2017 年東北三省四市高考數(shù)學二模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的 1已知復數(shù) z=1+2i，則 z =（ ） A 3 4i B 5+4i C 3 D 5 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x| 2 x 2，則 A B=（ ） A x| 2 x 2 B x| 2 x 3 C x| 1 x 3 D x| 1 x 2 3祖暅原理： “冪勢既同，則積不容異 ”它是中國古代一個設計幾何體體 積的問題意思是如果兩個等高的幾何體在同高處處截得兩幾何體的截面面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等設 A， B 為兩個等高的幾何體， p： A， B 的體積不相等， q： A， B 在同高處的截面面積不恒相等，根據(jù)祖暅原理可知， p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 4直線 x 3y+3=0 與圓（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦長為（ ） A B C 4 D 3 5下列命題中錯誤的是（ ） A如果平面 外的直線 a 不平行于平面 內(nèi)不存在與 a 平 行的直線 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直線 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)所有直線都垂直于平面 D一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另一個平面相交 6已知數(shù)列 足 ， 5，則 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 7平面內(nèi)的動點（ x， y）滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的取值范圍是（ ） A（ ， + ） B（ ， 4 C 4， + ） D 2， 2 8函數(shù) f（ x） = 的圖象大致為（ ） A B C D 9某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（ ） A 4 B C D 10若關(guān)于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有兩個不等實根，則 m 的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 11運行如圖所示的程序框圖，則輸出的 a、 b、 c 滿足（ ） A c b a B a b c C a c b D b c a 12對 x （ 0， ）， 8x 恒成立，則實數(shù) a 的取值范 圍是（ ） A（ 0， ） B（ 0， C ， 1） D ， 1） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） . 13某班級有 50 名同學，一次數(shù)學測試平均成績是 92，其中學號為前 30 名的同學平均成績?yōu)?90，則后 20 名同學的平均成績?yōu)?14若函數(shù) f（ x） =ex f（ 0） = 15等比數(shù)列 各項均為正數(shù)， 其前 n 項和，且滿足 26，則 16 F 為雙曲線 （ a b 0）的左焦點，過點 F 且斜率為 1 的直線與兩條漸近 線分別交于 A， B 兩點，若 = ，則雙曲線的離心率為 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分解答寫出文字說明、證明過程或演算過程 17已知點 P（ ， 1）， Q（ O 為坐標原點，函數(shù) f（ x） = （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期； （ ）若 A 為 內(nèi)角， f（ A） =4， ， 面積為 ，求 周長 18某手機廠商推出一款 6 吋大屏手機，現(xiàn)對 500 名該手機使用者進行調(diào)查，對手機進行打分，打分的頻數(shù)分布表如表： 女性用戶： 分值區(qū)間 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 頻數(shù) 20 40 80 50 10 男性用戶 分值區(qū)間 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 頻數(shù) 45 75 90 60 30 （ ）完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評分的波動大?。ú灰笥嬎憔唧w值，給出結(jié)論即可）； （ ）根據(jù)評分的不同，運用分層抽樣從男性用戶中抽取 20 名用戶，再從這 20名用戶中滿足評分不低于 80 分的用戶中任意抽取 2 名用戶，求 2 名用戶評分都小于 90 分的概率 19 如圖，四棱錐 P 底面 矩形， 底面 P=2， ， E 為棱 中點 （ ）證明： 平面 （ ）求三棱錐 C 接球的體積 20已知函數(shù) f（ x） = （ 1）過原點 O 作函數(shù) f（ x）圖象的切線，求切點的橫坐標； （ 2）對 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 成立，求實數(shù) a 的取值范圍 21已知橢圓 C： +（ a 1）， 別是其上、下頂點，橢圓 C 的左焦點 以 直徑的圓上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點 不與坐標軸垂直的直線 l 交橢圓 C 于 A， B 兩點，線段 垂直平分線與 x 軸交于點 N，點 N 的橫坐標的取值范圍是（ ， 0），求線段 從 22、 23 題中任選一題作答 .