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文檔簡介

一.無窮小階的比較,二.等價(jià)無窮小替換原理,2.6 無窮小階的比較,一.無窮小階的比較,雖然無窮小量都是趨于零的變量，但是不同的無窮小量 趨于零的速度卻不一定相同. 為了反映不同的無窮小趨于零 的快慢程度，我們引入無窮小的階的比較.,定義2.6.1 設(shè) ，是在自變量同一變化過程中的兩個(gè)無,窮小，且 0，則,(1) 如果 ,則稱 是 的高階無窮小, 記做,(2)如果 , 則稱 是 的低階無窮小.,(3) 如果 , 則稱 與 是同階無窮小.,特別地, 當(dāng)c = 1時(shí), 則稱 是 的等價(jià)無窮小, 記做,(4) 如果 則稱 是 的k階無窮小.,例1,所以, 當(dāng)x0時(shí), 與 是同階無窮小.,例2,所以當(dāng) x0時(shí), 是x的高階無窮??； x是 的低階無,窮小；sin x 與 x 是等階無窮小.,所以當(dāng) x0時(shí), ln(1+x) x.,又,所以當(dāng) x0時(shí),例3,二. 等價(jià)無窮小替換原理,證明 必要性,設(shè),因此,充分性,定理2.6.1 與 是等價(jià)無窮小的充分必要條件為,則,定理2.6.2 (等價(jià)替換原理) 設(shè) 為同一極限過,證明,根據(jù)極限運(yùn)算法則,1. sin x x ; 2. tan x x ;,5. arctan x x ;,3. ln(1+x) x ; 4. arcsin x x ;,請記住以下幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小量:,注 由此定理可知,求兩個(gè)無窮小量商的極限時(shí), 如果分子,來代換原來的分子和 分母, 使得計(jì)算簡化.,分母的等價(jià)無窮小量存在, 則就可用它們各自的等價(jià)無窮小量,例4 求,解,解,所以,例5 求,運(yùn)用等價(jià)無窮小的代換, 有,例6 求,解,例7 求,解,注 使用無窮小量的等價(jià)替換, 是求解函數(shù)的極限的常用,方法. 在求乘除運(yùn)算的

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