統(tǒng)計學(xué),毛春元 主講,3-2,第三章 數(shù)據(jù)分布特征的描述,第一節(jié) 統(tǒng)計變量集中趨勢的測定 第二節(jié) 統(tǒng)計變量離散程度的測定 第三節(jié) 變量分布的偏度與峰度,3-3,第一節(jié) 統(tǒng)計變量集中趨勢的測定,一、測定集中趨勢的指標(biāo)及其作用 二、數(shù)值平均數(shù) 三、眾數(shù)與中位數(shù),3-4,一、測定集中趨勢的指標(biāo)及其作用,集中趨勢(Central tendency) 較大和較小的觀測值出現(xiàn)的頻率比較低，大多數(shù)觀測值密集分布在中心附近，使得全部數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出向中心聚集或靠攏的態(tài)勢。,測度集中趨勢的指標(biāo)有兩大類： 數(shù)值平均數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計算得到的代表值，主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)及幾何平均數(shù)； 位置代表值根據(jù)數(shù)據(jù)所處位置直接觀察來確定的代表值，主要有眾數(shù)和中位數(shù)。,3-5,測定集中趨勢指標(biāo)的作用,1反映變量分布的集中趨勢和一般水平。 如用平均工資了解職工工資分布的中心，反映職工工資的一般水平。 2可用來比較同一現(xiàn)象在不同空間或不同階段的發(fā)展水平。 不受總體規(guī)模大小的影響， 在一定程度上使偶然因素的影響相互抵消。 3可用來分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。 如研究勞動者的文化程度與收入的關(guān)系 4平均指標(biāo)也是統(tǒng)計推斷中的一個重要統(tǒng)計量，是進(jìn)行統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。,3-6,二、數(shù)值平均數(shù),（一）算術(shù)平均數(shù)（均值） 一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的項數(shù)所得的結(jié)果; 最常用的數(shù)值平均數(shù)。 1簡單算術(shù)平均數(shù) 把每項數(shù)據(jù)直接加總后除以它們的項數(shù)。 通常用于對未分組的數(shù)據(jù)計算算術(shù)平均數(shù)。 計算公式：,3-7,例 3-1,解：采用簡單算術(shù)平均法計算，即全體隊員的平均年齡為（單位：周歲）：,若采用簡單平均：,分組數(shù)據(jù)不能簡單平均 ！因?yàn)楦鹘M變量值的次數(shù)不等！,3-8,2加權(quán)算術(shù)平均數(shù),加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算公式：,正確的計算是：,加權(quán)為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對各個變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（fi ）.,3-9,權(quán)數(shù)（fi ，也稱權(quán)重）,權(quán)數(shù)指在計算總體平均數(shù)或綜合水平的過程中對各個數(shù)據(jù)起著權(quán)衡輕重作用的變量。 可以是絕對數(shù)形式，也可以是比重形式（如頻率）來表示。 事實(shí)上比重權(quán)數(shù)更能夠直接表明權(quán)數(shù)的權(quán)衡輕重作用的實(shí)質(zhì)。 當(dāng)權(quán)數(shù)完全相等（f1 =f2 = fn）時，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就成了簡單算術(shù)平均數(shù)。,3-10,3由組距數(shù)列計算算術(shù)平均數(shù),要點(diǎn)： 各組變量值用組中值來代表。 假定條件是各組內(nèi)數(shù)據(jù)呈均勻分布或?qū)ΨQ分布。 計算結(jié)果是近似值 .,解：平均使用壽命為：,3-11,4對相對數(shù)求算術(shù)平均數(shù),由于各個相對數(shù)的對比基礎(chǔ)不同，采用簡單算術(shù)平均通常不合理，需要加權(quán)。,權(quán)數(shù)的選擇必須符合該相對數(shù)本身的計算公式。 權(quán)數(shù)通常為該相對數(shù)的分母指標(biāo)。