+k、 an+k、 at+等差數(shù)列 . 13.(2007年 江 蘇高考試題 )已知 等差數(shù)列 ,公比為 a1=b1,a2= 前 ( )若 bk=am(m,k 是大于 2 的正整數(shù) ),求證 :( )若 b3=ai(i 是某一正整數(shù) ),求證 :q 是整數(shù) ,且數(shù)列 每一項都是數(shù)列 的項 ; ( )是否存在這樣的正數(shù) q,使等比數(shù)列 有三項成等差數(shù)列？若存在 ,寫出一個 q 的值 ,并加以說明 ;若不存在 ,請說 2017 年課標高考 母題 備 戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 443 明理由 . 14.(2015 年 江 蘇高考試題 )設(shè) a1,a2,a3,d(d 0)d 的等差數(shù)列 . ( )證明 :21a ,22a ,23a ,24a 依次成等比數(shù)列 ; ( )是否存在 a1,d,使得 a1,并說明理由 ; ( )是 否存在 a1,d,及正整數(shù) n,k,使得 k,k,并說明理由 . 15.(2007 年山東高考試題 )設(shè) 公比大于 1 的等比 數(shù) 列 , 前 n 項 和 3=7,且 ,3a2, 構(gòu) 成等差 數(shù) .( )求 數(shù) 列 通 項 公式 ; ( )令 bn=,n=1,2,3, 求 數(shù) 列 前 n 項 和 16.(2005 年全國 高考試題 )己知 各 項 不同的正 數(shù) 的等差 數(shù) 列 , 列 ,又 bn=n=1,2,3, . ( )證 明 : 等比 數(shù) 列 ; ( )如果 數(shù) 列 3 項和等于247,求 數(shù) 列 首 項 d. ( )由 9 3 數(shù)列 公差 d=1 1(n+1); ( )由 b1=,b4= 數(shù)列 公比 q=2 ( )當 n=1 時 ,1=1;當 n 2 時 , 適合 ) ( )由 33 m=3 對任意 n1,都有 m N*,使得 a1,an, ( )由 2=2(0 a2+a3+ 21q=( )由 81-(n. ( )設(shè) 等比數(shù)列 公比 為 q,由 3=2(0 a4+a3+ 2q=由 a2+a3+18 (-2)( )由 2013 1-(-2)n 2013 (-2)n n 為奇數(shù) ,且 2n 2012 n 為奇數(shù) ,且 n 11 n n|n=2k+1,k5,k N. ( )由 1,公比 q=31 31)n,11-(31)n=21 ( )由 31)n n bn= +(1+2+ +n)=1( ( )1=q;當 n 2時 ,q)-p(-2(q=2 等差 數(shù) 列 ,所以 ,a1=q 一定適合通 項 公式 2q q=0; ( )由 等差中 項為 18 a1+6 26 8 58 p=4 4 16 前 n 項 和 =152(16 ( )由 等差數(shù)列 公差 d=2;由 a1+0 2a1+d=10 n+2; ( )由 b2=,b3=6 等比數(shù)列 公比 q=2, 28 第 63 項相等 . ( )設(shè)數(shù)列 公差為 d,由 (2+d)2=2(2+4d) d=0或 4 或 ( )當 時 ,n,顯然 200 成立 ;當 ,0n+800 20n +800 n40,此時 存在正整數(shù) n,使得 0n+800 成立 ,n 的最小值為 41. 444 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 2017 年課標高考 母題 設(shè) 公差為 d,由 S3=3a2=或 ;由 2, (4d)=(2 d=0或 d=2 或 ( )由 1或 ; ( )由 50(). ( )由 , n; ( )由 2(k+2)(k+3)=(2k)2 k=6. ( )由 4=2( a4=a3+q2=q+1 q=251; ( ) 若 q=1,則 an=a,Sn= m+t=2n am+k、 an+k、 at+ 若 q 1,則 an=n=1qa(1);由 qm+am+k、 an+k、 at+ 設(shè) 公差為 d,由 ,a1=b1,a2=d 0,q 1,d=(a1(0); (