隨機變量及其概率分布,第二章,離散型隨機變量及其分布律,正態(tài)分布,連續(xù)型隨機變量及其分布律,隨機變量函數(shù)的分布,在前面的學(xué)習(xí)中,我們用字母A、B、C.表 示事件，并視之為樣本空間的子集；針對等 可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事 件的概率。 本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便 采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機現(xiàn)象。,隨機變量及其分布,Random Variable and Distribution,隨機變量,基本思想,將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果,有些隨機試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示.,例如: 在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示,例如: 擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的,可規(guī)定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”,Random Variable,有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示， 但可數(shù)量化,例 設(shè)箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白 球；從中任意抽取2個,觀察抽球結(jié)果。,取球結(jié)果為: 兩個白球;兩個紅球;一紅一白,特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了 對應(yīng)關(guān)系,如果用X表示取得的紅球數(shù)，則X的取值可為0，1，2。 此時， “兩只紅球”= “X取到值2”, 可記為 X=2 “一紅一白”記為 X=1, “兩只白球”記為 X=0,試驗結(jié)果的數(shù)量化,隨機變量的定義,1) 它是一個變量 2) 它的取值隨試驗結(jié)果而改變 3）隨機變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個 隨機事件,隨機變量,隨機變量的兩個特征:,設(shè)隨機試驗的樣本空間為，如果對于每一 個樣本點 ，均有唯一的實數(shù) 與 之對應(yīng)，稱 為樣本空間上 的隨機變量。,某個燈泡的使用壽命X。 某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)Y. 在0，1區(qū)間上隨機取點，該點的坐標(biāo)X.,X 的可能取值為 0,+),Y 的可能取值為 0，1，2，3，.,X 的可能取值為 0，1上的全體實數(shù)。,例,隨機變量的實例,用隨機變量表示事件,若X是隨機試驗E的一個隨機變量，SR，那么 XS可表示E中的事件,如在擲骰子試驗中，用X表示出現(xiàn)的點數(shù),則 “出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為： X=2 X=4 X=6 “出現(xiàn)的點數(shù)小于”可表示為：X 4或X3,E中的事件通常都可以用X的不同取值來表示.,隨機變量的類型,離散型,非離散型,隨機變量的所有取值是有限個或可列個,隨即變量的取值有無窮多個，且不可列,其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型,離散隨機變量的概率分布,稱此式為X的分布律（列）或概率分布（Probability distribution),設(shè)離散型隨機變量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率為,即,例 設(shè)X的分布律為,求 P(0X2),P(0X2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3,分布律確定概率,解,=P(抽得的兩件全為次品),求分布律舉例,例1 設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數(shù)，求隨機變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值為 0，1，2,=P(抽得的兩件全為正品),PX=1,PX=2,=P(只有一件為次品),PX=0,故 X的分布律為,而“至少抽得一件次品”=X1,= X=1X=2,PX1= PX=1+PX=2,注意：X=1與X=2是互不相容的！,實際上，這仍是古典概型的計算題，只是表達事件的方式變了,故,從一批次品率為p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)X的分布律。,解 記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3, 則 Ai , i=1,2,3, 是相互獨立的！ 且,X的所有可能取值為 1，2，3， ,k,P(X=k)=,(1-p)k-1p ,k=1,2,( X=k )對應(yīng)著事件,例,設(shè)隨機變量X的分布律為,試確定常數(shù)b.,解,由分布律的性質(zhì),有,例,幾種常見的離散型分布,0-1分布(二點分布 ),則稱X服從參數(shù)為p 的二點分布或(0-1)分布,背景：樣本空間只有兩個樣本點的情況 都可以用兩點分布來 描述。,如：上拋一枚硬幣。,定義： 若隨機變量X的分布律為:,例,設(shè)一個袋中裝有3個紅球和7個白球，現(xiàn)在從中 隨機抽取一球，如果每個球抽取的機會相等， 并且用數(shù)“1”代表取得紅球，“0”代表取得 白球，則隨機抽取一球所得的值是一個離散型 隨機變量,其概率分布為,即X服從兩點分布。,其中0 p 1, 則稱X服從參數(shù)為 n, p 的二項分布(也稱Bernoulli 分布）,記為,XB( n, p),二項分布,Binomial distribution,在n重貝努利試驗中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù), 則X可能的取值為0,1,2,3,n.,隨機變量X的分布律,從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.,有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實驗,記X為共抽到的次品數(shù)，則,A=“一次實驗中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5 p=1/4,例,解,例,一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后, 求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。