第 1 頁 共 10 頁 不等式選講 高考導航 考試要求 重難點擊 命題展望 能用它證明絕對值三角不等式等較簡單的不等式 . |a b| |a| |b|； |a b| |a c| |c b|. |b| c 或 |b| c，以及 |x a| |x b| c 或 |x a| |x b| c 類型 . 較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法 . 用它證明一些簡單不等式及其他問題 . 西不等式的幾種不同形式：二維形式 ( ( 、向量形式 | | | |、一般形式 ni ni ni 2122 )( ，理解它們的幾何意義 .)1,0,1(1)1( 的正整數為大于n 本章重點：不等式的基本性質；基本不等式及其應用、絕對值型不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用 . 本章難點：三個正數的算術 幾何平均不等式及其應用；絕對值不等式的解法；用反證法、放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式 . 本專題在數學必修 5“不等式”的基礎上，進一步學習一些重要的不等式，如絕對值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它們的證明，同時了解證明不等式的一些基本方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法等，會用絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解決一些簡單問題 考查上述知識和方法，不對恒等變形的難度和一些技巧作過 高的要求 . 知識網絡 1 絕對值型不等式 典例精析 題型一 解絕對值不等式 【例 1】 設函數 f(x) |x 1| |x 2|. (1)解不等式 f(x) 3； (2)若 f(x) a對 x 實數 a 的取值范圍 . 第 2 頁 共 10 頁 【解析】 (1)因為 f(x) |x 1| |x 2| ,1,11,23所以當 x 1 時， 3 2x 3，解得 x 0； 當 1 x 2 時， f(x) 3 無解； 當 x 2 時， 2x 3 3，解得 x 3. 所以不 等式 f(x) 3 的解集為 ( ， 0) (3， ). (2)因為 f(x) ,1,11,23以 f(x)1. 因為 f(x) a 恒成立， 所以 a 1，即實數 a 的取值范圍是 ( ， 1). 【變式訓練 1】 設函數 f(x) |x 1| |x 2| a. (1)當 a 5 時，求函數 f(x)的定義域； (2)若函數 f(x)的定義域為 R，試求 a 的取值范圍 . 【解析】 (1)由題設知 |x 1| |x 2| 5 0，如圖，在同一坐標系中作 出函數 y |x 1| |x 2|和 y 5 的圖象，知定義域為 ( ， 2 3， ). (2)由題設知，當 x 有 |x 1| |x 2| a 0，即 |x 1| |x 2| a，又由 (1)知 |x 1| |x 2| 3， 所以 a 3，即 a 3. 題型二 解絕對值三角不等式 【例 2】 已知函數 f(x) |x 1| |x 2|，若不等式 |a b| |a b| |a|f(x)對 a0， a、 b 實數x 的范圍 . 【解析】 由 |a b| |a b| |a|f(x)且 a0 得 |a b| |a b|a| f(x). 又 因為 |a b| |a b|a| |a b a b|a| 2，則有 2 f(x). 解不等式 |x 1| |x 2| 2 得 12 x 52. 【變式訓練 2】 (2010 深圳 )若不等式 |x 1| |x 3| a 4x 恒成立，則實數 a 的取值范圍是 . 【解析】 ( ， 0) 2. 題型三 利用絕對值不等式求參數范圍 【例 3】 (2009 遼寧 )設函數 f(x) |x 1| |x a|. (1)若 a 1，解不等式 f(x) 3； (2)如果 x R， f(x) 2，求 a 的取值范圍 . 【解析】 (1)當 a 1 時， f(x) |x 1| |x 1|. 由 f(x) 3 得 |x 1| |x 1| 3， 當 x 1 時，不等式化為 1 x 1 x 3，即 2x 3， 不等式組 3)( 1, 解集為 ( ，32； 當 1 x 1 時，不等式化為 1 x x 1 3，不可能成立， 不等式組 3)( 1,1xf x 的解集為 ； 當 x 1 時，不等式化 為 x 1 x 1 3，即 2x 3， 第 3 頁 共 10 頁 不等式組 3)( 1, 解集為 32， ). 