13.2 奇 偶 性,1函數(shù)的奇偶性 (1)定義 奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有 ，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù) 偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)yg(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有 ，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù),xD，且f(x)f(x),xD，且g(x)g(x),(2)性質(zhì) 如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以 為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形，反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以 為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù) 如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖象是以 為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn),y軸,y軸,(3)判斷奇偶性 f(x)|x|； f(x)x2 (x1)； f(x)|x1|x1|. 答案 偶 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) 非奇非偶 奇,2用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟是： (1)求定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù),0,0,奇,本節(jié)重點(diǎn)：奇偶函數(shù)的概念及圖象的對(duì)稱特征 本節(jié)難點(diǎn)：利用函數(shù)奇偶性的概念和圖象的對(duì)稱性，證明或判斷函數(shù)的奇偶性,對(duì)于函數(shù)奇偶性的討論，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)把握下述幾點(diǎn)： 函數(shù)的奇偶性討論是在函數(shù)的整個(gè)定義域上進(jìn)行的考察一個(gè)函數(shù)yf(x)是否具有奇偶性，不僅考察f(x)與f(x)之間的關(guān)系，更應(yīng)考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,以函數(shù)的奇偶性作為劃分標(biāo)準(zhǔn)，可將函數(shù)分為四類：偶函數(shù)，奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)f(x)一定是常數(shù)函數(shù)f(x)0，但f(x)0不一定既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，須特別注意定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一限制條件 奇函數(shù)yf(x)若在x0處有定義，則一定有f(0)0.,綜合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，可得以下常用的兩個(gè)結(jié)論：奇函數(shù)在區(qū)間a，b和b，a上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在區(qū)間a，b和b，a上有相反的單調(diào)性(ab0) 有時(shí)也用奇偶函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷：偶函數(shù)的和、差、積、商(定義域符合要求)仍為偶函數(shù)奇函數(shù)的和、差為奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積、商為偶函數(shù) 有些判斷奇偶性的題目，須先化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式，觀察其特點(diǎn)，然后再進(jìn)行判斷,例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性,分析 利用函數(shù)奇偶性定義來(lái)判斷 f(x)為奇函數(shù) (2)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x)(x)21x21f(x)，f(x)為偶函數(shù) (3)定義域?yàn)?，)，f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)為偶函數(shù),(4)定義域?yàn)?，)，f(x)2x1， f(x)f(x)且f(x)f(x)， f(x)為非奇非偶函數(shù) (5)定義域?yàn)?， 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)為非奇非偶函數(shù),f(x)為偶函數(shù),判斷函數(shù)f(x)|xa|xa|(aR)的奇偶性 解析 f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a0時(shí)，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)， f(x)為奇函數(shù)， 當(dāng)a0時(shí)，有f(x)0，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).,例2 已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x3.試求f(x)在R上的表達(dá)式，并畫出它的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間 分析 由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知yf(x)是奇函數(shù)利用奇函數(shù)性質(zhì)可求得解析式,解析 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 f(x)為奇函數(shù)，則f(0)0， 設(shè)x0，則x0，x0時(shí)，f(x)x22x3， f(x)f(x)(x22x3)x22x3 于是有：,先畫出函數(shù)在y軸右邊的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性畫出y軸左邊的圖象如下圖 由圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1、1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是1,0)、(0,1,已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)_. 