學(xué)士學(xué)位論文本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)設(shè)計(jì)(論文)題目:不等式的幾種特殊證明方法指導(dǎo)教師：學(xué)號(hào)：姓名：院（部）專業(yè)屆xxx教務(wù)處制年月日統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2007201122學(xué)士學(xué)位論文xxx學(xué)士學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位論文作者簽名：年月日xxx關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明本人完全了解xxx有關(guān)保留、使用學(xué)士學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留、送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱，學(xué)校可以公布論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文。指導(dǎo)教師簽名：論文作者簽名：年月日年月日學(xué)士學(xué)位論文不等式的幾種特殊的證明方法摘要不等式的證明方法通常涉及到數(shù)學(xué)的各分支領(lǐng)域,其理論性和技巧性一般比較強(qiáng),因此不等式的證明已成為各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱門題型.如何尋求不等式的證明思路是正確求證不等式的關(guān)鍵所在.該文從證明不等式的幾種常見的基本方法和幾種特殊方法出發(fā)，逐層深入,引進(jìn)一些證明不等式的高觀點(diǎn)的方法,并通過(guò)一些具體例子,介紹一些典型的不等式的證明方法與變形技巧，從而靈活地運(yùn)用和掌握基本地解題技巧，同時(shí)也拓寬了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)面和強(qiáng)化了證明不等式的靈活性.以列舉典型例題進(jìn)行逐層深入研究,然后再針對(duì)一些特殊的證明方法進(jìn)性分析證明和應(yīng)用舉例.從而把各類不等式的理論來(lái)源和研究方法展示出來(lái)。關(guān)鍵詞：不等式；證明；方法；技巧SpecialMethodAndSkillInProvingInequalityABSTRACTTheproofmethodofinequalityusuallyinvolvestomathematicsvariousbranchesdomain,itstheoryandskillfularegenerallystronger,thereforeproofoftheinequalityhasbecomethepopulartopicofvariouscompetition.Howtoseektheproofmentalityoftheinequalityoftenisthekeytosolvetheproblem。Thisarticleembarksfromseveralcommonessentialmethodsandseveralspecialmethodsofproofofinequality,whichisthoroughbythelevel,introducessomeproofinequalitiesofthehighviewpointofmethod,andthroughsomeconcreteexamples,introducessomemodelsofwhichtheinequalityproofmethodandthedistortionskill，thereforetoutilizeandtograspbasicallyskillofsolvingtheinequalityproblem,andalsotostudyaspectofmathematicsknowledgeandtostrengthentheproofinequalityofflexibility.Byenumeratesthetypicalexampletocarryonbythelevelthoroughresearch,thenaimsatsomespecialproofmethodenteringanalysestoproveandtoapplyagaingivesanexample.Thusdemonstratedeachkindofinequalitytheoryoriginandtheresearchtechnique.Keywords：Inequality；Proof；Method；Skill學(xué)士學(xué)位論文目錄摘要.1引言.1一、一元函數(shù)微分學(xué)中不等式的證明方法.21.直接利用拉格朗日中值定理證明不等式.22.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.33.利用函數(shù)的最值和極值證明不等式.44.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式.55.泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用.66.利用冪級(jí)數(shù)展開證明不等式.77.利用柯西中值定理證明不等式.7二、有關(guān)積分領(lǐng)域涉及到的不等式證明.81.利用積分性質(zhì)證明不等式.82.利用積分中值定理證明不等式.10參考文獻(xiàn):.11學(xué)士學(xué)位論文引言不等式是數(shù)學(xué)的重要組成部分,他幾乎遍及數(shù)學(xué)的每一個(gè)學(xué)科分支領(lǐng)域，正如D.S.密特利諾維奇在文1解析不等式一書中所說(shuō)的:“今天,不等式在數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域里起著重要的作用,并且提供了一個(gè)非常活躍而又有吸引力的研究領(lǐng)域”.最初由柯西、貝努利兄弟，費(fèi)馬、施瓦茲等著名數(shù)學(xué)家們的提出到今天的日趨完善,經(jīng)歷了一個(gè)極其漫長(zhǎng)和復(fù)雜的過(guò)程,因此不等式在數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域中起著重要的作用.同時(shí)也吸引著眾多數(shù)學(xué)家們的研究興趣，由于它本身具有完美的形式及證明的困難性和方法的多樣性,往往可以考察分析能力和應(yīng)變能力。因此不等式已成為各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱門題型.不等式即為用不等號(hào)(“”,“”，“”)連接起來(lái)的式子.雖然其定義簡(jiǎn)捷明了,但是對(duì)于它的理論研究也逐漸形成一門新的學(xué)科分支,不等已成為一大熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題.本文將主要通過(guò)一些典型的實(shí)例,介紹不等式的其幾種證明方法和變形技巧不等式的證明也是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到的豐富的技術(shù)手法。