綜上得 f(x) 3 的解集為 ( ， 32 32， ). (2)若 a 1， f(x) 2|x 1|不滿足題設條件 . 若 a 1， f(x)1,1),(,1,12f(x)的最小值為 1 a 2，即 a 1. 若 a 1， f(x),1),(1,11,12f(x)的最小值為 a 1，由題意有 a 1 2，故 a 3. 綜上可知 ， 1 3， ). 【變式訓練 3】 關于實數 x 的不等式 |x 12(a 1)2| 12(a 1)2與 3(a 1)x 2(3a 1) 0 (a R)的解集分別為 A， B的 a 的取值范圍 . 【解析】 由不等式 |x 12(a 1)2| 12(a 1)2 12(a 1)2 x 12(a 1)2 12(a 1)2， 解得 2a x 1，于是 A x|2a x 1. 由不等式 3(a 1)x 2(3a 1) 0 (x 2)x (3a 1) 0， 當 3a 1 2，即 a 13時， B x|2 x 3a 1， 因為 A B，所以必有 1,31,222 得 1 a 3； 當 3a 1 2，即 a 13時， B x|3a 1 x 2， 因為 A B，所以2,1,2132得 a 1. 綜上使 A B的 a 1 或 1 a 3. 總結提高 1.“ 絕對值三角不等式 ” 的理解及記憶要結合三角形的形狀，運用時注意等號成立的條件 . | |x a 的解集是 ( a， a)； | |x a 的解集是 ( ， a) (a， )，它可以推廣到復合型絕對值不等式 | |b c， | |b c 的解法，還可以推廣到右邊含未知數 x 的不等式，如 | |3x 1 x 1 1 x 3x 1 x 1. | |x a | |x b c 和 | |x a | |x b 何解法和代數解法以及構造函數的解法，其中代數解法主要是分類討論的思想方法，這也是函數解法的基礎，這兩種解法都適宜于 x 前面系數不為 1 類型的上述不等式，使用范圍更廣 . 2 不等式的證明 (一 ) 典例精析 題型一 用綜合法證明不等式 【例 1】 若 a， b， 證： lg a lg b lg a lg a lg b lg c. 【證明】 由 a， b， c 為正數，得 第 4 頁 共 10 頁 lg a lg lg b lg lg a lg 而 a， b， 所以 lg a lg b lg a lg lg lg lg lg( lg a lg b lg c. 即 lg a lg b lg a lg a lg b lg c. 【點撥】 本題采用了綜合法證明，其中基本不等式是證明不等式的一個重要依據 (是一個定理 )，在證明不等式時要注意結合運用 要特別注意等號成立的條件是否滿足 . 【變式訓練 1】 已知 a， b， c， d 都是實數，且 1， | 1. 【證明】 因為 a， b， c， 所以 | | | 又因為 1， 1，所以 | 1. 題型二 用作差法證明不等式 【例 2】 設 a， b， 三邊，求證： 2( 【證明】 2( (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 而在 | |b a c，所以 (a b)2 (a b)2 0. 同理 (a c)2 0， (b c)2 0，所以 2( 0. 故 2( 【點撥】 不等式的證明中，比較法特別是作差比較法是最基本的證明方法，而在牽涉到三角形的三邊時，要注意運用三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊 . 【變式訓練 2】 設 a， 0 n 1,0 m 1， m n 1，求證： (a b)2. 【證明】 因為 (a b)2 nm(2b2) m) n) 2 2( 0， 所以不等式 (a b)2成立 . 題型三 用分析法證明不等式 【例 3】 已知 a、 b、 c R ，且 a b c 1. 求證： (1 a)(1 b)(1 c) 8(1 a)(1 b)(1 c). 【證明】 因為 a、 b、 c R ，且 a b c 1，所以要證原不等式成立， 即證 (a b c) a(a b c) b(a b c) c 8(a b c) a(a b c) b(a b c) c， 也就是證 (a b) (c a)(a b) (b c)(c a) (b c) 8(b c)(c a)(a b). 