學(xué)科教育論文-淺論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的能力問(wèn)題摘要:能力問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)是十分重要的,在具體的數(shù)學(xué)實(shí)踐過(guò)程中,要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng),本文從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的強(qiáng)與弱入手,從如何減輕數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“疲勞”出發(fā),試圖做出一些有益的探討。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)；能力；疲勞數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生,他們的典型特點(diǎn)是:在數(shù)學(xué)課上很少出現(xiàn)疲勞現(xiàn)象,即使課時(shí)較長(zhǎng),也不致于引起明顯的疲勞,只是在上課的最后階段,才看到他們有些疲勞跡象,比如說(shuō)出現(xiàn)錯(cuò)誤,記憶減弱。可以設(shè)想,這些學(xué)生之所以很少疲勞是因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)他們來(lái)說(shuō)本來(lái)就是容易的,并且是一種有意思的活動(dòng),但是事實(shí)并不是這樣。當(dāng)我們反復(fù)給他們上數(shù)學(xué)課時(shí),直到學(xué)生力所能及的最高限,他們緊張地勞動(dòng)著,但不像緊張度差不多的其他課時(shí)那么疲勞。這是能力強(qiáng)的學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的一個(gè)非常顯著的特點(diǎn)。他們長(zhǎng)時(shí)間的從事計(jì)算時(shí),顯然不像我們所設(shè)想的那么容易疲勞。相反,數(shù)學(xué)能力差的學(xué)生,他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)比學(xué)習(xí)其他科目更容易表現(xiàn)出疲勞現(xiàn)象,這可能是因?yàn)樗麄儧](méi)有興趣或感到困難。學(xué)生和老師都提到過(guò)這一點(diǎn),我們自己的觀察也證明了這一點(diǎn)。能力差的學(xué)生在數(shù)學(xué)課上不認(rèn)真學(xué)習(xí)或思想開(kāi)小差(這是常見(jiàn)的現(xiàn)象)的時(shí)候,并不感到疲勞。如果他們專心學(xué)習(xí),就會(huì)比別的學(xué)生更容易疲勞,因?yàn)樵跀?shù)學(xué)領(lǐng)域里建立聯(lián)系,對(duì)他們來(lái)說(shuō)永遠(yuǎn)是一種緊張的工作。那些能力強(qiáng)的學(xué)生能用三四個(gè)小時(shí)解答需要極大努力才能完成的復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題而不感到疲勞(某些人甚至在解答問(wèn)題的末尾要比開(kāi)始解答時(shí)更好一些)。有的學(xué)生甚至提到:“最好的休息是認(rèn)真做數(shù)學(xué)?！标P(guān)于數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的同學(xué)不容易出現(xiàn)疲勞的問(wèn)題,也可以從下述事實(shí)得到說(shuō)明:能力強(qiáng)的學(xué)生在數(shù)學(xué)課上“加油”之后,還能很好的學(xué)習(xí)其他的一些課程。而能力比較一般的學(xué)生,在上過(guò)數(shù)學(xué)課后再學(xué)習(xí)新材料(上其他課時(shí))效率要比平常低一些。能力強(qiáng)的學(xué)生能解答許多的物理和數(shù)學(xué)問(wèn)題,而一點(diǎn)也不感到疲勞。