選修 4標系與參數(shù)方程選講 22已知在平面直角坐標系 ，以坐標原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 極坐標方程為 =4線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)） （ 1）求曲線 直角坐標方程及直線 l 的普通方程； （ 2）若曲線 參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)） ，曲線 點 P 的極角為 ，Q 為曲線 的動點，求 中點 M 到直線 l 距離的最大值 選修 4等式選講 23已知 a 0， b 0，函數(shù) f（ x） =|x+a|+|2x b|的最小值為 1 （ 1）求證： 2a+b=2； （ 2）若 a+2b 成立，求實數(shù) t 的最大值 2017 年東北三省四市高考數(shù)學二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的 1已知復數(shù) z=1+2i，則 z =（ ） A 3 4i B 5+4i C 3 D 5 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)的運算法則即可得出 【解答】 解： z =（ 1+2i）（ 1 2i） =12+22=5 故選： D 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x| 2 x 2，則 A B=（ ） A x| 2 x 2 B x| 2 x 3 C x| 1 x 3 D x| 1 x 2 【考點】 交集及其運算 【分析】 求出 A 中不等式的解集，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式變形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 A=x| 1 x 3， B=x| 2 x 2， 則 A B=x| 1 x 2 故選： D 3祖暅原理： “冪勢既同，則積不容異 ”它是中國古代一個設計幾何體體積的問題意思是如果兩個等高的幾何體在同高處處截得兩幾何體的截面面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等設 A， B 為兩個等高的幾何體， p： A， B 的體積不相等， q： A， B 在同高處的截面面積不恒相等，根據(jù)祖暅原理可知， p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不 必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由 pq，反之不成立即可得出 【解答】 解：由 pq，反之不成立 p 是 q 的充分不必要條件 故選： A 4直線 x 3y+3=0 與圓（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦長為（ ） A B C 4 D 3 【考點】 直線與圓相交的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)已知中圓的標準方程和直線的一般方程，代入圓的弦長公式，可得答案 【解答】 解：圓（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 的圓心坐標為（ 1， 3），半徑 r= ， 圓心到直線 x 3y+3=0 的距離 d= = ， 故弦 = ， 故選 A 5下列命題中錯誤的是（ ） A如果平面 外的直線 a 不平行于平面 內(nèi)不存在與 a 平行的直線 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直線 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)所有直線都垂直于平面 D一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另一個平面相交 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 由空間中直線與平面的位置關(guān)系逐一核對四個選項得答案 【解答】 解：如果平面 外的直線 a 不平行于平面 ，則 a 與 相交，則 內(nèi)不存在與 a 平行的直線，故 A 正確； 如圖： ， =a， ， =b， =l， 在 內(nèi)取一點 P，過 P 作 a 于 A，作 b 于 B，由面面垂直的性質(zhì)可得l， l， 則 l ，故 B 正確； 如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)的直線與平面 有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面，故 C 錯誤； 一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另一個平面相交，故 D 正確 故選： C 6已知數(shù)列 足 ， 5，則 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 