課前練習(xí),課前練習(xí),課前練習(xí),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。,原級(jí)數(shù)發(fā)散。,收斂半徑為：,課前練習(xí),解:,收斂.,發(fā)散.,(*),對(duì)于(*),一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,微,積,分,電,子,教,案,二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),11.4 泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù),四、泰勒級(jí)數(shù),五、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 的函數(shù) ，稱 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。,上式兩邊積分得：,于是,冪級(jí)數(shù)在逐項(xiàng)微分或積分后，收斂半徑不變，但是收斂區(qū)間可能改變。,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),解：,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),例4,發(fā)散;,發(fā)散;,故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為,解：,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),例4,上式求導(dǎo)：,解：,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),例4,解,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),收斂;,發(fā)散;,故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為,解,兩邊積分得,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),解：,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),例6,發(fā)散;,收斂;,故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為,解：,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),例6,練習(xí).求 的和函數(shù)，并求,解：,當(dāng) x=1/2 時(shí)，,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) S(x).如,使得冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間X內(nèi)恰好等于 f(x)？即,相反的問題：,f(x)如果能展開為冪級(jí)數(shù)，則稱 為f(x)的冪級(jí)數(shù)展開式,對(duì)于給定的函數(shù) f(x)能不能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù),四、泰勒級(jí)數(shù),含義不同: (1)表示冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) (2)表示函數(shù)變?yōu)閮缂?jí)數(shù)即展開為冪級(jí)數(shù).,(1),(2),f(x)如果能展開為冪級(jí)數(shù)(分為兩種):,四、泰勒級(jí)數(shù),1.泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù),四、泰勒級(jí)數(shù),定理不僅給出求函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)的方法，而且說(shuō)明函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的。,定義,特別地當(dāng) x0=0時(shí)，則稱,四、泰勒級(jí)數(shù),泰勒級(jí)數(shù)和定理1的微妙區(qū)別:,如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處能展開為冪級(jí)數(shù), 則其冪級(jí)數(shù)展開式一定是泰勒級(jí)數(shù).,?,如果按這種方法構(gòu)造一個(gè)級(jí)數(shù),該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間?,泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?,不一定.,四、泰勒級(jí)數(shù),定理 如果函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)任意的x，有：,拉格朗日余項(xiàng),四、泰勒級(jí)數(shù),（泰勒中值定理）,f(x)在點(diǎn)x0處的n階泰勒公式,2、 泰勒公式,拉格朗日中值定理,2階：,1階：,0階：,四、泰勒級(jí)數(shù),特別地,若x0= 0,則有:,比較泰勒級(jí)數(shù)和泰勒公式:,即泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x).,此時(shí)必須,四、泰勒級(jí)數(shù),函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的充分必要條件,定理,特別地,若x0= 0,則有:,稱f(x)在x=