因為 (a b) (b c) 2 (a b)(b c) 0， (b c) (c a) 2 (b c)(c a) 0， (c a) (a b) 2 (c a)(a b) 0， 三式相乘得 式成立，故原不等式得證 . 【點撥】 本題采用的是分析法 析并尋求使這個不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為 “ 執(zhí)果索因 ” 析后再用綜合法書寫證題過程 . 【變式訓練 3】 設函數 f(x) x a(x 1)ln(x 1)(x 1， a 0). 第 5 頁 共 10 頁 (1)求 f(x)的單調區(qū)間； (2)求證：當 m n 0 時， (1 m)n (1 n)m. 【解析】 (1)f(x) 1 x 1) a， a 0 時， f(x) 0，所以 f(x)在 ( 1， )上是增函數； 當 a 0 時， f(x)在 ( 1， 1上單調遞增，在 1， )單調遞減 . (2)證明：要證 (1 m)n (1 n)m，只需證 m) n)，只需證 m)m n)n . 設 g(x) x)x (x 0)，則 g(x)x x)x (1 x) x) x) . 由 (1)知 x (1 x) x)在 (0， )單調遞減， 所以 x (1 x) x) 0，即 g(x)是減函數， 而 m n，所以 g(m) g(n)，故原不等式成立 . 總結提高 先考慮用比較法，它是最基本的不 等式的證明方法 作差比較法 ” 和 “ 作商比較法 ” ，用得較多的是 “ 作差比較法 ” ，其中在變形過程中往往要用到配方、因式分解、通分等計算方法 . 用到的依據一般是定義、公理、定理、性質等，如基本不等式、絕對值三角不等式等 . 是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實 (定義、公理或已證明的定理、性質等 )，從而得出要證的命題成立 . 綜合法 ” 、 “ 分析法 ” 其實是證明題 的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，并不像前面所用的比較法及后面要復習到的三角代換法、放縮法、判別式法、反證法等是一種具體的證明方法 (或者手段 )，而只是兩種互逆的證明題的書寫格式 . 3 不等式的證明 (二 ) 典例精析 題型一 用放縮法、反證法證明不等式 【例 1】 已知 a， b R，且 a b 1，求證： (a 2)2 (b 2)2 252 . 【證明】 方法一： (放縮法 ) 因為 a b 1， 所以左邊 (a 2)2 (b 2)2 2(a 2) (b 2)2 2 12(a b) 42 252 右邊 . 方法二： (反證法 ) 假設 (a 2)2 (b 2)2 252 ，則 4(a b) 8 252 . 由 a b 1，得 b 1 a，于是有 (1 a)2 12 252 . 所以 (a 12)2 0，這與 (a 12)2 0 矛盾 . 故假設不成立，所以 (a 2)2 (b 2)2 252 . 【點撥】 根據不等式左邊是平 方和及 a b 1這個特點，選用重要不等式 2(a 2來證明比較好，它可以將具備 第 6 頁 共 10 頁 而反證法的思路關鍵是先假設命題不成立，結合條件 a b 1，得到關于 a 的不等式，最后與數的平方非負的性質矛盾，從而證明了原不等式 【變式訓練 1】 設 ， 1， 0，且有 20， 20， 2 21 0， 求證： ， 1 0. 【證明】 由題設 20 得 同理， 1 1 2 假設 ， 1中存在大于 0 的數，假設 ， 1中第一個出現的正數 . 即 0，0， ， 1 0， 0， 則有 1 0，于是有 1 1 2 1 0. 并由此得 1 2 0. 這與題設 0 矛盾 ， 1 0 成立 . 題型二 用數學歸納法證明不等式 【例 2】 用放縮法、數學歸納法證明： 設 12 23 n(n 1)， n N*，求證： n(n 1)2 (n 1)22 . 【證明】 方法一： (放縮法 ) n(n 1) n (n 1)2 ，即 n n(n 1) 2n 12 . 所以 1 2 n 121 3 (2n 1). 所以 n(n 1)2 12 (n 1)(1 2n 1)2 ， 即 n(n 1)2 (n 1)22 . 方法二： (數學歸納法 ) 當 n 1 時， 2，而 1 2 2，所以原不等式成立 . 假設 n k (k 1)時，不等式成立，即 k(k 1)2 (k 1)22 . 則當 n k 1 時， 1 12 23 k(k 1) (k 1)(k 2)， 所以 k(k 1)2 (k 1)(k 2) 1 (k 1)22 (k 1)(k 2). 