【考點】 數(shù)列的求和 【分析】 利用等差數(shù)列的通項公式可得 其數(shù)列 前 n 項和 0，解得 n，分類討論即可得出 【解答】 解： ， 5， 數(shù)列 公差為 2 的等差數(shù)列 5+2（ n 1） =2n 7 數(shù)列 前 n 項和 =6n 令 n 7 0，解得 n 3 時， | n 4 時， | 則 | +| a3+a4+a5+6 22 6 6 2（ 32 6 3）=18 故選： C 7平面內(nèi)的動點（ x， y）滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的取值范圍是（ ） A（ ， + ） B（ ， 4 C 4， + ） D 2， 2 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 畫出滿足約束條件 的平面區(qū)域，求出可行域各角點的坐標，然后利用角點法，求出目標函數(shù)的最大值和最小值，即可得到目標函數(shù)的取值范圍 【解答】 解：滿足約束條件 的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知解得 A（ 1， 2） 當 x=1， y=2 時，目標函數(shù) z=2x+y 有最大值 4 故目標函數(shù) z=2x+y 的值域為（ ， 4 故選： B 8函數(shù) f（ x） = 的圖象大致為（ ） A B C D 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象 【分析】 利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域，判斷函數(shù)的圖象即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = 的定義域為： x 0， x R，當 x 0 時，函數(shù) f（ x）= ，可得函數(shù)的極值點為： x=1，當 x （ 0， 1）時，函數(shù)是減函數(shù)， x 1 時，函數(shù)是增函數(shù)，并且 f（ x） 0，選項 B、 D 滿足題意 當 x 0 時，函數(shù) f（ x） = 0，選項 D 不正確， 選項 B 正確 故選： B 9某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（ ） A 4 B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 通過三視圖復原的幾何體是正四棱錐，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積 【解答】 解：由題意三視圖可知，幾何體是正四棱錐， 底面邊長為 2 的正方形，一條側(cè)棱垂直正方形的一個頂點，長度為 2， 所以四棱錐的體積 故選 D 10若關(guān)于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有兩個不等實根，則 m 的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 把方程 22x+ ） =m 化為 2x+ ） = ，畫出函數(shù) f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的圖象，結(jié)合圖象求出方程有兩個不等實根時 m 的取值范圍 【解答】 解：方程 22x+ ） =m 可化為 2x+ ） = ， 當 x 0， 時， 2x+ ， ， 畫出函數(shù) y=f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的圖象如圖所示； 根據(jù)方程 22x+ ） =m 在 0， 上有兩個不等實根， 得 1 1 m 2 m 的取值范圍是 1， 2） 故選： C 11運行如圖所示的程序框圖，則輸出的 a、 b、 c 滿足（ ） A c b a B a b c C a c b D b c a 【考點】 程序框圖 【分析】 分析程序運行的功能是比較 a、 b、 c 的大小并按大小順序輸出， 寫出運行結(jié)果即可 【解答】 解：由程序框圖知，程序運行的功能是 比較 a、 b、 c 的大小并按大小順序輸出， 程序運行后輸出的是 c b a 故選： A 12對 x （ 0， ）， 8x 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A （ 0， ） B（ 0， C ， 1） D ， 1） 【考點】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 對任意的 x （ 0， ），總有 8x 恒成立，則在 0 x 時， y=y=8x 1 的圖象的上方，在同一坐標系中，分別畫出指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，由此能求出實數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解： a （ 0， 1） （ 1， + ）， 當 0 x 時，函數(shù) y=8x 1 的圖象如下圖所示： 對任意 x （ 0， ），總有 8x 恒成立， 則 y=圖象恒在 y=8x 1 的圖象的上方（如圖中虛 線所示） y=圖象與 y=8x 1 的圖象交于（ ， 1）點時， a= ， 故虛線所示的 y=圖象對應的底數(shù) a 應滿足 a 1 故選： C 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） . 