,3-12,5算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì),（1）算術(shù)平均數(shù)與變量值個數(shù)的乘積等于各個變量值的總和。,（2）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之總和等于零。,（3）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之總和為最小。,3-13,（二）調(diào)和平均數(shù)（Harmonic mean）,調(diào)和平均數(shù)也稱為倒數(shù)平均數(shù)。 各變量值的倒數(shù)（1/xi）的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù). 其計算公式為：,3-14,（續(xù)）,社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形， 已知各組變量值 xi 和（xi fi）而缺乏 fi 時，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)通?？勺冃螢檎{(diào)和平均數(shù)形式來計算。 【例3-4】解：,3-15,（三）幾何平均數(shù)（Geometric mean）,幾何平均數(shù) n個變量值連乘積的n次方根。 簡單幾何平均數(shù),加權(quán)幾何平均數(shù),適用于各個變量值之間存在連乘積關(guān)系的場合。 主要用于計算現(xiàn)象的平均發(fā)展速度， 也適用于對某些具有環(huán)比性質(zhì)的比率求平均.,3-16,【例3-5】,某企業(yè)產(chǎn)品的加工要順次經(jīng)過前后銜接的五道工序。本月該企業(yè)各加工工序的合格率分別為88、85、90、92、96，試求這五道工序的平均合格率。 解：本例中各工序的合格率具有環(huán)比的性質(zhì)，企業(yè)產(chǎn)品的總合格率等于各工序合格率之連乘積。所以，所求的平均合格率應(yīng)為：,例：某筆投資的年利率是按復(fù)利計算的。25年的年利率分配是：1年為3%，4年為4%，8年為8%，10年為10%，2年為15%。求平均年利率？ 解： 問：如果是按單利計算呢？,3-18,三、眾數(shù)與中位數(shù),（一）眾數(shù)（Mode） 眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多、頻率最高的變量值，常用 M0 表示。 如表3-2中年齡的眾數(shù)值MO25。 眾數(shù)代表的是最常見、最普遍的狀況，是對現(xiàn)象集中趨勢的度量。 可用來測度定性變量的集中趨勢； 銷售量最大的產(chǎn)品顏色是“白色”，則有M0“白色” 可以度量定量變量的集中趨勢。 從分布曲線的角度看，眾數(shù)就是變量分布曲線的最高峰所對應(yīng)的變量值。,3-19,組距數(shù)列中眾數(shù)的確定,先找到眾數(shù)組。 在等距數(shù)列中，眾數(shù)組就是次數(shù)最多的組； 在異距數(shù)列中，眾數(shù)組應(yīng)是頻數(shù)密度最大的組。 根據(jù)眾數(shù)組與其相鄰兩組的次數(shù)差來推算。 其近似公式為：,下限公式：,上限公式：,3-21,（二）中位數(shù)（Median）,中位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排列后位置居中的數(shù)值。,由未分組數(shù)據(jù)計算中位數(shù) 若數(shù)據(jù)項數(shù)是奇數(shù)，則正好位于中間的數(shù)值就是中位數(shù)； 如5人收入為: 1200,1450,1500,1600,2000元，則收入的中位數(shù) Me =1500。 若數(shù)據(jù)項數(shù)是偶數(shù)，則取居中兩個數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù). 如6人收入為: 1200,1450,1500,1600, 1800,2000元，則收入的中位數(shù) Me =1550。,3-22,由組距數(shù)據(jù)計算中位數(shù),先確定中位數(shù)組，即中間位置（用f/2來計算）所在的組。 假定中位數(shù)組內(nèi)次數(shù)均勻分布（次數(shù)與變量值的區(qū)間大小成比例），近似推算中位數(shù)的值。 計算公式為：,下限公式：,上限公式：,例：某地區(qū)某年農(nóng)民年收入的分布數(shù)列：,解：眾數(shù)所在組是700800，代入公式： 討論：1）眾數(shù)組的次數(shù)與相鄰組的次數(shù)相等，則Mo=？ 2）眾數(shù)組下限前一組次數(shù)小于上限，則Mo偏向上限還是下限？相反又如何？