2017 年山東省臨沂市中考數(shù)學模擬試卷（ 8） 一、選擇題（本題共 14 個小題，每小題 3 分，共 42 分） 1絕對值等于 9 的數(shù)是（ ） A 9 B 9 C 9 或 9 D 2用科學記數(shù)法表示的數(shù) 108它的原數(shù)是（ ） A 36100000000 B 3610000000 C 361000000 D 36100000 3如圖， 圖中與 B 一定相等的角共有（不含 B）（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 4對于非零實數(shù) m，下列式子運算正確的是（ ） A（ 2= m3m2= m2+m3= m 2 m 6=不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為（ ） A B C D 6計算（ ） 的結果為（ ） A B C D 7如圖，是由五個相同正 方體組成的甲、乙兩個幾何體，它們的三視圖中一致的（ ） A主視圖 B左視圖 C俯視圖 D三視圖 8一只不透明的袋子中裝有兩 個完全相同的 小球，上面分別標有 1， 2 兩個數(shù)字，若隨機地從中摸出一個小球，記下號碼后放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出小球的號碼之積為偶數(shù)的概率是（ ） A B C D 9如圖，矩形 對角線 交于點 O， ，則四邊形 周長（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 10如圖， O 的直徑， 弦， 0，則 度數(shù)是（ ） A 20 B 25 C 40 D 50 11已知 是方程組 的解，則 a b 的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12周末，身高都為 的 小芳、小麗來 到溪江公園，準備用她們所學的知識測算南塔的高度如圖，小芳站在 A 處測得她看塔頂?shù)难鼋?為 45，小麗站在B 處（ A、 B 與塔的軸心共線）測得她看塔頂?shù)难鼋?為 30她們又測出 A、 0 米假設她們的 眼睛離頭頂都為 10可計算出塔高約為（結果精確到 考數(shù)據(jù)： ） A B C D 13如圖，將 n 個邊長都為 2 的正方形按如圖所示擺放，點 A n 分別是正方形的中心，則這 n 個正方形重疊部分的面積之和是（ ） A n B n 1 C（ ） n 1 D n 14如圖，點 P 是菱形 上一動點， 若 A=60， ，點 P 從點 A 出發(fā)，以每秒 1 個單位長的速度沿 ABCD 的路線運動，當點 P 運動到點 么 面積 S 與點 P 運動的時間 t 之間的函數(shù)關系的圖象是（ ） A B C D 二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分） 15分解因式： 4a= 16一次考試中，甲組 12 人的平均分數(shù)為 70 分，乙組 8 人的平均分數(shù)為 80 分，那么這兩組 20 人的平均分為 17定義運算 “”的運算法則為： xy=1，下面給出關于這種運算的幾種結論： （ 23） （ 4） =19； xy=yx； 若 xx=0，則 x 1=0； 若 xy=0，則（ （ =0， 其中正確結論的序號是 （在橫線上填上你認為所有正確的序號） 18如圖，在 正方形方格中 ，陰影部分是涂黑 7 個小正方形所形成的圖案，再將方格內空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的涂法有 種 19如圖，反比例函數(shù) y= （ x 0） 的圖象交 斜邊 點 D，交直角邊 點 C，點 B 在 x 軸上若 面積為 5， ： 2，則k 的值為 三、解答題（本大題共 7 小題，共 63 分） 20如圖，在矩形 ， 4 P 從 A 開始沿折線 A B C D 以 4cm/s 的速度移動，點 Q 從 C 開始沿 以 2cm/s 的速度移動，如果點 P、 Q 分別從 A、 C 同時出發(fā)，當其中一點到達 D 時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為 t（ s）當 t 為何值時，四邊形 矩形？ 21某商店準備進一批 季節(jié)性小 家電 ，單價 40 元經(jīng)市場預測，銷售定價為 52元時，可售出 180 個，定價每增加 1 元，銷售量凈減少 10 個；定價每減少 1 元，銷售量凈增加 10 個因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不得超過 180 個，商店若將準備獲利 2000 元，則應進貨多少個？