因此，我們?cè)谧C明不等式時(shí)要充分運(yùn)用函數(shù)的思想和數(shù)形結(jié)合的思想；充分利用微分與積分的知識(shí)來(lái)證明不等式，使一些復(fù)雜的不等式得到更加簡(jiǎn)潔的證明，也使得一些不等式的證明方法多樣化。因此在證明不等式時(shí)關(guān)鍵在于要抓住不等式的特點(diǎn)，從而迅速有效地解決問題.下面我將從微積分所涉及到的幾個(gè)不同方面的不等式來(lái)闡述其特殊的幾種方法微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法和工具，在自然科學(xué)和工程技術(shù)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí)在微積分領(lǐng)域同樣存在著證明不等式的幾種特殊的方法和技巧.xxx學(xué)士學(xué)位論文2一一元函數(shù)微分學(xué)中不等式的證明方法1.直接利用拉格朗日中值定理證明不等式定理1（拉格朗日中值定理）如果函數(shù))(xf滿足(1)在閉區(qū)間ba,上連續(xù)；(2)在開區(qū)間ba,內(nèi)可導(dǎo)；那么在開區(qū)間ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)（ba），使等式)()()(abfafbf.【利用拉格朗日中值定理證明不等式的一般思路】：設(shè))(xf在ba,上連續(xù)，在ba,內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知存在（ab），使得abafbf）（）（=f（）；若可得到右端f（）得適當(dāng)?shù)墓烙?jì)式，就得到了關(guān)于abafbf）（）（的有關(guān)不等式.例1.1證明：當(dāng)0x時(shí)，xxxx)1ln(1證：設(shè))1ln()(xxf，顯然)(xf在區(qū)間x,0滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理，應(yīng)有,0),0)()0()(xxffxf由于11)(,0)0(xxff，因此上式即為1)1ln(xx.又由x0，有xxxx11，即)0.()1ln(1xxxxx.例1.2設(shè)2ebae，證明2224lnlneabab.NO:xxx學(xué)士學(xué)位論文3令,ln)(2xxf在ba,上用拉格朗日中值定理，有abafbf）（）（=abalnbln22=)(f=2ln，其中2ebae.又xxxgln)(在（,e）單調(diào)遞減，故2222ln2)(ln)(eeeegg.所以，結(jié)論得證.說(shuō)明：拉格朗日中值定理將函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值連接在一起。這里沒有給出的確切位置，而對(duì)于不等式而言，也不需要，不必精確。因此可利用中值定理證明，關(guān)鍵是選擇)(xf及區(qū)間ba,.2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【解題思路】設(shè))(xf在ba,單調(diào)增加，若,0)(af則,0)(xf當(dāng)bxa時(shí)成立。)(xf是單調(diào)減函數(shù)時(shí)也有類似的結(jié)論，他們是證明不等式重要的根據(jù).例2.1求證：當(dāng)0x時(shí)，22)1(ln)1(xxx.證明：令)1(ln)1()(22xxxxf，則)1ln(2)1(ln2)(2xxxxf，xxxxf1)1ln(2)(因012x，所以)(xf與)1ln(xx同號(hào)。由于)1ln()(xxxG滿足01)(,0)0(xxxGG，可見,0)(xG于是.0)(xf由此可得)(xf在0x單調(diào)增加，又,0)0(f于是.0)(xf所以)(xf在0x單調(diào)增加，又,0)0(f故0)(xf當(dāng)0x時(shí)成立，即)1(ln)1(22xxx，（任意0x）.xxx學(xué)士學(xué)位論文43.利用函數(shù)的最值和極值證明不等式極值與最大，最小值的求法(1)極值求法:(a)求出可疑點(diǎn)，即穩(wěn)定點(diǎn)與不可導(dǎo)的連續(xù)點(diǎn).(b)按極值充分條件判定可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn).(2）最大，最小值的求法：(a)閉區(qū)間ba,上連續(xù)函數(shù)的最大最小值的求法:先求出可疑點(diǎn)，再將可疑點(diǎn)處的函數(shù)值與端點(diǎn)a，b處的函數(shù)值比較，最大者為最大值，最小者為最小值.(b)開區(qū)間ba,內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最大值，最小值的求法：若)(xf在ba,內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn)，則此極值點(diǎn)即為最大值或最小值.【解題思路】若)(xf在區(qū)間I上達(dá)到最大值M，則Mxf)(x屬于區(qū)間I)，若)(xf在區(qū)間I上達(dá)到最小值m，則Mxfm)(x屬于區(qū)間I)例3.1求證：當(dāng)0x時(shí)，),1.(01)1(1Nnnxnnxnn本題應(yīng)用函數(shù)的極值、最值來(lái)證明證明令1)1()(1nnxnnxxf則)1()1()1()1()(212xxnnxnnxnnxfnnn.令0)(xf得駐點(diǎn)：1x。（0x因?yàn)槭嵌它c(diǎn)，所以不是駐點(diǎn)）且當(dāng)1x時(shí)0)(xf，當(dāng)1x時(shí)0)1(,0)(fxf是極大值也是最大值，所以0)1()(fxf即當(dāng)0x時(shí)，.01)1(1nnxnnx例3.2證明：若1p，則對(duì)于0,1中的任意x有：121)1(1pppxx分析：設(shè)輔助函數(shù))(xfxppx)1()10(x，若設(shè))(xg=121p，)10(0)1(211)0()0()0(1xFgfFp，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證明.不難看到不等式兩端都是常數(shù)形式，因而可想到用最值方法試之.xxx學(xué)士學(xué)位論文5證明：設(shè)函數(shù))10()1()(xxxxfpp。有pxxf)(1111)1()1(ppppxxpxp令0)(xf，得唯一駐點(diǎn)x=21，從而，)1()21(ppf（21）22)21)(1(pppp)1(2pp（21）.1,02pp所以，x=21極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，最小值為f（21）=121p，兩邊界為1)1()0(ff.所以121)1(1pppxx.說(shuō)明：當(dāng)題設(shè)滿足一下條件時(shí)宜用該方法：（a）所設(shè)函數(shù)f（x）在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時(shí)；（b）只能證不嚴(yán)格的不等式而不能證明嚴(yán)格的不等式.4.利用