,2）中位數(shù)的位置為3000/2=1500，240+480+1050正好大于1500，中位數(shù)所在組是第三組,3-26,四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù),四分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/4位置上的數(shù)值。 十分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/10位置上的數(shù)值。 百分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/100位置上的數(shù)值。 中位數(shù)也就是第二個四分位數(shù)、第五個十分位數(shù)、第五十個百分位數(shù)。 分位數(shù)與其它指標(biāo)結(jié)合，可以更詳細(xì)地反映數(shù)據(jù)的分布特征。,3-27,箱線圖（boxplot）,箱線圖由一組數(shù)據(jù)的最小值（xmin）、第一四分位數(shù)(Q1)、中位數(shù)(Me)、第三四分位數(shù)(Q3)、最大值（xmax）等五個數(shù)值來繪成。 利用箱線圖可以觀察數(shù)據(jù)分布的范圍、中心位置和對稱性等特征，還可以進(jìn)行多組數(shù)據(jù)分布的比較。,3-28,（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的比較,1.算術(shù)平均數(shù)綜合反映了全部數(shù)據(jù)的信息，眾數(shù)和中位數(shù)由數(shù)據(jù)分布的特定位置所確定。 2.算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在而且具有惟一性，但計算和應(yīng)用眾數(shù)有兩個前提條件： （1）數(shù)據(jù)項數(shù)眾多； （2）數(shù)據(jù)具有明顯的集中趨勢。 3.算術(shù)平均數(shù)只能用于定量（數(shù)值型）數(shù)據(jù)，中位數(shù)適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)，眾數(shù)適用于所有形式（類型、計量層次）的數(shù)據(jù),3-29,（續(xù)）,4.算術(shù)平均數(shù)要受數(shù)據(jù)中極端值的影響。而眾數(shù)和中位數(shù)都不受極端值的影響。 為了排除極端值的干擾，可計算切尾均值，即去掉數(shù)據(jù)中最大和最小的若干項數(shù)值后計算的均值. 切尾均值是將均值與中位數(shù)取長補(bǔ)短的結(jié)果。 5. 算術(shù)平均數(shù)可以推算總體的有關(guān)總量指標(biāo)，而中位數(shù)和眾數(shù)則不宜用作此類推算。,3-30,算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的數(shù)量關(guān)系,在對稱分布中，三者相等.即： 均值 = Me =Mo；,在左偏分布中，一般有： 均值MeMo,在右偏分布中，一般有：Mo Me 均值。,皮爾生經(jīng)驗(yàn)公式：在輕微偏態(tài)時，三者的近似關(guān)系：,3-31,第二節(jié) 統(tǒng)計變量離散程度的測定,一、測定離散程度的指標(biāo)及其作用 二、極差、四分位差和平均差 三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 四、離散系數(shù) 五、異眾比率,3-32,一則笑話,如果你一只腳放在攝氏 1 度的水里，另一只腳放在攝氏 79 度的水里，平均水溫 40 度，你一定感覺很舒服 ？ 顯然，只了解變量的集中趨勢是不夠的！,3-33,一、測定離散程度的指標(biāo)及其作用,1.說明數(shù)據(jù)的分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。 數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。 2.衡量平均數(shù)的代表性。 離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。 3. 統(tǒng)計推斷的重要依據(jù) 判別統(tǒng)計推斷前提條件是否成立， 衡量推斷效果好壞的重要尺度。,3-34,二、極差、四分位差和平均差,（一）極差（Range） 極差是一組數(shù)據(jù)的最大值（xmax）與最小值（xmin）之差，通常用 R 表示。 對于總體數(shù)據(jù)而言，極差也就是變量變化的范圍或幅度大小，故也稱為全距。 組距數(shù)列中，極差最高組的上限-最低組的下限。 優(yōu)缺點(diǎn)：計算簡便、含義直觀、容易理解。