有人做了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn),想從實(shí)驗(yàn)中證明能力強(qiáng)的學(xué)生在長(zhǎng)時(shí)間緊張的數(shù)學(xué)作業(yè)中的低疲勞程度,并嘗試用數(shù)量來(lái)表示數(shù)學(xué)能力不同的水平的學(xué)生,在這些條件下疲勞的累積狀況。他把用計(jì)算尺計(jì)算的速度作為疲勞程度的指標(biāo),他所考慮的這些學(xué)生在這以前都已經(jīng)掌握了用計(jì)算尺來(lái)計(jì)算的方法。先計(jì)量了每個(gè)人的計(jì)算速度,就每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)是穩(wěn)定的。這就提供了一個(gè)基礎(chǔ)。由此可以認(rèn)為這種穩(wěn)定的個(gè)人速度的較大幅度的偏離是由于疲勞(被控制的因素)引起的。每個(gè)被試的學(xué)生都學(xué)習(xí)2-3小時(shí)的數(shù)學(xué)(為排除題目的相對(duì)難度的影響,讓每個(gè)被試的學(xué)生根據(jù)自己的潛力做不同的作業(yè)如果每個(gè)人都做同樣的作業(yè),就會(huì)使有的人太難而另一些人則覺(jué)得太容易)。在緊張的數(shù)學(xué)課前和課后,對(duì)每一個(gè)被試的計(jì)算速度都進(jìn)行了測(cè)定,有關(guān)人士經(jīng)過(guò)比較得出了這樣的結(jié)論:(1)緊張的數(shù)學(xué)課后,能力強(qiáng)的學(xué)生的計(jì)算速度沒(méi)有明顯的降低。在其他活動(dòng)方面,沒(méi)有觀察到這種情況。同是,這些學(xué)生在緊張的歷史課或文學(xué)課后其計(jì)算速度就明顯的降低了。(2)能力一般的學(xué)生,在緊張的數(shù)學(xué)課后,計(jì)算速度便降低了一半,并出現(xiàn)了大量的計(jì)算上的失誤。這一結(jié)果得到教師的進(jìn)一步證明:在實(shí)驗(yàn)課后的下一節(jié)課上,能力強(qiáng)的學(xué)生沒(méi)有任何疲勞的跡象,但能力比較一般的學(xué)生,一上課就開(kāi)始表現(xiàn)出明顯的疲勞現(xiàn)象。能力強(qiáng)的學(xué)生在數(shù)學(xué)課上的低疲勞現(xiàn)象(同他們感到有興趣的其他活動(dòng)形式相比)是否可以認(rèn)為是,由于一個(gè)人的神經(jīng)系統(tǒng)的“局部”特性(特別是神經(jīng)系統(tǒng)的強(qiáng)度)和他所從事的這一活動(dòng)的性質(zhì)是相符的。那么怎么使學(xué)生在上數(shù)學(xué)課時(shí)減少出現(xiàn)地疲勞的現(xiàn)象呢?第一、加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題的最初感知感。在學(xué)生一眼看到數(shù)學(xué)題時(shí),要清楚地區(qū)分出問(wèn)題結(jié)構(gòu)中的三種不同性質(zhì)的成分:第一種成分是標(biāo)志這種特定問(wèn)題的綜合性特征,這種特征存在于數(shù)學(xué)的函數(shù)關(guān)系之中,并且已經(jīng)“擺脫”了具體的內(nèi)容,表現(xiàn)為一定的數(shù)學(xué)關(guān)系。數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生一下就能抓住“問(wèn)題中具有數(shù)學(xué)基本意義的那些關(guān)系”。第二種成分是對(duì)于這類問(wèn)題是非本質(zhì)的,但對(duì)于這個(gè)具體的變式是本質(zhì)的那些數(shù)量。第三種成分是對(duì)于解答這個(gè)具體問(wèn)題不必要的、多余的、無(wú)關(guān)緊要的那些數(shù)量。第二、加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的概括能力。我們要求的不是一般的概括能力,而是討論在數(shù)字和字母符號(hào)領(lǐng)域中的概括能力。也就是說(shuō),討論的是概括數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力。這是一種獨(dú)特的概括化的能力(因?yàn)閿?shù)學(xué)符號(hào)和抽象的數(shù)字就是概括化的結(jié)果)。