而 k(k 1)2 (k 1)(k 2) k(k 1)2 (k 1)(k 1) k(k 1)2 (k 1) (k 1)(k 2)2 ， (k 1)22 (k 1)(k 2)(k 1)22 (k 1) (k 2)2 4k 42 (k 2)22 . 所以 (k 1)(k 2)2 1 (k 2)22 . 故當 n k 1 時，不等式也成立 . 綜合 知當 n N*，都有 n(n 1)2 (n 1)22 . 【點撥】 在用 放縮法時，常利用基本不等式 n(n 1) n (n 1)2 將某個相乘的的式子進行放縮，而在上面的方法二的數學歸納法的關鍵步驟也要用到這個公式 【變式訓練 2】 已知數列 81123 2， 82325 2， ， 8n(2n 1)2(2n 1)2， ， n 項和，計算得 89， 7 頁 共 10 頁 2425， 4849， 8081，觀察上述結果推測出計算 【解析】 猜想 (2n 1)2 1(2n 1)2 (n N ). 證明： 當 n 1 時， 32 132 89，等式成立 . 假設當 n k(k 1)時等式成立，即 (2k 1)2 1(2k 1)2 . 則 1 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 1(2k 1)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2 2(k 1) 12 12(k 1) 12 . 即當 n k 1 時，等式也成立 得，對任何 n N ，等式都成立 . 題型三 用不等式證明方法解決應用問題 【例 3】 某地區(qū)原有森林木材存量為 a，且每年增長率為 25%，因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為 b，設 (1)求 (2)為保護 生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年森林木材量應不少于 79a，如果 b 1972a，那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，需要經過幾年？ (取 【解析】 (1)依題意 得 a(1 14) b 54a b， 54b 54(54a b) b (54)2a (54 1)b， 54b (54)3a (54)2 (54 1)b， 由此猜測 (54)(54)n 1 (54)n 2 54 1b (54)4(54)n 1b(n N ). 下面用數學歸納法證明： 當 n 1 時， 54a b，猜測成立 . 假設 n k(k 2)時猜測成立，即 (54)4(54)k 1b 成立 . 那么當 n k 1 時， 1 54b 54 (54)4(54)k 1b b (54)k 1a 4(54)k 1 1b， 即當 n k 1 時，猜測仍成立 . 由 知，對任意 n N ，猜測成立 . (2)當 b 1972a 時，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失 ，則森林木材存量必須少于 79a， 所以 (54)4(54)n 1 1972a 79a，整理得 (54)n 5， 兩邊取對數得 4 ， 所以 n 2 1 1 3 1 37. 故經過 8 年該地區(qū)就開始水土流失 . 【變式訓練 3】 經過長 期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量 y(千輛 /時 )與汽車的平均速度 v(千米 /時 )之間的函數關系為 y 9203v 1 600(v 0). (1)在該時段內，當汽車的平均速度 流量最大？最大車流量為多少？ (精確到 輛 /時 ) (2)若要求在該時段內車流量超過 10 千輛 /時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？ 第 8 頁 共 10 頁 【解析】 (1)依題意， y 9203 (v 1 600v ) 9203 2 1 600 92083 ，當且僅當 v 1 600v ，即 v 40 時，上式等號成立，所以 92083 輛 /時 ). (2)由條件得 9203v 1 600 10，整理得 89v 1 600 0， 即 (v 25)(v 64) 0，解得 25 v 64. 答：當 v 40 千米 /時時，車流量最大，最大車流量約為 輛 /時 0千輛 /時，則汽車的平均速度應大于 25 千米 /時且小于 64 千米 /時 . 