它未考慮數(shù)據(jù)的中間分布情況，不能充分說明全部數(shù)據(jù)的差異程度。,3-35,（二）四分位差,第3四分位數(shù)（Q3）與第1四分位數(shù)（Q1）之差，常用Qd表示。計算公式為： 實(shí)質(zhì)上是兩端各去掉四分之一的數(shù)據(jù)以后的極差，表示占全部數(shù)據(jù)一半的中間數(shù)據(jù)的離散程度。 四分位差越大，表示數(shù)據(jù)離散程度越大。 是在一定程度上對極差的一種改進(jìn)，避免了極端值的干擾。但它對數(shù)據(jù)差異的反映仍然是不充分的。 四分位差是一種順序統(tǒng)計量，適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)。尤其是當(dāng)用中位數(shù)來測度數(shù)據(jù)集中趨勢時.,3-36,（三）平均差（Average Deviation）,平均差各個數(shù)據(jù)與其均值的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，反映各個數(shù)據(jù)與其均值的平均差距，通常以A.D表示。計算公式為： 未分組數(shù)據(jù)：,平均差含義清晰，能全面地反映數(shù)據(jù)的離散程度。但取離差絕對值進(jìn)行平均，數(shù)學(xué)處理上不夠方便，在數(shù)學(xué)性質(zhì)上也不是最優(yōu)的。,已分組數(shù)據(jù)：,3-37,三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,1. 方差（Variance）的概念和計算 方差是各個數(shù)據(jù)與其均值的離差平方的算術(shù)平均數(shù). 總體方差（2）的計算公式為： 未分組數(shù)據(jù)：,分組數(shù)據(jù)：,樣本方差（通常用 S2 表示）分母應(yīng)為（n -1）。,3-38,標(biāo)準(zhǔn)差（standard Deviation）,標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根。 總體標(biāo)準(zhǔn)差一般用表示。其計算公式為： 未分組數(shù)據(jù)：,分組數(shù)據(jù)：,標(biāo)準(zhǔn)差比方差更容易理解。在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計分析中，標(biāo)準(zhǔn)差比方差的應(yīng)用更為普遍，經(jīng)常被用作測度數(shù)據(jù)與均值差距的標(biāo)準(zhǔn)尺度。,樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S）分母應(yīng)為（n-1）。,3-39,【例3-9】計算平均差和方差、標(biāo)準(zhǔn)差,3-40,2.方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì),(3)分組條件下，總體的方差等于組間方差與各組方差平均數(shù)之和。,(1)常數(shù)的方差等于零。a為常數(shù),則 (2)變量的線性函數(shù)的方差等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。設(shè)a,b為常數(shù)，y=a+bx，則有：,組間方差,各組方差平均數(shù),如何來理解呢？以例說明。 某局有7個企業(yè)其某月的產(chǎn)值為： 88，90，96，98，110，140，200 1、不分組,分組后： 第一組：88，90，96，98 第二組：110，140，200,平均組內(nèi)方差,組間方差,結(jié)論：1405.38=609.71+795.67,(4)方差的簡化計算:,例：若有某車間的甲、乙二個班組，均為5個人，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每人每日的產(chǎn)量為： 甲 73，74，75，76，77 乙 50，65，70，90，100 計算其標(biāo)準(zhǔn)差并比較。 解：兩者平均值均為75件。,計算： 方法一：甲組 乙組,方法二：,結(jié)果表明：由于乙組的標(biāo)準(zhǔn)差較大，其平均數(shù)的代表性較低；甲組的標(biāo)準(zhǔn)差較小，其平均數(shù)的代表性較高。 問題：得出上述結(jié)果的前提是什么？,3-46,四、離散系數(shù),前面的各變異指標(biāo)都是有計量單位的，它們的數(shù)值大小不僅取決于數(shù)據(jù)的離散程度，還要受數(shù)據(jù)本身水平高低和計量單位的影響。 