定價為多少元？ 22為了解八年級學生的課外閱讀 情況，我校語 文組從八年級隨機抽取了若干名學生，對他們的讀書時間進行了調查并將收集的數(shù)據(jù)繪成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你依據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（每組含最小值不含最大值） （ 1）從八年級抽取了多少名學生？ （ 2）填空（直接把答案填到橫線上） “2 時 ”的部分對應的扇形圓心角為 度； 課外閱讀時間的中位數(shù)落在 （填時間段）內 （ 3）如果八年級共有 800 名學生，請估算八年級學生課外閱讀時間不少于 23我市某玩具廠生產(chǎn)的一種玩具每個成本為 24 元，其銷售方案有如下兩種： 方案一：給本廠設在藍天商廈的銷售專柜銷售，每個售價為 32 元，但每月需上繳藍天商廈有關費用 2400 元； 方案二：不設銷售專柜，直接發(fā)給本市各商廈銷售，出廠價為每個 28 元 設 該廠每月的銷 售量為 x 個 如果每月只能按一種方案銷售，且每種方案都能按月銷售完當月產(chǎn)品，那么應如何選擇銷售方案，可使該工廠當月所獲利潤最大？ 24如圖， 接于 O， O 直徑，過點 A 的切線與 延長線交于點 E （ 1）求證： B （ 2）若 C， ， 2，求 O 的半徑 25問題情境： 小明和小穎在 吃冰淇淋時， 對其所用的一次性紙杯（如圖 1）產(chǎn)生了興趣，決定對制做這種紙杯的相關問題進行研究，他們發(fā)現(xiàn)紙杯是圓臺形狀（即一個大圓錐截去一個小圓錐后余一的部分，如圖 2），并測得杯口直徑 底直徑壁母線長 D=6明：整個探究過程中均忽略紙杯的接接部分和紙杯的厚度 數(shù)學理解： （ 1）為進一步探究問題的本 質，小穎畫出 紙杯的側面展開的大致圖形，如圖 3，得到的圖形是圓環(huán)的一部分，那么，圖 3 中 的長為 的長為 （ 2）小明認為，要想準確畫 出紙杯的側面 展開圖，需要確定圖 3 中 和 所在圓的半徑 長以及圓心角 度數(shù)，小穎根據(jù)弧長的計算公式猜想得到 = ，請你證明這個結論，并根據(jù)這個結論，求 所在圓的半徑它所對的圓心角 度數(shù) 問題解決： （ 3）明確了紙杯側面展 開圖的有關數(shù) 據(jù)和圖形的性質后，他們繼續(xù)探究將原材料截前成紙杯側面的方案，并給出了方案，將原材料剪成矩形紙片，再按如圖 4所示的方式剪出這個紙杯的側面，其中，扇形 與矩形 邊 ，點 P 是 的中點，點 B， E， F， D 均在矩形的邊上，請直接寫出矩形紙片的長和寬 26如圖，拋物線 y=5 與 x 軸交于 A、 B 兩點（點 A 在點 B 的左側），與 y 軸交于點 C，點 C 與點 F 關于拋物線的對稱軸對稱，直線 y 軸于點 E，| |5： 1 （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）求直線 解析式； （ 3）在直線 是否存在點 P，使 直角三角形？若存在，求出 P 點坐標；若不存在，說明理由 2017 年山東省臨沂市中考數(shù)學模擬試卷（ 8） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 14 個小題，每小題 3 分，共 42 分） 1絕對值等于 9 的 數(shù)是（ ） A 9 B 9 C 9 或 9 D 【考點】 絕對值 【分析】 根據(jù)絕對值的意義得 |9|=9， | 9|=9 【解答】 解： |9|=9， | 9|=9， 絕對值等于 9 的數(shù)是 9 或 9 故選 C 2用科學記數(shù)法表示的數(shù) 108它的原數(shù)是（ ） A 36100000000 B 3610000000 C 361000000 D 36100000 【考點】 科學記數(shù)法 原數(shù) 【分析】 科學記數(shù)法的標準 形式為 a 10n（ 1 |a| 10， n 為整數(shù)），本題把數(shù)據(jù) “108 中 小數(shù)點向左移動 8 位就可以得到結果 【解答】 解： 108=361000000， 故選： C 3如圖， 圖中與 B 一定相等的角共有（不含 B）（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 【考點】 