總結提高 正面證如果不易說清，可以考慮反證法，凡是含有 “ 至少 ” 、 “ 唯一 ” 或者其他否定詞的命題適用反證法 擇題之中，也可以用反證法的方法進行命題正確與否的判斷 . 證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目標，目標在結論和中間結果中尋找 . 常用的放縮方法有： (1)添加或舍去一些項，如 1 | |a， n(n 1) n； (2)將分子或分母放大 (或縮小 )； (3)利用基本不等式，如 n(n 1) n (n 1)2 ； (4)利用常用結論，如 k 1 k 1k 1 k 12 k， 1k(k 1)1k 11k ； 1k(k 1)1k1k 1(程度大 )； 111(k 1)(k 1)12(1k 11k 1) (程度小 ). 要奠基，后進行假設與推理，二者缺一不可 . 4 柯西不等式和排序不等式 典例精析 題型一 用柯西不等式、排序不等式證明不等式 【例 1】 設 ， 明： 1 【證明】 方法一：由柯西不等式，有 ( 1 ( ( . 不等式兩邊約去正數因式 方法二：不妨設 11 1由排序不等式有 11 1 1111 1 故不等式成立 . 方法三：由均值不等式有 第 9 頁 共 10 頁 2a1，2 ，2這 n 個不等式相加得 1 2( 整理即得所證不等式 . 【點撥】 根據所證不等式的結構形式觀察是否符合柯西不等式、排 序不等式的結構形式或有相似之處 時往往要進行添項、拆項、重組、配方等方法的處理 . 【變式訓練 1】 已知 a b c 1，且 a、 b、 證： 2a b 2b c 2c a 9. 【證明】 左邊 2(a b c)( 1a b 1b c 1c a) (a b) (b c) (c a)( 1a b 1b c 1c a) (1 1 1)2 9， (或左邊 (a b) (b c) (c a)( 1a b 1b c 1c a) 3 a c a a b b b a c b c c 3 2ba 2ba 2cb 9) 所以 2a b 2b c 2c a 9. 題型二 用柯西不等式求最值 【例 2】 若實數 x， y， x 2y 3z 2，求 【解析】 由柯西不等式得， (12 22 32)( (x 2y 3z)2 4 (當且僅當 1 等號成立， 結合 x 2y 3z 2，解得 x 17， y 27， z 37)， 所以 14( 27. 故 7. 【點撥】 根據柯西不等式，要求 要給 考慮需要出現定值，就要讓柯西不等式的右邊出現 x 2y 3而得到解題思路 西不等式可以應用在求代數式的最值中 . 【變式訓練 2】 已知 231817，求 3x 2y 【解析】 因為 (2332 ( 2)2 ( 13)2 (3x 2y 2 3z 13)2 (3x 2y z)2， 所以 (3x 2y z)2 12，即 2 3 3x 2y z 2 3， 當且僅當 x 9 317 ， y 3 317 ， z 317時， 3x 2y z 取最小值，最 小值為 2 3. 題型三 不等式綜合證明與運用 【例 3】 設 x 0，求證： 1 x (2n 1)【證明】 (1)當 x 1 時， 1 x 排序原理：順序和 反序和得 1 1 x x 1 x 1 1 x 1， 即 1 (n 1) 又因為 x， ， 1 為序列 1， x， ， 是再次由排序原理： 亂序和 反序和得 1 x x 1 1 1 x 1 1 x 1， 第 10 頁 共 10 頁 即 x 1 (n 1) 將 和 相加得 1 x (2n 1) (2)當 0 x 1 時， 1 x 由 仍然成立，于是 也成立 . 綜合 (1)(2)，原不等式成立 . 【點撥】 分類討論的目的在于明確兩個序列的大小順序 . 【變式訓練 3】 把長為 9 細鐵線截成三段，各自圍成一個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值 . 【解析】 設這三個正三角形的邊長分別為 a、 b、 c，則 a b c 3，且 這三個正三角形面積和 S 滿足： 3S 34 (12 12 12) 34 (a b c)2 9 34 S 3 34 . 當且僅當 a b c 1 時，等號成立 . 總結提高 推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用 從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的