對不同變量（或不同數(shù)據(jù)組）的離散程度進(jìn)行比較時，只有當(dāng)它們的平均水平和計量單位都相同時，才能利用上述變異指標(biāo)來分析；否則，須利用離散系數(shù)來比較它們的離散程度。 例如，哪個變量的差異較大：體重，還是身高？ 例如，體重的差異哪個較大：父親，還是嬰兒？ 父親：平均體重=70 kg，標(biāo)準(zhǔn)差=5 kg 嬰兒： 5 kg， 1 kg,3-47,四、離散系數(shù),離散系數(shù)是極差、四分位差、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差等變異指標(biāo)與算術(shù)平均數(shù)的比率，以相對數(shù)的形式表示變異程度。 將極差與算術(shù)平均數(shù)對比得到極差系數(shù)， 將平均差與算術(shù)平均數(shù)對比得到平均差系數(shù)。 最常用的離散系數(shù)是就標(biāo)準(zhǔn)差來計算的，稱之為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)： 離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大，其平均數(shù)的代表性就差；反之亦然.,例：甲農(nóng)場小麥平均畝產(chǎn)量為500斤，標(biāo)準(zhǔn)差為50斤；乙農(nóng)場小麥平均畝產(chǎn)量為100斤，標(biāo)準(zhǔn)差為50斤。哪個農(nóng)場平均畝產(chǎn)量代表性高？,解：,例：已知標(biāo)志平均值為12，各標(biāo)志值平方的平均數(shù)為169，試問標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為多少？,五、是否標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差,1、是否標(biāo)志是指用“是、否”或“有、無”將總體單位分為二部分的標(biāo)志。 2、實(shí)質(zhì)是將品質(zhì)標(biāo)志進(jìn)行量化處理。 如： 合格品 男 全體 出勤 全部產(chǎn)品 不合格品 人口 女 職工 缺勤 （3）量化結(jié)果： 用“1”表示具有某一標(biāo)志，其單位數(shù)為n1； 用“0”表示不具有此標(biāo)志，其單位數(shù)為n0。 全部單位數(shù)n= n1+ n0 。,4、成數(shù)： 設(shè)p為具有某一標(biāo)志的單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重（或成數(shù)） p= n1 /n q為不具有某一標(biāo)志的單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重（或成數(shù)） q= n0 /n 顯然，p+q=1 5、是否標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,計算列表如下：,例：某機(jī)械廠鑄造車間生產(chǎn)6000噸鑄件，合格品為5400噸。試計算其平均合格品率和標(biāo)準(zhǔn)差。 解：可以直接應(yīng)用公式計算。,3-54,第三節(jié) 變量分布的偏度與峰度,一、矩（動差 ） 二、偏度（Skewness） 三、峰度（Kurtosis）,3-55,一、矩（動差 ）,矩（動差 ） 一系列刻畫數(shù)據(jù)分布特征的指標(biāo)的統(tǒng)稱。 變量值與數(shù)值 a 之離差的 K 次方的平均數(shù)稱為變量 x 關(guān)于 a 的K 階矩，即：,K 階原點(diǎn)矩（當(dāng)a = 0 時）是數(shù)據(jù)的K次方的平均數(shù). 一階原點(diǎn)矩即算術(shù)平均數(shù)； 二階原點(diǎn)矩即平方平均數(shù)。,K 階中心矩（當(dāng)a =均值 時）是以均值為中心計算的離差 K 次方的平均數(shù) k=1時，稱為一階中心矩，它恒等于0，即 m1=0； k=2時，稱為二階中心矩，也就是方差，即m2=2。,3-56,二、偏度（Skewness）,偏度指數(shù)據(jù)分布的不對稱程度或偏斜程度。 以 對稱分布 為標(biāo)準(zhǔn)來區(qū)分 偏態(tài)分布又分左偏（負(fù)偏）和右偏（正偏）.,3-57,偏態(tài)的測度方法,一般有：,（一）由均值與眾數(shù)（中位數(shù)）之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)：,3-58,（二）由三個四分位數(shù)之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù),值域：-1 Sk 1,3-59,偏度系數(shù),（三）利用