答案 x1 解析 x0時(shí)，x0，f(x)x1， 又f(x)為偶函數(shù)，f(x)x1.,例3 已知ba0，偶函數(shù)yf(x)在區(qū)間b，a上是增函數(shù)，問(wèn)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 分析 由函數(shù)的奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化 解析 設(shè)ax1x2b，則bx2x1a.f(x)在b，a上是增函數(shù)f(x2)f(x1) 又f(x)是偶函數(shù)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2) 于是 f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是減函數(shù),點(diǎn)評(píng) 由函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，可以證明在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，偶函數(shù)的單調(diào)性恰是相反的，奇函數(shù)的單調(diào)性是相同的,(1)已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在2,6上是減函數(shù)，比較f(5)與f(3)的大小結(jié)果為_(kāi) (2)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間1,6上是增函數(shù)，且最大值為10，最小值為4，那么f(x)在6，1上是增函數(shù)還是減函數(shù)？求f(x)在6，1上的最大值和最小值 答案 (1)f(5)f(3),解析 (1)f(x)是偶函數(shù)，f(5)f(5)， f(x)在2,6上是減函數(shù)， f(5)f(3)，f(5)f(3) (2)設(shè)6x1x21，則1x2x16， f(x)在1,6上是增函數(shù)且最大值為10，最小值為4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10， 又f(x)為奇函數(shù)，4f(x2)f(x1)10， 10f(x1)f(x2)4， 即f(x)在6，1上是增函數(shù)，且最小值為10，最大值為4.,例4 已知偶函數(shù)f(x)(圖(1)和奇函數(shù)g(x)(圖(2)在y軸右邊的一部分圖象，試根據(jù)偶函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)，分別作出它們?cè)趛軸左邊的圖象,解析 (1)根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)，畫出函數(shù)在y軸左邊的圖象，如圖(1) (2)根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，畫出函數(shù)在y軸左邊的圖象，如圖(2),(1)如圖是奇函數(shù)yf(x)的部分圖象，則f(4)f(2)_. (2)如圖是偶函數(shù)yf(x)的部分圖象，比較f(1)與f(3)的大小的結(jié)果為_(kāi),答案 (1)2 (2)f(3)f(1) 解析 (1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且奇函數(shù)f(x)圖象過(guò)點(diǎn)(2,1)和(4,2)， 必過(guò)點(diǎn)(2，1)和(4，2)， f(4)f(2)(2)(1)2. (2)偶函數(shù)f(x)滿足f(3)f(1)， f(3)f(1) 點(diǎn)評(píng) (1)可由奇函數(shù)的性質(zhì)，先去掉函數(shù)記號(hào)“f”內(nèi)的負(fù)號(hào)，f(4)f(2)f(4)f(2)f(4)f(2)212.,辨析 要判斷函數(shù)的奇偶性，必須先求函數(shù)定義域(看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)有時(shí)還需要在定義域制約條件下將f(x)進(jìn)行變形，以利于判定其奇偶性,一、選擇題 1下列函數(shù)不具備奇偶性的是 ( ) 答案 C,2下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為 ( ) (1)對(duì)f(x)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x)f(x)0則f(x)是奇函數(shù) (2)對(duì)f(x)的定義域內(nèi)的任意x，都有f(x)f(x)0，則f(x)是偶函數(shù),A1 B2 C3 D4 答案 D 解析 四個(gè)命題都正確，故選D.,3若函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)的圖象上的是 ( ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 答案 D 解析 f(a)f(a)，點(diǎn)(a，f(a)在yf(x)的圖象上，故選D.,4已知yf(x)是奇函數(shù)，且方程f(x)0有六個(gè)實(shí)根，則方程f(x)0的所有實(shí)根之和是 ( ) A4 B2 C1 D0 答案 D 解析 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，方程f(x)0的六個(gè)根，即f(x)圖象與x軸的六個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，它們分布在原點(diǎn)兩側(cè)各三個(gè)，且分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 和為0.,5已知f(x)(m1)x22mx3為偶函數(shù)，則f(x)在(5，2)上是 ( ) A增函數(shù) B減函數(shù) C部分為增函數(shù)，部分為減函數(shù) D無(wú)法確定增減性 答案 A 解析 f(x)(m1)x22mx3為偶函數(shù)， m0，f(x)x23，因此f(x)在(5，2)上為增函數(shù)，故選A.,6偶函數(shù)yf(x)在區(qū)間4，1是增函數(shù)，下列不等式成立的是 ( ) Af(2)f(3) Bf()f() 答案 D,二、解答題 7判斷下