因此,根據(jù)我們的研究,得出“概括思維是數(shù)學(xué)家所特有的”結(jié)論,這是不正確的。但是,在數(shù)字和字母符號(hào)、數(shù)量與空間關(guān)系、數(shù)學(xué)對(duì)象和運(yùn)算的領(lǐng)域中的概括思維,這確實(shí)是“數(shù)學(xué)家的特權(quán)”。所以我們必須加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力。第三、加強(qiáng)學(xué)生保持信息的特點(diǎn)。能力強(qiáng)的學(xué)生的數(shù)學(xué)記憶是概括性的和有效性的,這同他能在數(shù)與文字符號(hào)領(lǐng)域里保持與盡可能快地實(shí)現(xiàn)概括化的心理型式和一般化的關(guān)系有關(guān),換言之,數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生的記憶,顯然是有選擇的:他們保持的并非是進(jìn)入頭腦中的全部信息,而首先是那些“精煉化了的”具體材料和概括與壓縮了的結(jié)構(gòu)。這是保持?jǐn)?shù)學(xué)信息的最適宜和最經(jīng)濟(jì)的方法。以概括與簡(jiǎn)練的形式保持信息,才不致于使頭腦負(fù)荷多余信息,從而才能使信息保持得更久,運(yùn)用起來(lái)也更容易。但是我們強(qiáng)調(diào)指出,這絕不能說(shuō),能力差的學(xué)生一般的記憶力都不好,更不是說(shuō),他們對(duì)概括性材料的記憶都差。正如我們研究發(fā)現(xiàn)的那樣,他們中有許多人在其他學(xué)科上的進(jìn)展是令人滿意的,甚至是優(yōu)秀的,他們不僅能回憶具體的材料,也能很好的回憶一些思想觀念推理的模式和概括性的材料與結(jié)論。只是在數(shù)學(xué)材料的記憶上有所欠缺,所以數(shù)學(xué)上的成功完全不是以機(jī)械的記憶大量的事實(shí)、數(shù)字、數(shù)目和公式為基礎(chǔ)的,也不需要把一個(gè)定理的全部證明都保持在記憶里,他們需要記住的只是最初與最后的那一點(diǎn)和關(guān)于證明的想法。第四、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感。眾所周知,對(duì)各種問(wèn)題、作業(yè)(包括數(shù)學(xué)問(wèn)題)的解答,并不總是在思路清楚的狀況下和嚴(yán)格的思維順序中做出來(lái)的,在解決問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程中,經(jīng)過(guò)失敗和無(wú)效的解答之后,會(huì)突然出現(xiàn)靈感,也就是在頭腦中出現(xiàn)一種似乎是偶然的、莫名其妙的想法,他們也說(shuō)不清這種突然獲得的答案是怎么來(lái)的。好像靈感是一種突如其來(lái)的和沒(méi)有根據(jù)的東西,但事實(shí)并非如此,原因如下:1、突然猜測(cè)或靈感的基礎(chǔ)通常需要概括,即無(wú)意識(shí)的應(yīng)用一般的計(jì)算方法或解題方法的一般原則。2、許多突然發(fā)生的靈感和猜測(cè)的事實(shí),盡管表面上看來(lái)難以預(yù)料,卻可以用縮短了結(jié)構(gòu)的思維、傾向以及大量的、縮短了的聯(lián)想來(lái)加以解釋,這對(duì)數(shù)學(xué)上有能力的學(xué)生是非常自然的事情,當(dāng)推理被簡(jiǎn)縮而且一連串的中間環(huán)節(jié)被省掉時(shí),就難以看出他的思路,從而就顯得一個(gè)觀念到另一個(gè)觀念的轉(zhuǎn)變似乎沒(méi)有什么邏輯關(guān)系,好像是無(wú)緣無(wú)故的,它的出現(xiàn)出乎意料,又無(wú)法解釋。如上所述,揭示頓悟的本質(zhì)不是我們的任務(wù),我們只是想說(shuō)明,能力強(qiáng)的學(xué)生在解答過(guò)程中,出現(xiàn)的許多突然地和許多不能解釋的靈感可以用過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的、無(wú)意識(shí)的影響來(lái)解釋。而作為這類實(shí)踐基礎(chǔ)的是在數(shù)學(xué)對(duì)象、關(guān)系和運(yùn)算范圍內(nèi)的概括能力,以及用