第7講立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直一、選擇題1.若直線l的方向向量為a(1，0，2)，平面的法向量為n(2，0，4)，則()A.l B.lC.l D.l與相交解析n2a，a與平面的法向量平行，l.答案B2.若，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)解析，共面.則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).答案D3.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)M(1，1，2)，平面的一個(gè)法向量為n(6，3，6)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()A.P(2，3，3) B.P(2，0，1)C.P(4，4，0) D.P(3，3，4)解析逐一驗(yàn)證法，對(duì)于選項(xiàng)A，(1，4，1)，n61260，n，點(diǎn)P在平面內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi).答案A4.(2017西安月考)如圖，F(xiàn)是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn).E是BB1上一點(diǎn)，若D1FDE，則有()A.B1EEBB.B1E2EBC.B1EEBD.E與B重合解析分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則D(0，0，0)，F(xiàn)(0，1，0)，D1(0，0，2)，設(shè)E(2，2，z)，(0，1，2)，(2，2，z)，02122z0，z1，B1EEB.答案A5.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，則：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上說法正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析，所以A1MD1P，由線面平行的判定定理可知，A1M面DCC1D1，A1M面D1PQB1.正確.答案C二、填空題6.(2017武漢調(diào)研)已知平面內(nèi)的三點(diǎn)A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一個(gè)法向量n(1，1，1)，則不重合的兩個(gè)平面與的位置關(guān)系是_.解析設(shè)平面的法向量為m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1，1，1)，mn，mn，.答案7.(2017西安調(diào)研)已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實(shí)數(shù)xy_.解析由條件得解得x，y，z4，xy.答案8.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).對(duì)于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的序號(hào)是_.解析0，0，ABAP，ADAP，則正確.又與不平行，是平面ABCD的法向量，則正確.由于(2，3，4)，(1，2，1)，與不平行，故錯(cuò)誤.答案三、解答題9.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.證明：平面PQC平面DCQ.證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA，DP，DC分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，則(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0).0，0.即PQDQ，PQDC，又DQDCD，PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.10.(2017鄭州調(diào)研)如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PACD，PA1，PD，E為PD上一點(diǎn)，PE2ED.(1)求證：PA平面ABCD；(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說明理由.(1)證明PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，PA平面ABCD.(2)解以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，(1，1，0)，.設(shè)平面AEC的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則n(1，1，2).假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F，且(01)，使得BF平面AEC，則n0.又(0，1，0)(，)(，1，)，n120，存在點(diǎn)F，使得BF平面AEC，且F為PC的中點(diǎn).11.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1，1，1) B.C. D.解析設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn).在空間坐標(biāo)系中，E(0，0，1)，F(xiàn)(，1).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo).答案C12.(2017合肥調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定解析分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，A1MANa，則M，N，.又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，(0，a，0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案B13.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，如果B1E平面ABF，則CE與DF的和的值為_.解析以D1A1，D1C1，D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CEx，DFy，則易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(xiàn)(0，0，1y)，B(1，1，1)，(x1，0，1)，(1，1，y)，由于B1E平面ABF，所以(1，1，y)(x1，0，1)0xy1.答案114.(2014湖北卷改編)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DPBQ(02).(1)當(dāng)1時(shí)，證明：直線BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ平面PQMN？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由.(1)證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，P(0，0，)，M(2，1，2)，N(1，0，2)，(2，0，2)，(1，0，)，(1，1，0)，(1，1，0)，(1，0，2).當(dāng)1時(shí)，(1，0，1)，因?yàn)?2，0，2)，所以2，即BC1FP.而FP平面EFP