平行線的性質 【分析】 根據(jù)平行線的性質，即可判斷出與 B 相等的角 【解答】 解： B， B， 所以 B 所以與 B 一定相等的角共有 3 個， 故選 C 4對于非零實數(shù) m，下列式子運算正確的是（ ） A（ 2= m3m2= m2+m3= m 2 m 6=考點】 同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；負整數(shù)指數(shù)冪 【分析】 根據(jù)冪的乘方法則： 底數(shù)不變，指 數(shù)相乘；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字 母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減分別進行計算，可以選出正確答案 【解答】 解： A、（ 2=2=此選項錯誤； B、 m3m2=此選項錯誤； C、 是同類項，不能合并，故此選項錯誤； D、 m 2 m 6=m 2（ 6） =此選項正確； 故選： D 5不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為（ ） A B C D 【考點】 解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集 【分析】 此題首先把不等式組中每一個不等式的解集求出，然后在數(shù)軸上即可表示出來，最后即可作出判斷 【解答】 解：由 得 x 1， 由 得 x 1， 所以不等式組的解集為 1 x 1 A、解集為 x 1 或 x 1，故錯誤； B、解集為 x 1，故錯誤； C、解集為 x 1，故錯誤； D、解集為 x 1，故正確 故選 D 6計算（ ） 的結果為（ ） A B C D 【考點】 分式的混合運算 【分析】 首先把括號內的式子通分、相減，然后把除法轉化為乘法，進行通分即可 【解答】 解：原式 = = = 故選 A 7如圖，是由五個相同正方體組成的甲、乙兩個幾何體，它們的三視圖中一致的（ ） A主視圖 B左視圖 C俯視圖 D三視圖 【考點】 簡單組合體的三視圖 【分析】 利用主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，進而判斷 【解答】 解：從正面可看到甲從左往右兩列小正方形的個數(shù)為： 3， 1，乙從左往右 2 列小正方形的個數(shù)為： 1， 3，不符合題意； 從左面可看到甲從左往右 2 列小正方形的個數(shù)為： 3， 1，乙從左往右 2 列小正方形的個數(shù)為： 3， 1，符合題意； 從上面可看到甲從左往右 2 列小正方形的個數(shù)為： 2， 1，乙從左往右 2 列小正方形的個數(shù)為： 1， 2，不符 合題意； 故選： B 8一只不透明的袋 子中裝有兩個 完全相同的小球，上面分別標有 1， 2 兩個數(shù)字，若隨機地從中摸出一個小球，記下號碼后放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出小球的號碼之積為偶數(shù)的概率是（ ） A B C D 【考點】 列表法與樹狀圖法 【分析】 列表得出所有等可能 的情況數(shù)，找出兩次摸出小球的號碼之積為偶數(shù)的情況數(shù)，即可求出所求的概率 【解答】 解：列表如下： 1 2 1 （ 1， 1） （ 1， 2） 2 （ 2， 1） （ 2， 2） 所有等可能的情況數(shù)有 4 種，兩次摸出小球的號碼之積為偶數(shù)的情況有 3 種， 則 P= 故選： D 9如圖，矩形 對角線 交于點 O， ，則四邊形 周長（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考點】 菱形的判定與性質；矩形的性質 【分析】 首先由 可證得四邊形 平行四邊形，又由四邊形 矩形，根據(jù)矩形的性質，易得 D=2，即可判定四邊形 而求得答案 【解答】 解： 四邊形 平行四邊形， 四邊形 矩形， D=4， C， D， C= ， 四邊形 菱形， 四邊形 周 長為： 4 2=8 故選 C 10如圖， O 的直徑， 弦， 0，則 度數(shù)是（ ） A 20 B 25 C 40 D 50 【考點】 圓周角定理 【分析】 連接 據(jù)圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等即可求解 【解答】 解：連接 O 的直徑， 0， 又 0， 0 50=40 故選 C 11已知 是方程組 的解，則 a b 的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點】 二元一次方程組的解 【分析】 先根據(jù)解的定義將 代入方程組，得到關于 a， b 的方程組兩方程相減即可得出答案 【解答】 解： 是方程組 的解， ， 兩個方程相減，得 a b=4， 故選： D 12周末，身高都為 的 小芳、小麗來 到溪江公園，準備用她們所學的知識測算南塔的高度如圖，小芳站在 A 處測得她看塔頂?shù)难鼋?