第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題A組基礎(chǔ)題組1.下面給出的四個點中,位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)2.不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A.4B.1C.5D.無窮大3.設(shè)x,y滿足約束條件則z=(x+1)2+y2的最大值為()A.80B.4C.25D.4.實數(shù)x,y滿足(a1),且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,則a的值是()A.B.C.D.5.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+分為面積相等的兩部分,則k的值是.6.(2017課標(biāo)全國,14,5分)設(shè)x,y滿足約束條件則z=3x-2y的最小值為.7.已知變量x,y滿足約束條件且有無窮多個點(x,y)使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值,則m=.8.(2018河南洛陽調(diào)研)實數(shù)x,y滿足(1)若z=,求z的最大值和最小值;(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值.9.若x,y滿足約束條件(1)求目標(biāo)函數(shù)z=x-y+的最值;(2)若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍.B組提升題組1.設(shè)x,y滿足約束條件且z=x+ay的最小值為7,則a=.2.實數(shù)x,y滿足不等式組則z=|x+2y-4|的最大值為.3.在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.(1)若+=0,求|;(2)設(shè)=m+n(m,nR),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.4.某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為2萬元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用x,y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).(1)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產(chǎn)生最大的利潤?并求出此最大利潤.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.C將四個點的坐標(biāo)分別代入不等式組滿足條件的是點(0,-2).2.B不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分),ABC的面積即為所求.求出點A,B,C的坐標(biāo)分別為A(1,2),B(2,2),C(3,0),則ABC的面積為S=(2-1)2=1.3.A作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.(x+1)2+y2可看作點(x,y)到點P(-1,0)的距離的平方,由圖可知可行域內(nèi)的點A到點P(-1,0)的距離最大.解方程組得點A的坐標(biāo)為(3,8),代入z=(x+1)2+y2,得zmax=(3+1)2+82=80.4.B如圖所示,平移直線2x+y=0,可知在點A(a,a)處z取最小值,即zmin=3a,在點B(1,1)處z取最大值,即zmax=3,所以12a=3,即a=.5.答案解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由于直線y=kx+過定點.因此只有直線過AB中點時,直線y=kx+能平分平面區(qū)域.因為A(1,1),B(0,4),所以AB中點D.當(dāng)y=kx+過點時,=+,所以k=.6.答案-5解析由約束條件作出可行域,如圖中陰影部分所示.平移直線3x-2y=0可知,目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y在A點處取最小值,又由解得即A(-1,1),所以zmin=3(-1)-21=-5.7.答案1解析作出線性約束條件表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.若m=0,則z=x,目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解只有一個,不符合題意.若m0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+my可看作斜率為-的動直線y=-x+,若m0,數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個;若m0,則-0,數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)動直線與直線AB重合時,有無窮多個點(x,y)在線段AB上,使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值,即-=-1,則m=1.綜上可知,m=1.8.解析由作出可行域,如圖中陰影部分所示.(1)z=表示可行域內(nèi)任一點與坐標(biāo)原點連線的斜率,因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在,即zmax不存在).由得B(1,2),kOB=2,即zmin=2.(2)z=x2+y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標(biāo)原點之間距離的平方.因此x2+y2的最小值為OA2,最大值為OB2.由得A(0,1),OA2=()2=1,OB2=()2=5.9.解析(1)作出可行域如圖,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).由圖可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過A(3,4)時z取最小值-2,過C(1,0)時z取最大值1.所以z的最大值為1,最小值為-2.(2)由圖可知-1-2,解得-4a2.故所求a的取值范圍為(-4,2).B組提升題組1.答案3解析二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,其中A.平移直線x+ay=0,可知在點A處,z取得最值,因此+a=7,化簡得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5時,z取得最大值,故舍去.2.答案21解析作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.z=|x+2y-4|=的幾何意義為陰影區(qū)域內(nèi)的點到直線x+2y-4=0的距離的倍.由得B點坐標(biāo)為(7,9),顯然點B到直線x+2y-4=0的距離最大,易得zmax=21.3.解析(1)解法一:+=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),解得x=2,y=2,即=(2,2),故|=2.解法二:+=0,則(-)+(-)+(-)=0,=(+)=(2,2),|=2.(2)=m+n,(x,y)=(m+2n,2m+n),兩式相減得,m-n=y-x,令y-x=t,由圖知,當(dāng)直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1.4.解析(1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分中整點:圖1(2)設(shè)利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y.考慮z=2x+3y,將它變形為y=-x+,這是斜率為-,隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距,當(dāng)取最大值時,z