,解,XB（10, 0.9）,(1) P(X=8)=,P(X=8)+P(X=9)+P(X=10),泊松分布 Poisson distribution,若隨機變量 X 的分布律為:,其中 0, 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,XP(),定義,服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X； 交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y; 礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù); 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目； 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目,體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。,實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從 Poisson分布的,例,解,泊松定理,實際應(yīng)用中：當(dāng)n較大,p較小，np適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式,二項分布的泊松近似,The Poisson Approximation to the Binomial Distribution,若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次， 則至少成功一次的概率為,成功次數(shù)服從二項概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力,隨機變量的分布函數(shù),設(shè)X為一隨機變量,則對任意實數(shù)x，(Xx)是一個隨機事件，稱,為隨機變量X的分布函數(shù),F(x)是一個普通的函數(shù)！,Distribution Function,分布函數(shù)的定義,引進分布函數(shù)F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函數(shù)值來表示。,分布函數(shù)表示事件的概率,P（Xb）=F(b),P（aXb）=F(b) F(a),P（Xb）=1 P（Xb）=1 - F(b),P（aXb）=P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a),例,已知 X 的分布律為,求X的分布函數(shù)， 并畫出它的圖形。,分布函數(shù)的性質(zhì),F(x)是單調(diào)不減函數(shù),0 F(x) 1, 且,F(x)處處左連續(xù),分布函數(shù) F(x)的圖形,F(x)是單調(diào)不減函數(shù),問一問,是不是某一隨機變量的分布函數(shù)？,不是,因為,概率密度函數(shù),定義,設(shè)X為一隨機變量，若存在非負(fù)實函數(shù) f (x) , 使對任意實數(shù) a b ，有,則稱X為連續(xù)型隨機變量， f (x) 稱為X 的概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度函數(shù).,Probability density function p.d.f.,分布函數(shù),密度函數(shù)在區(qū)間上的積分 = 隨機變量在區(qū)間上取值的概率,概率密度函數(shù)的性質(zhì),非負(fù)性,規(guī)范性,密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系,積分關(guān)系,導(dǎo)數(shù)關(guān)系,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)處處連續(xù),P(X=a)=0,P(a X b)= P(aXb)=P(a X b)=P(aXb),X取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上的定積分,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的性質(zhì),因此，連續(xù)型隨機變量取任意指定實數(shù)值a的概率為0,解 Step1: 利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出 a,例：已知密度函數(shù)求概率,Step2: 密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率,例：已知分布函數(shù)求密度函數(shù),（2)X 的密度函數(shù),（2）密度函數(shù)為,解,解,當(dāng) x 1 時,當(dāng)1 x 5 時,例：已知密度函數(shù)求分布函數(shù),已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,求 X 的分布函數(shù),當(dāng) x5 時,所以,練一練,已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,（2） 求 X 的分布函數(shù),練一練,（2)求X 的密度函數(shù),均勻分布,若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,則稱X在區(qū)間 （a，b）上服從均勻分布記為 X U (a, b),Uniform Distribution,定義,分布函數(shù),X“等可能”地取區(qū)間（a,b）中的值，這里的“等可能”理解為：X落在區(qū)間（a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的?；蛘哒f它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。,意義,102電車每5分鐘發(fā)一班，在任一時刻 某一乘客到了車站。求乘客候車時間不超過2分鐘的概率。,設(shè)隨機變量X為候車時間，則