13某班級有 50 名同學，一次數(shù)學測試平均成績是 92，其中學號為前 30 名的同學平均成績?yōu)?90，則后 20 名同學的平均成績?yōu)?95 【考點】 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 設學號為 31 號到 50 號同學的平均成績?yōu)?x，得到關(guān)于 x 的方程，解出即可 【解答】 解：設學號為 31 號到 50 號同學的平均成績?yōu)?x， 則 92 50=90 30+20x，解得： x=95， 故答案為： 95 14若函數(shù) f（ x） =ex f（ 0） = 1 【考點】 導數(shù)的運算 【分析】 先求 f（ x）的導數(shù)，再求導數(shù)值 【解答】 解： f（ x） =exf（ x） =（ =exex f（ 0） =0+1=1 故答案為： 1 15等比數(shù)列 各項均為正數(shù)， 其前 n 項和，且滿足 26，則 30 【考點】 等比數(shù)列的前 n 項和 【分析】 利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出 【解答】 解：設等比數(shù)列 公比為 q 0， 26， 21+q+=8+3q）， =16， 解得 a1=q=2 則 =30 故答案為： 30 16 F 為雙曲線 （ a b 0）的左焦點，過點 F 且斜率為 1 的直線與兩條漸近線分別交于 A， B 兩點，若 = ，則雙曲線的離心率為 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設出過焦點的直線方程，與雙曲線的漸 近線方程聯(lián)立把 A， B 表示出來，再由條件可得 A 為 中點，運用中點坐標公式，可得 a， b， c 的關(guān)系，然后求雙曲線的離心率 【解答】 解：設 F（ c， 0），則過 F 作斜率為 1 的直線為： y=x+c， 而漸近線的方程是： y= x， 由 得： A（ ， ）， 由 得， B（ ， ）， 若 = ，可得 A 為 中點， 可得 c = 2 ， 化為 b=3a， c= = a， e= = 故答案為： 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分解答寫出文字說明、證明過程或演算過程 17已知點 P（ ， 1）， Q（ O 為坐標原點，函數(shù) f（ x） = （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期； （ ）若 A 為 內(nèi)角， f（ A） =4， ， 面積為 ，求 周長 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 （ ）根據(jù)平面向量的坐標表示與數(shù)量積運算求出 f（ x），即可得出 f（ x）的最小正周期； （ ）根據(jù) f（ A） =4 求出 A 的值，再根據(jù) 面積和余弦定理求出 b+可求出周長 【解答】 解：（ ）點 P（ ， 1）， Q（ =（ ， 1）， =（ 1 函數(shù) f（ x） = = （ +（ 1 =3 （ +4 = 2x+ ） +4； 函數(shù) f（ x）的最小正周期為 T=2； （ ） A 為 內(nèi)角， f（ A） =4， 2A+ ） +4=4， A+ ） =0， A+ =，解得 A= ； 又 BC=a=3， 面積為： S= ， 解得 ； 由余弦定理得： a2=b2+2b2+2=b2+c2+32=9， b2+； （ b+c） 2=b2+6=12， b+c=2 ， 周長為 a+b+c=3+2 18某手機廠商推出一款 6 吋大屏手機，現(xiàn)對 500 名該手機使用者進行調(diào)查，對手機進行打分，打分的頻數(shù)分布表如表： 女性用戶： 分值區(qū)間 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 頻數(shù) 20 40 80 50 10 男性用戶 分值區(qū)間 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 頻數(shù) 45 75 90 60 30 （ ）完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評分的波動大?。ú灰笥嬎憔唧w值，給出結(jié)論即可）； （ ）根據(jù)評分的不同，運用分層抽樣從男性用戶中抽取 20 名用戶，再從這 20名用戶中滿足評分不低于 80 分的用戶中任意抽取 2 名用戶，求 2 名用戶評分都小于 90 分的概率 【考點】 頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式 【分析】 （ ）求出各組的頻率，劃痕處頻率分布直方圖，再比較即可， （ ）先求出評分是 80 分以上的人數(shù)，再分別求得評分落在區(qū)間 80， 90）、 90，100上的人數(shù)，即可求得 2 名用戶評分都小于 90 分的概率 【解答】 解：（ ）對于女性用戶，各小組的頻率分別為： 相對應的小長方形的高為 對于男性用戶，各小組的頻率分別為： 相對應的小長方形的高為 直方圖如圖所示： ， 由直方圖可以看出女性用戶比男性用戶評分的波動大 （ ）運用分層抽樣 從男性用戶中抽取 20 名用戶，評分不低于 80 分有 6 人，其中評分小于 90 分的人數(shù)為 4，從 6 人人任取 2 人， 則 80， 90）分數(shù)段抽取 4 人，分別記為 A， B， C， D， 90， 100分數(shù)段抽取 1人，記為 E， M 