馬克思主義論文-馬克思擴大再生產(chǎn)理論的數(shù)學解釋【摘要】本文嘗試用數(shù)學方法來描述馬克思擴大再生產(chǎn)規(guī)律。從擴大再生產(chǎn)理論的一些假定出發(fā)，研究發(fā)現(xiàn)預(yù)付資本的增長率與利潤率、積累率成正比，兩大部類擴大再生產(chǎn)應(yīng)滿足增長速度相等的條件。考慮到利潤率趨于下降的規(guī)律，建立資本增長存在著上限的logistic模型。最后證明了資本周轉(zhuǎn)與利潤率的關(guān)系?！娟P(guān)鍵詞】擴大再生產(chǎn)資本增長兩大部類馬克思在資本論第一卷第七篇以及第二卷第三篇等篇章中，對剩余價值轉(zhuǎn)化為資本進行擴大再生產(chǎn)進行了分析；在第三卷中對利潤率趨于下降的規(guī)律作出了分析。在此基礎(chǔ)上，本文試圖建立一個分析預(yù)付資本的增長方式的模型。一、數(shù)學表述馬克思在資本論中談到：“要積累，就必須要有一部分剩余產(chǎn)品轉(zhuǎn)化為資本?！奔僭O(shè)初始的情況是資本家先投入預(yù)付資本K，轉(zhuǎn)化為不變資本C和可變資本V，并得到剩余價值M。設(shè)為資本家將一部分剩余價值M轉(zhuǎn)化為追加預(yù)付資本K的積累率（剩余價值分為資本和收入的比例），即：K=M（1）又設(shè)資本價值構(gòu)成為=C/V，剩余價值率為m，則：K=C+V=（1+）V（2）二、靜態(tài)分析假設(shè)積累率?茲、資本構(gòu)成比率和剩余價值率m是不變的，因而利潤率r也不變。則由（6）式，預(yù)付資本的增長率是不變的。在離散變量的情況下，上述差分方程可以寫成：Kn=（1+?茲r）Kn-1它是一個等比數(shù)列，從而：Kn=K0（1+r）n（7）此處，n表示年份，取值為正整數(shù)。則預(yù)付資本將以指數(shù)函數(shù)的形式增長：K（t）=K0ert（8）由以上公式，可以得到可變資本V、不變資本C及商品價值W的表達式：Vn=V0（1+?茲r）nCn=C0（1+?茲r）nWn=W0（1+?茲r）n或者V（t）=V0ertC（t）=C0ertW（t）=W0ert因此，預(yù)付資本K、可變資本V、不變資本C和產(chǎn)出W的增長率都等于?茲r。資本論關(guān)于擴大再生產(chǎn)分析給出了一個例子，其中第一部類有：4000C+1000V+1000M=6000有機構(gòu)成1=4，m=100%，1=50%，可得r1=1/5，增長率為0.1。三、兩大部類的積累和交換在分析擴大再生產(chǎn)時，馬克思提出了再生產(chǎn)的平衡條件和平衡公式：I（V+M）=IIC+IC+IIC（9）設(shè)第二部類的不變資本C2有如下函數(shù)：C2=C02（1+2r2）n或C（t）=C02e2r2t（10）根據(jù)（6）式和連續(xù)變量假設(shè)，條件（9）可改寫為：（1+m1-1r11）V01e1r1t=C2+C2（11）因此，兩個部類的資本增長速度應(yīng)該是相等的，即：1r1=2r2（12）并且兩個部類的不變資本C、可變資本V和商品價值W等將保持固定比例：四、動態(tài)分析由（6）式可知，影響資本增長速度的因素主要是積累率和利潤率，而利潤率又是由剩余價值率和資本構(gòu)成決定的。在靜態(tài)分析中，假設(shè)資本構(gòu)成是不變的，從而資本的增長率固定。在動態(tài)分析中，資本構(gòu)成是變化的，因而利潤率以及資本增長率也是變化的?！耙坏┵Y本主義制度的一般基礎(chǔ)奠定下來，在積累過程中就一定會出現(xiàn)一個時刻，那時社會勞動生產(chǎn)率的發(fā)展成為積累的最強有力的杠桿”。“社會勞動生產(chǎn)率的水平就表現(xiàn)在一個工人在一定時間內(nèi)，以同樣的勞動力強度使之轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品的生產(chǎn)資料的相對量。工人用來進行勞動的生產(chǎn)資料的量，隨著工人的勞動生產(chǎn)率的增長而增長”，即資本技術(shù)構(gòu)成的增加。從上述分析中可知，隨著資本增長和資本構(gòu)成增加，根據(jù)第（5）式，利潤率將下降。為此，假設(shè)利潤率與資本的數(shù)量負相關(guān)，用一階線性方程表示如下：r=-K（13）式中，和為常數(shù)，K為預(yù)付資本數(shù)量。連續(xù)變量的情況下，根據(jù)第（6）式，并帶入第（13）式，可得資本增長率的方程：五、周轉(zhuǎn)與利潤率連續(xù)變量的情況下，預(yù)付資本將以指數(shù)函數(shù)的形式增長，如（8）式所示。其中，r為年利潤率，t為資本積累（或周轉(zhuǎn)）年數(shù)（t=0，1，2，）。如果一年周轉(zhuǎn)一次的話（t=1），則一年之后預(yù)付資本為：K1=K0er。如果預(yù)付資本在一年之中周轉(zhuǎn)n次（t=n），其利潤率為r，則一年之后：K1=K0ern。因此，年利潤率r應(yīng)為利潤率r的n倍，即：r=nr。六、結(jié)論本文用數(shù)學方法來分析馬克思再生產(chǎn)理論，并建立了一個模型，該模型表明預(yù)付資本的增長率取決于積累率與利潤率之積。在靜態(tài)條件下求解模型，得到資本增長的方式，并指出兩大部類在擴大再生產(chǎn)過程中必須保持相同的增長率。因此利潤率高的部類其積累率應(yīng)低，而利潤率低的部類其積累率應(yīng)高?？紤]到利潤率隨資本數(shù)量增加而趨于下降的規(guī)律，通過負的線性方程的簡化假設(shè)，得出資本增長的Logistic模型。該模型表明，從長遠來看，資本增長存在著某種極限。最后，本文對資本周轉(zhuǎn)與利潤率的關(guān)系做了數(shù)學論證，一年周轉(zhuǎn)n次的資本，其年利潤率應(yīng)為利潤率的n倍。（注：本文入選2007首屆中國政治經(jīng)濟學年會教師征文。）【參考文獻