水利工程論文-復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型及其分析方法摘要：這里將介紹基于管網(wǎng)基本定理的復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型分析法，該方法也稱節(jié)點(diǎn)法。利用該方法可以將復(fù)雜管網(wǎng)的鄰接矩陣將簡單管道與復(fù)雜管網(wǎng)的分析方法統(tǒng)一起來。同時給出非線性矩陣方程的迭代解法初始參數(shù)的計(jì)算方法。關(guān)鍵詞：非線性管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)法水力分析復(fù)雜管網(wǎng)分析方法有多種，近年新出現(xiàn)的有圖論法和有限元法34。兩種方法各有所長，圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以適用范圍各不相同管網(wǎng)水力計(jì)算。有限元法通過局部的管元分析得出管網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型。管網(wǎng)水力分析的基礎(chǔ)是管段的水力學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型是采用Darcy-Weisbach公式和Hazen-Williams公式。這兩個公式原用于管道沿程水力損失的計(jì)算，公式來源于理論研究和實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果。這兩個公式的應(yīng)用基礎(chǔ)是大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得出的參數(shù)。Darcy-Weisbach公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain實(shí)驗(yàn)公式和Moody圖表來求出沿程損失系數(shù)f2。文獻(xiàn)1論述了水力模型的基本形式和管網(wǎng)中管件的定理，該理論統(tǒng)一了局部損失和沿程損失的數(shù)學(xué)模型。這里進(jìn)一步討論在復(fù)雜管網(wǎng)中，基于該定理并利用節(jié)點(diǎn)分析方法給出Kirchhoff第一定律和第二定律的表示方法及其應(yīng)用。1.管網(wǎng)模型1.1.管道模型按文獻(xiàn)1介紹的：定理1：任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數(shù)學(xué)模型具有冪函數(shù)的形式。（1）式中：a,b為不會等于零的實(shí)系數(shù)；hf為管段的水頭損失；q是管段內(nèi)的流量。換言之，對于管段兩端，記上游端水頭為H2，下游端水頭為H1，即：（2）1.2.復(fù)雜管網(wǎng)模型對于復(fù)雜管網(wǎng)，這里所說的復(fù)雜是指有多環(huán)、多水源、多出流口的管網(wǎng)，對于這種管網(wǎng)可以用與一般管道同樣形式的矩陣公式來表示。記：式中：H為管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量；q為管網(wǎng)的管段流量；n為管網(wǎng)中的管段數(shù)量。為了有利于統(tǒng)一表達(dá)式，記管段兩端的水頭為H1，H2。對于簡單管段有：（4）容易看出這種變形為采用線性方程組提供了方便。當(dāng)?shù)趖次計(jì)算時，令：（5）式中：管段在第t-1時的流量，在第t-1次計(jì)算時它是已知量；是管段在第t時的假定流量。q是有方向的矢量，其方向是由管段端點(diǎn)2指向端點(diǎn)1。換言之，端點(diǎn)2水頭大于端點(diǎn)1的水頭，這樣水才能從端點(diǎn)2流到端點(diǎn)1，流量的值才可能是正值。從數(shù)學(xué)的角度理解，假定H1，H2，q為不為零的實(shí)數(shù)，H1，H2前面的正負(fù)號可以表示為管段的端點(diǎn)i在流量指向的方向。對于如圖1所示的管網(wǎng)，可以用管網(wǎng)鄰接矩陣A表示。圖1.一個簡單復(fù)雜管網(wǎng)圖對于圖1按節(jié)點(diǎn)及管段編號來關(guān)聯(lián)，行是管段，列是節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)與1管段、2管段相連接，因假定管段的水流方向是由節(jié)點(diǎn)編號大端流向節(jié)點(diǎn)編號小端。節(jié)點(diǎn)的鄰接向量是。同理：節(jié)點(diǎn)的鄰接向量是，易知：容易得到矩陣：通常將以上矩陣稱為管網(wǎng)的鄰接矩陣，2.節(jié)點(diǎn)分析法如令：圖1中與矩陣等式（6）對應(yīng)的是以下矩陣：（7）對節(jié)點(diǎn)有：對節(jié)點(diǎn)有：表明矩陣等式可以表示節(jié)點(diǎn)流量守恒定律。根據(jù)流量守恒定律和能量守恒定律，有的學(xué)科也稱為Kirchhoff第一定律和第二定律。管網(wǎng)系統(tǒng)的兩個定律可表達(dá)為：（8）這也是節(jié)點(diǎn)分析法的