為 45，小麗站在B 處（ A、 B 與塔的軸心共線）測得她看塔頂?shù)难鼋?為 30她們又測出 A、 0 米假設她們的 眼睛離頭頂都為 10可計算出塔高約為（結果精確到 考數(shù)據(jù)： ） A B C D 【考點】 解直角三角形的應用仰角俯角問題 【分析】 由已知設塔高為 x 米，則由已知可得到如下關系， =從而求出塔高 【解答】 解：已知 小芳站在 A 處 測得她看塔頂?shù)难鼋?為 45，小麗站在 B 處（ A、B 與 塔的軸心共線）測得她看塔頂?shù)难鼋?為 30， A、 B 兩點的距離為 30 米假設她們的眼睛離頭頂都為 10 所以設塔高為 x 米則得： = ， 解得： x 即塔高約為 故選： D 13如圖，將 n 個邊長都為 2 的正方形按如圖所示擺放，點 A n 分別是正方形的中心，則這 n 個正方形重疊部分的面積之和是（ ） A n B n 1 C（ ） n 1 D n 【考點】 正方形的性質；全等三角形的判定與性質 【分析】 根據(jù)題意可得，陰影 部分的面積是 正方形的面積的 ，已知兩個正方形可得到一個陰影部分，則 n 個這樣的正方形重疊部分即為（ n 1）個陰影部分的和 【解答】 解：由題意可得一個陰影部分面積等于正方形面積的 ，即是 4=1， 5 個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為： 1 4， n 個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為： 1 （ n 1） =n 1 故選： B 14如圖，點 P 是菱形 上一動 點，若 A=60， ，點 P 從點 A 出發(fā)，以每秒 1 個單位長的速度沿 ABCD 的路線運動，當點 P 運動到點 么 面積 S 與點 P 運動的時間 t 之間的函數(shù)關系的圖象是（ ） 2 B C D 【考點】 動點問題的函數(shù)圖象 【分析】 根據(jù) A 的度數(shù)求出菱 形的高，再分 點 P 在 ，在 和在 用三角形的面積公式列式求出相應的函數(shù)關系式，然后選擇答案即可 【解答】 解： A=60， ， 菱形的 高 =4 =2 ， 點 P 在 時， 面積 S= 4 t= t（ 0 t 4）； 點 P 在 時， 面積 S= 4 2 =4 （ 4 t 8）； 點 P 在 時， 面積 S= 4 （ 12 t） = t+12 （ 8 t12）， 縱觀各選項，只有 B 選項圖形符合 故選： B 二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分） 15分解因式： 4a= a（ a 2） 2 【考點】 提公因式法與公式法的綜合運用 【分析】 觀察原式 4a，找到公因式 a，提出公因式后發(fā)現(xiàn) 4a+4 是完全平方公式，利用完全平方公式繼續(xù)分解可得 【解答】 解： 4a， =a（ 4a+4）， =a（ a 2） 2 故答案為： a（ a 2） 2 16一次考試中，甲組 12 人的平均分數(shù)為 70 分，乙組 8 人的平均分數(shù)為 80 分，那么這兩組 20 人的平均分為 74 分 【考點】 加權平均數(shù) 【分析】 根據(jù)加權平均數(shù)的定義進行計算 【解答】 解：這兩組 20 人的平均分 = =74（分） 故答案為 74 分 17定義運算 “”的運算法則為： xy=1，下面給出關于這種運算的幾種結論： （ 23） （ 4） =19； xy=yx； 若 xx=0，則 x 1=0； 若 xy=0，則（ （ =0， 其中正確結論的序號是 （在橫線上填上你認為所有正確的序號） 【考點】 整式的混合運算；有理數(shù)的混合運算；平方根 【分析】 根據(jù)題中的新定義化簡各選項中的算式，計算即可做出判斷 【解 答】 解：根據(jù)題意得： （ 23） （ 4） =54=20 1=19，本選項正確； xy=1， yx=1，故 xy=yx，本選項正確； 若 xx=1=0，則 x 1=0 或 x+1=0，本選項錯誤； 若 xy=1=0，則（ （ =1=（ ）（ 1） =0，本選項正確， 則其中正確的結論序號有 故答案為： 18如圖，在正方形方格中，陰影 部分是涂黑 7 個小正方形所形成的圖案，再將方格內空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的 涂法有 3 種 【考點】 利用軸對稱設計圖案 【分析】 根據(jù)軸對稱圖形的 概念：把一個 圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合及正方形的對稱軸是兩條對角線所在的直線和兩組對邊的垂直平分線，得出結果 【解答】 解：在 1， 2， 3 處分別涂黑都可得一個軸對稱圖形， 故涂法有 3 種， 故答案為： 3 19如圖，反比例函數(shù) y= （ x 0） 的圖 象交 斜邊 點 D，交直角邊 點 C，點 B 在 x 軸上若 面積為 5， ： 2，則k 的值為 8 【考點】 反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義以及相似三角形的性質得出 S k， S k+5， = ，進而求出即可 【解答】 解：過 D 點作 x 軸的垂線交 x 軸于 E 點， 面積和 面積相等 = ， 面積為 5， 面積 =5+ ， ： 2， ： 3， =（ ） 2， 即 = ， 解得： k=8 三、解答題（本大題共 7 小題，共 63 分） 20如圖，在矩形 ， 4 P 從 A 開始沿折線 A B C D 以 4cm/s 的速度移動，點 Q 從 C 開始沿 以 2cm/s 的速度移動，如果點 P、 Q 分別從 A、 C 同時出發(fā)，當其中一點到達 D 時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為 t（ s）當 t 為何值時，四邊形 矩形？ 【考點】 矩形的判定與性質 【分析】 求出 t， t， 4 4t，由已知推出 B= C=90， 出 P 時，四邊形 矩形，得出方程 2t=24 4t，求出即可 【解答】 解：根據(jù)題意得： t， t， 則 4 4t， 四邊形 矩形， B= C=90， 只有 P 時，四邊形 矩形， 即 2t=24 4t， 解得： t=4， 答：當 t=4s 時，四邊形 矩形 21某商店準備進一批季 節(jié)性小家電， 單價 40 元經(jīng)市場預測，銷售定價為 52元時，可售出 180 個，定價每增加 1 元，銷售量凈減少 10 個；定價每減少 1 元，銷售量凈增加 10 個因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不得超過 180 個，商店若將準備獲利 2000 元，則應進貨多少個？定價為多少元？ 【考點】 一元二次方程的應用 【分析】 利用銷售利潤 =售價進價，根據(jù)題中條件可以列出利潤與 x 的關系式，求出即可 【解答】 解：設每個商品的定價是 x 元， 由題意，得（ x 40） 180 10（ x 52） =2000， 整理，得 110x+3000=0， 解得 0， 0 當 x=50 時，進貨 180 10（ 50 52） =200 個 180 個，不符合題意，舍去； 當 x=60 時，進貨 180 10（ 60 52） =100 個 180 個，符合題意 答：當該商品每個定價為 60 元時，進貨 100 個 22為了解八年級學生的課 外閱讀情況， 我校語文組從八年級隨機抽取了若干名學生，對他們的讀書時間進行了調查并將收集的數(shù)據(jù)繪成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你依據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（每組含最 小值不含最大值） （ 1）從八年級抽取了多少名學生？ （ 2）填空（直接把答案填到橫線上） “2 時 ”的部分對應的扇形圓心角為 36 度； 課外閱讀時間的中位數(shù)落在 1 填時間段）內 （ 3）如果八年級共有 800 名學生，請估算八年級學生課外閱讀時間不少于 【考點】 扇形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；條形統(tǒng)計圖；中位數(shù) 【分析】 （ 1）根據(jù) 1 小時的人數(shù)及所占的比例可得出抽查的總人數(shù) （ 2） 根據(jù) 2 至 人 數(shù)及總人數(shù)可求出 a%的值，進而根據(jù)圓周為 1 可得出答案 分別求出各組的人數(shù)即可作出判斷 （ 