則基本事件空間包含的基本事件有：（ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， E），（ B，C），（ B， D），（ B， E），（ C， D），（ C， E），（ D， E），（ A， M），（ B， M），（ C，M），（ D， M），（ E， M）共 15 種 2 名用戶評分都小于 90 分的基本事件有：（ A， B），（ A， C），（ A， D），（ B， C），（ B， D），（ C， D）共 6 種 故 2 名用戶評分都小于 90 分的概率 P= = 19 如圖，四棱錐 P 底面 矩形， 底面 P=2， ， E 為棱 中點 （ ）證明： 平面 （ ）求三棱錐 C 接球的體積 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ ）以 A 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明 平面 （ ）三棱錐 C 接球即以 棱的長方體的外接球，由此能求出三棱錐 C 接球的體積 【解答】 證明：（ ）以 A 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系， P（ 0， 0， 2）， D（ 0， 2， 0）， A（ 0， 0， 0）， B（ 2 ， 0， 0）， E（ 0， 1， 1）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2 ， 0， 0）， =（ 0， 1， 1）， =0， =0， ， 平面 解：（ ） 垂直，底面 矩形， 三棱錐 C 接球即以 棱的長方體的外接球， 三棱錐 C 接球的半徑 R= =3， 三棱錐 C 接球的體積 V= = =36 20已知函數(shù) f（ x） = （ 1）過原點 O 作函數(shù) f（ x）圖象的切線，求切點的橫坐標； （ 2）對 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 成立，求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ 1）通過設切點坐標，進而可寫出切線方程，代入原點計算即得結(jié)論； （ 2）通過轉(zhuǎn)化可知 a（ x） x 1， + ）恒成立，分別設 y1=a（ x）， y2=用 x 1， + ）可知 a 0再記 g（ x） =過舉反例可知當 0 a 1 時不滿足題意進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用當 x1 時 x 1 恒成立放縮即得結(jié)論 【解答】 解：（ 1）設切點為 M（ f（ ，直線的切線方程為 y f（ =k（ x f（ x） =a ， k=f（ =a ， 即直線的切線方程為 y a ）（ x 又切線過原點 O，所以 ， 由 ，解得 x0=e，所以切點的橫坐標為 e （ 2） 不等式 a（ 2x 成立， 等價于 a（ x） x 1， + ）恒成立 設 y1=a（ x）， y2=于 x 1， + ），且當 a 0 時 a 0 記 g（ x） = 則當 0 a 1 時， g（ 3） =6a 0 不恒成立，同理 x 取其他值不恒成立 當 x=1 時， g（ x） 0 恒成立； 當 x 1 時，則 a 恒成立，等價于問題轉(zhuǎn)化為求 h（ x） = 當 x 1 時的最大值 又當 x 1 時， x 1 x（ x 1），即 h（ x） = 1（ x 1）， 綜上所述： a 1 21已知橢圓 C： +（ a 1）， 別是其上、下頂點，橢圓 C 的左焦點 以 直徑的圓上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點 不與坐標軸垂直的直線 l 交橢圓 C 于 A， B 兩點，線段 垂直平分線與 x 軸交于點 N，點 N 的橫坐標的取值范圍是（ ， 0），求線段 【考點】 直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標準方程 【分析】 （ ）由橢圓中 別是其上、下頂點，橢圓 C 的左焦點 以直徑的圓上得到 b=c=1，由此能求出橢圓方程 （ ）設直線 l： y=k（ x+1），聯(lián)立 ，得：（ 2） 2=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式、直線方程、弦長公式，能求出線段 的取值范圍 【解答】 解：（ ） 橢圓 C： +（ a 1）， 別是其上、下焦點， 橢圓 C 的左焦點 以 直徑的圓上 b=c=1， a= ， 橢圓方程為 =1 （ ）設直線 l： y=k（ x+1）， 聯(lián)立直線與橢圓方程： ，得：（ 2） 2=0， 設 A（ B（ 則 ， ， 解得 y1+y2=k（ x1+） = ， 點 Q（ ， ）， 線方程為： = （ x+ ） = ， N（ ， 0），由已知得 ， 0 21， | = = ， ， | （ ， 2 ） 從 22、 23 題中任選一題作答 .選修 4標系與參數(shù)方程選講 22已知在平面直角坐標系 ，以坐標原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 極坐標方程為 =4線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)） （ 1）求曲線 直角坐標方程及直線 l 的普通方程； （ 2）若曲線 參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），曲線 點 P 的極角為 ，Q 為曲線 的動點，求 中點 M 到直線 l 距離的最大值 【