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,曲率及其曲率半徑的計算,一、弧微分,二、曲率及其計算公式,三、曲率圓與曲率半徑,有向弧段的值、,弧微分公式,曲率、,曲率的計算公式,曲率圓曲率半徑,一、弧微分,s 的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段的方向與曲線的 正向一致時s0，相反時s0,s0,s0,顯然，弧 s 是 x 的函數：ss(x)，而且s(x)是x的單調增加函 數,設x ， x+ Dx 為(a，b)內兩個鄰近的點，它們在曲線 yf(x)上的對應點為M，M，并設對應于x的增量Dx ，弧 s 的增 量為Ds，于是,下面來求s(x)的導數及微分,1，,因為,因此,由于ss(x)是單調增加函數，從而,于是 ds ,這就是弧微分公式,觀察曲線的彎曲線程度與切線的關系：,二、曲率及其計算公式,可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均 彎曲程度，,例1 計算等雙曲線x y 1在點(1，1)處的曲率,解,因此，y|x11，y|x12,曲線x y 1在點(1，1)處的曲率為,例2 拋物線yax2bxc 上哪一點處的曲率最大？,解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，,代入曲率公式，得,要使K 最大，只須2axb0，,拋物線的頂點因此，拋物線在頂點處的曲率最大，最大曲率為 K|2a| ,對應的點為,2若曲線由參數方程,給出，那么曲率如何計算？,1直線上任一點的曲率等于什么？,討論：,提示：設直線方程為y=ax+b，則y =a， y = 0于是,提示：,曲線在點M處的曲率K(K 0)與曲線在點M處的曲率半徑 r 有如下關系：,曲線在M點的曲率中心,三、曲率圓與曲率半徑,M,y=f(x),D,r,曲線在M點的曲率半徑,曲線在M點的曲率圓,例3 設工件表面的截線為拋物線y04x 2現在要用砂輪 磨削其內表面問用直徑多大的砂輪才比較合適？,解 砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑,例3 設工件表面的截線為拋物線y04x 2現在要用砂輪 磨削其內表面問用直徑多大的砂輪才比較合適？,y08x ，y08， y|x00，y|x008,拋物線頂點處的曲率半徑為,所以選用

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