3）首先確定課外閱讀時間不少于 時所占的比例，然后根據(jù)頻數(shù) =總數(shù) 頻率即可得出答案 【解答】 解：（ 1）總人數(shù) =30 25%=120 人； （ 2） a%= =10%， 對應的扇形圓心角為 360 10%=36； 總共 120 名學生，中位數(shù)為 60、 61， 落在 1 （ 3）不少于 時所占的比例 =10%+20%=30%， 人數(shù) =800 30%=240 人 23我市某玩具廠生產(chǎn)的一種玩具每個成本為 24 元，其銷售方案有如下兩種： 方案一：給本廠設在藍天商廈的銷售專柜銷售，每個售價為 32 元，但每月需上繳藍天商廈有關費用 2400 元； 方案二：不設銷售專柜，直接發(fā)給本市各商廈銷售，出廠價為每個 28 元 設該廠每月的銷售 量為 x 個如 果每月只能按一種方案銷售，且每種方案都能按月銷售完當月產(chǎn)品，那么應如何選擇銷售方案，可使該工廠當月所獲利潤最大？ 【考點】 一次函數(shù)的應用 【分析】 根據(jù)每月的銷售的為 x 個列出兩種方案所獲得的利潤，解方程然后分類討論得出 當 x 為多少時選擇何種方案可使得該工廠當月所獲利潤最大 【解答】 解：方案一：工廠每月所獲利潤 =（ 32 24） x 2400=8x 2400 方案二：工廠每月所獲利潤 =（ 28 24） x=4x 設 8x 2400=4x，解得 x=600 當 x=600 時，選擇方案一和方案二工廠當月所獲利潤相同； 當 x 600 時，選擇方案一工廠當月所獲利潤大； 當 x 600 時，選擇方案二工廠當月所獲利潤大 24如圖， 接于 O， O 直徑，過點 A 的切線與 延長線交于點 E （ 1）求證： B （ 2）若 C， ， 2，求 O 的半徑 【考點】 切線的性質；相似三角形的判定與性質 【分析】 （ 1）由弦切角定理，可得 C，繼而可證得 后由相似三角形的對應邊成比例，證得 B （ 2）首先連接 點 B 作 點 H，易證得 E= C= D= 后由三角函數(shù)的性質，求得直徑 長，繼而求得 O 的半徑 【解答】 （ 1）證明： 切線， C， E 是公共角， B： B （ 2）解：連接 點 B 作 點 H， C， E= C， C， E， B， H= 12=6， ， E= ， 在 ， = ， ， 直徑， 0， D= C， D= ， D= ， = ， O 的半徑為 25問題情境： 小明和小穎在吃冰淇淋時，對其所 用的一次性紙 杯（如圖 1）產(chǎn)生了興趣，決定對制做這種紙杯的相關問題進行研究，他們發(fā)現(xiàn)紙杯是圓臺形狀（即一個大圓錐截去一個小圓錐后余一的部分，如圖 2），并測得杯口直徑 底直徑壁母線長 D=6明：整個探究過程中均忽略 紙杯的接接部分和紙杯的厚度 數(shù)學理解： （ 1）為進一步探究問題的本質，小 穎畫出紙杯的 側面展開的大致圖形，如圖 3，得到的圖形是圓環(huán)的一部分，那么，圖 3 中 的長為 8 的長為 6 （ 2）小明認為，要想準確畫出紙杯 的側面展開圖 ，需要確定圖 3 中 和 所在圓的半徑 長以及圓心角 度數(shù)，小穎根據(jù)弧長的計算公式猜想得到 = ，請你證明這個結論，并根據(jù)這個結論，求 所在圓的半徑它所對的圓心角 度數(shù) 問題解決： （ 3）明確了紙杯 側面展開圖的 有關數(shù)據(jù)和圖形的性質后，他們繼續(xù)探究將原材料截前成紙杯側面的方案，并給出了方案，將原材料剪成矩形紙片，再按 如圖 4所示的方式剪出這個紙杯的側面，其中，扇形 與矩形 邊 ，點 P 是 的中點，點 B， E， F， D 均在矩形的邊上，請直接寫出矩形紙片的長和寬 【考點】 圓的綜合題 【分析】 （ 1）立體平 面圖形轉化中 ，可見 的長即為杯口圓的周長，而 的長即為杯底圓的周長由已知杯口直徑 底直徑 論易得 （ 2）求證 = ，一般我們都考慮分別用 示出 的長和 的長，然后相除后再找其與 的關系 求 中已提示利用 上述公式因 為（ 1）我們已知等式的左邊，右邊否用 示呢？觀 察圖已知， F+杯壁母線長，又杯壁母線長D=6以結果易得 （ 3）求矩形紙片的長與寬， 直接考慮都在 扇形外，所以可以考慮轉化到扇形中，由 P 為圓的切點，一般連接圓心與切點，如是連接 接 兩線交于 Q，記 于點 R此時 為矩形的長， 為矩形的寬，其中又由圓心角為 60，易得 等邊三角形，則 求同時 含 30角的直角三角形，邊長易得，進而 得 【解答】 解： （ 1） 8， 6 （ 2）證明：設 與 所對的圓心角為 n 的長 = = ， 的長 = = ， = = F+6， 的長 =8， 的長 =6， = ， 解得， 8，